數學科

以探討SET遊戲紙牌配對的所有組合情形為研究起點，分析歸納而窮盡出15種配對類型。針對「如何不剩牌」的目標，進行猜想並驗證「在操作上若自始至終皆用同一種配對類型便可把81張牌全配對完」，也意外發現紙牌構成的大九宮格中任一小九宮格中皆有「4條組牌軌跡」構成的胚騰(pattern)，若放大到大九宮格中觀察則也有相同的胚騰。若在大九宮格中進一步運用組牌軌跡換牌，最多可同時出現7種配對類型；但我們也發現「小九宮格內若出現例外情況(未出現四條組牌軌跡)時，則最多可讓大九宮格的內部同時出現15種SET配對類型」。此外，從機率的角度出發，經特殊化到一般化的推演歷程，獲致「桌上牌最少要發21張才必有SET出現」。

我們在昌爸數學工作坊玩數學遊戲時，接觸蛙跳和河內塔時，大家都喜歡這兩種遊戲，所以就想要結合這兩套遊戲規則合併，創出「青蛙」「塔」這個遊戲。研究中發現，青蛙數、荷葉數與總步數三者之間具有一定的規律：設N為荷葉數，Ｙ為青蛙移動的最少步數：當兩邊青蛙數各為1時，Y=2x（N-1）-1；當兩邊青蛙數各為2，N>=4時，N=偶數時， Y=9+4x〔（N-2）/ 2-1〕、N=奇數時，最少步數為Y=10+4x〔（N-3）/ 2-1〕；青蛙編號最大的最少步數：N為奇數時，青蛙編號最大的最少步數：（N-3）/ 2+1、N為雙數時，青蛙編號最大的最少步數：（N-2）/ 2+1。以及減少步數的方法：隔位跳躍、棋子的移動位置、鋪路、寄青蛙、青蛙編號最大顆的跳法。

本研究以尤拉公式【面數＋頂點數－邊數＝2】為發想起點，先探究多面體由邊緣或內部外凸、內凹、截切頂點所形成的形體是否仍能滿足尤拉公式，再運用反推手法，探究單一或二種以上正多邊形搭配固定頂點組合模式，所能推得的元件片數，找出規律進而拼出均勻多面體，同時驗證了五種柏拉圖多面體的組成元素。過程中因察覺部分形體可以透過稜線切割出一正多邊形截面，沿此截面轉動後又可衍生出不同頂點組合的Johnson多面體，深入探究得知，當給予頂點組合要件，再搭配尤拉公式，即可利用聯立方程式找出元件要素順利拼組成功。最後利用頂點珠製作的骨架圖，觀察均勻多面體中各種具對稱性的截切面，進行模擬切割並繪成展開圖，製成多組立體益智拼圖，做為此研究之具體成果。

對於一個由四個小方格組成的田字正方形，可以任意將小方格塗黑或不塗黑，而且將旋轉後會相同的塗色方法視為同一類型，那麼這個塗方格的問題，共可歸納為下列六個類型。 \r \r 如果將類型 1 貼在正方體的六個面上，則可產生一個田字面正方體。若將類型 6 貼在正方體的六個面上，也可產生一個田字面正方體，但是若正方體的六個面貼的是類型 3 的田字正方形，則它可產生的類型就不只一種，我把這樣的正方體叫做雙黑斜型正方體，把滾動後會相同的視為同一類型。這樣的問題，引發了我們研究的興趣，我們也希望其他類型的田字正方形貼在正方體上，看看它又可產生哪些類型？

平時，聖閔最喜歡玩魔術蛇與魔術方塊，利用旋轉摺翻的功夫就能轉出不同形狀的形體來。後來，班上都流行一陣魔術蛇，但宇純不小心把魔術蛇摔壞了，想買一個，又要花錢，這時，聖閔卻想到底要用什麼材料來做一個既便宜又方便的魔術蛇？哦！對了「紙」最便宜，且又輕便，經過大家討論之後，便分頭去搜集書籍與資料，後來，我們遇到很多問題，也請教老師，就在老師的指導，做了一連串的研究活動。

在三角形第三點繞半圓的研究中，我們求出三角形五心座標的相關性質及公式，其中重心的軌跡是所繞半圓縮小1/3的半圓；垂心的軌跡圖形較為多變，其圖形和固定兩點所在位置有著高度的相關性，我們並試著用不同的方法證明垂心的軌跡方程式；外心是中垂線的交點，因此不論如何移動第三點，其交點總落在固定兩點的中垂線上，所以其軌跡不是一點就是一直線，且直線出現的位置也能證明出來；內心和旁心的軌跡類似，只有在固定兩點分居於直徑兩側時，才真正是一個90°的圓弧，而其餘皆不是圓弧。研究過程中出現許多繁複的代數運算，我們也嘗試用幾何的方法加以證明，希望”心”的性質更平易近人。

目前計算機科學極為發達，並且微電腦的普及使得接觸這方面的人不再侷限於少數。在電腦的運用中，圖形的處理最為人們注目，炳且在CAD的技術上亦佔有重要的地位。如何在螢幕上顯現立體的圖像在電腦繪圖中是一個富趣味與挑戰的題目。故在此提出和大家切磋。

我們在一本小牛頓雜誌中，看到了有關卡布列克運算的有趣報導，其中提到了隨便選一個二位數，將它的十位數字和個位數字對調，得到一個新數，在比較這兩個數的大小之後，再以大數減去小數，所得的差一定會落在09/90、18/81、36/63、27/72、45/54五組數之中，而且這五組數會一直繞圈圈。學校數學課剛好提到整數的四則運算及分解，幾個好朋友決定一起利用學校所學到的數學及電腦課程知識來試試看。結果真有趣！

在數學上，圓是有一定的軌跡及方程式表示，而直線也是一樣。但是如果將“同心圓族”與“平行線族”湊合在一起，便產生不同的“視覺感受”。例如我在科學月刊第六卷第 6 期中發現下列圖一、圖二。 當我發現此一現象時深感疑惑，並引證於其他同學，結果大家的感覺都相同，我才相信自己的眼睛沒有錯！只是不了解為什麼會有這種感覺。另外，當這兩片細密間距不同的圖案，稍作移動，便產生一種奇異的“疊紋”。至於其中的道理所在，引起我深人探討的興趣！？

我們研究的題目是屬於「覆面算」的一種題型。探討在n 進位制中，符合A1A2A3…… Am-2Am-1Am×N＝AmAm-1Am-2……A3A2A1 的m 位被乘數，其中N＝2～(n－1)，n 為該進位制的「基數」。並歸納在所有進位制中，解答的一般性。