數學科

本研究乃利用各種四邊形的幾何特性與關係，透過色紙實際剪貼去猜想圖形分割之特性，進一步運用電腦動畫著手模擬實驗，最後再用繪圖軟體繪製圖形、數學幾何學理加以驗證，以探討任一四邊形在四邊中點連線的設計架構下進行分割翻轉成其他各種四邊形之可行性與分割方法。假若因圖形本身之特殊性（如任意凹四邊形、折四邊形分割翻轉成其他各種四邊形）或者在此分割設計架構下限制條件過於嚴刻（如各種四邊形分割翻轉成正方形、各種四邊形分割翻轉成鳶形），造成前述方式無法一般化分割，則本研究乃採用藤春幸三郎與田村三郎（1996）的方式先將任一四邊形剪貼成一可分割成其他各種四邊形的圖形，之後再透過它分割翻轉成其他各種四邊形。希望藉此建立四邊形幾何分割與拼圖之理論。

運用平行線之概念，作出同底等高之梯形圖形，並結合了面積相等減法等量公理，導引出梯形兩對角線與兩腰所夾之面積相等，進而運用到實際生活中－土地分隔線重劃之問題解決；並進而運用相關原理去探討面積等分問題、四邊形轉換成等積三角形與多折直線還原成一條直線之研究。

像直線、圓、圓錐曲線這些幾何圖形，在教科書上，我們可學得它們的極坐標方程式。另一類曲線，像正三角形、正四邊形...正 n 邊形，也是我們所熟悉的幾何圖形，似乎也應該有它所對應的極坐標方程式，是否它們被遺忘了呢？我們願意試著為它尋找！

有一天，我看到國語日報的趣味數學欄裡，有一個問題：叫做「節約尺有獎徵答」，就是在一根沒有刻度的直尺上，畫上最少道刻度，使它量出 1 到最大的連續長度。這個遊戲使我聯想到：「用哪三個整數，本身或經過相加、相減，可排出由 1 到最大的連續整數？」，後來又想到金子店的老板，用天平秤金子時，盒子裡有很多很多的砝碼，那麼「怎樣用最少的砝碼，量出各種的重量呢？」於是我邀請同學，請爸爸、媽媽和老師指導我們做了下面的研究。

數學上常有難題，係出自於學者對於難度的誤估，像 Fermat 最後問題、四色問題，起先都是當人們憑直覺就宣稱他們發現了什麼？直到後來有人想真正證明時，而發現邏輯上困難重重，一旦無法很快解決，這些問題反而輾轉成名，此種現象顯示一個事實，也就是數學上許多問題，常有似易實難者存在。作者有位研究工程設計的朋友，提出一個問題，他希望能夠不經過逐次試驗，僅憑藉著公式之推演，使分母在限制之區問內，而找出一個最接近已知數的分數；事實上逐次試驗在做法上也的確不切實際。學過連分數的人，有可能很快聯想到利用漸近分數的理論，最多稍加以推廣，應可很快得到結果，可是一旦到發現漸近分數所能適用之區間與給定之區間大不相同，而且問題的結果也隨著區間的變化，而幾乎無法統計出一條規律時，就會發現此問題決非想像之容易。此問題給人感觸良多，作者以有不畏艱難全力以赴。

本文是從學校生活中常見的換座位，所延伸出來的數學問題，主要是按照一個換座位的規則來探討所有可能的方法數，規則中要求每人每次只能朝前、後、左、右的方向換位置，並且必須離開原位。在處理過程中，我們發現方法數都是平方數，至於是哪一個數的平方，後來發現此數恰好就是原先問題再限制成倆倆換座的方法數，在2×n的情形中就會得到Fibonacci平方數列。利用自行定義的迴圈乘積的方法我們證明這個結果，把此結果應用到不規則平面圖形、立體、或是再加上可斜角交換、圖上都有不錯的結果，最後也找到漢米爾頓迴圈的一個判斷法則。

圖(一)中，在半徑r的圓形披薩上選一個任意點P，過此點畫四條線將披薩切成八份，要求這四條線中，任兩相鄰的線必須夾45?，圖中四塊黃色披薩與四塊白色披薩的面積相等，這就是有名的披薩定理。 這是台灣師大數學系教授許志農在「龍騰數亦優」中所撰寫的，但其處理的手法涉及微積分，本文將以更初等的數學方法加以證明，並推廣出下列結果： 一、 在圖(二)中，半徑r的圓形披薩內任一點P，過此點畫四條直線，四塊黃色披薩的夾角皆為θ，四塊白色披薩的夾角皆為90?-θ，則四塊黃色披薩的面積為r2(2θ) 二、 在橢圓形披薩，正2n邊形的披薩及球體，我們亦有相似的結果 另一部份，我們將用組合的手法，證明並推廣一個古典問題：「一個西瓜切n刀最多可以切多少塊，其中有幾塊不含西瓜皮」。

在日常生活中，我們常看到房子的地板或牆壁貼著磁磚，許多是由正多邊形所購成的。我們非常好奇到底那些正多邊形可以當做磁磚的形狀？老師建議我們從一年級上學期學過的正多邊形著手，再運用二年級所學的方程式、不等式，以科學方法，試著去尋找正確的等案。

一年級下學期，老師在講授平行線尺規作圓的運用時，曾補充過三角形面積平分線的作法，數月前我們在科展優勝專輯裡看到“多邊形面積平分研究”作品內客時，對相關的作圓問題再度引起深入研究的興趣。本文是我們參考過有關作品後，在老師的指導下，對多邊形形上點面積等分線作圖所獲得幾點研究心得，敬請大家多多指教！

我們想要了解過號看診等候的相關問題，在此研究中，我們先利用手繪 圖及電腦驗證找出「分段法則Ⅰ」，進而導出遲到情形與過號需等候人數的函數關係。 利用方格「走最短路徑」的方法，將到診情形轉為方格走最短路徑圖，找出「分段法則Ⅱ」，求遲到者插號位置及新的看診序號，並由等待數列，求過號需等候人數。 在一個獨立插號作業中，要找出到診可能情形方法數，我們將Catalan數列的條件加以變化，在一個 的方格內，向右走 單位長，向上走1單位長， ，證明其一路領先的方法數為 。 最後將取號碼單機器運用在候診上，並利用等候理論(Queueing theory)，做不同插號規則的比較。