在平面幾何中，有一個重要且有趣的問題：平面上有兩點A、 B ，在直線 L 同側，在 L 上找一點 P0，使有最小值，要解決這樣的問題，我們會將 L 視為一面鏡子，利用“鏡射”的方汰，解決“不定折線段最小長度問題”受了此觀念的啟發，我嘗試利用多條直線，交替鏡射去探討“不定多邊形最小周長為何？ " 因此，展開了我的研究之旅 … …

在一已知三角形內，嵌入這三個互不重疊的圓（如圖 1 )，怎樣的情況下才使這三圓的面積和為最大？

1.本研究採用解析幾何方法發現，由正n邊形的特殊切割，發現了新正n邊形面積或與原正n邊形的面積比值都與切掉的小等腰三角形腰長或小正n邊形邊長具有特殊的二次函數的關係，亦即ωn[(r+x)2-(r+x)]+λn，其中ωn=nsinθ/2、λn=n/4 cot(θn/(n-2))，θn=(n-2)π/n ；也因此，當切掉的小正n邊形的邊長在一定的長度時，可得出最小第二層正n邊形，且此時所切掉的小正n邊形是最大的。 2.承1，繼續特殊切割，並重複這些動作往內部一直畫出越來越小的正n邊形，當層數夠多時，這樣的作圖最終會收斂成中間一點。最終取出每一層正n邊形對應的頂點，則頂點軌跡可生成等角螺線，經證明得其總弧長及所掃面積分別與最外層正n邊形邊長及 面積具一定關係存在。

在將莫利定理一般化的過程中，本研究發現在不同條件下，圖形有不同的規律。如平面圖形中除三角形外，其他多邊形的莫利圖形不一定是正多邊形，但有「自我相似」的特殊關係。另外四邊形中更有許多組「對偶關係」。本研究接著將圖形坐標化，並引入「線性變換」的概念，試圖解釋並發現新的自我相似或對偶性質。立體方面則發現許多和平面圖型相似之處，例如正多面體的莫利圖形皆為其「對偶多面體」，有很強的對偶性質。而其中正四面體對應正四面體，也是一個自我相似的例子。其他不規則圖形與其莫利圖形間，沒有明顯規律，針對此，平面部分導出了算交點坐標的公式，立體則建立判斷焦點存在與位置的方法。

欲找一多項式Axi＋1，能使相異之n 個數，經由此多項式之運算，產生兩兩互質的數，則能夠符合上述條件之A 值的數，為此n 個數中，兩兩數之差的最小公倍數。 舉例來說，4、6、12 三個數中，兩兩數之差為2、6、8，而2、6、8 之最小公倍數為24，則找到一多項式為24xi ＋1。此時4、6、12 經由多項式24xi＋1 運算後得到97 （1×97）、145（5×29）、289（17×17），很顯然的，97、145、289 此三個數兩兩互質。

“用0、1、2、3、4、5六個歡字，組成分母、分子都是三位數的分數時，最大真分數是多少？”對於這道數學題，全班二十四位同學，幾乎都以“432/501”作答，每個人也能說明自己的想法，甚至有的還提出了參考書籍的解答作為引證。這時，胖碧竟找到了一個比432/501還要大的甄分數“352/401”但她卻無法解釋理由。據她表示，那還是和媽媽一塊兒合作，逐一比較挑棟出來的呢！這下可怪了！我們的想法，究竟是哪裡出了問題？ 是不是還有比352/401更大的真分數？ 如果再用更多的數字組成位數更多的真分數時，該如何辨認其大小？能不能歸納出簡易的識別法來？ 面對近一連串的疑問，我們請來老2師指導，協助研究。

古老的印度中，有一們神秘的傳說：誰能將神壇上七十二層的梵天塔，照著一定的方式由一底盤移至另一個底盤，就能得到神的恩澤，繼而成仙。經過了數千年，成仙的夢無人達成，但奇妙的遊戲卻流傳至今，深深地吸引了我們。

我們的問題是：給一任意四邊形ABCD，要在BC 上找出一點P 使得∠ PAB＝ ∠ PDC，而我們證明可用尺規作圖找出此點P。從此題目我們延伸出其他子題：（i）將在平面上滿足∠ PAB＝ ∠ PDC 的所有P 點找出來，並且探討出於此條件下之P 點軌跡為一雙曲線。（ii）將在平面之上使得∠ PAB＝k ∠ PDC（k＝2，3，4，…）的P 點找出來，我們亦研究出此圖形以極坐標表示之方程式。然而，於此時我們改以方向角重新探討原先的問題。原來二角以AB 和CD 作為始邊，此二角∠ PAB， ∠ PDC 為「反向」。我們改以「同向」作為探討之目標，亦找出P 點的尺規作圖方法與軌跡方程式。

本研究在探討任意二個正整數 a ， b 的最大公因數與 a – b、b ( 或 a )的關係；並將公因數的觀念應用於解決日常生活中的數學問題。一、結果發現：(一) 若 a、b 不互質，即 ( a，b ) = d > 1，則必須 d 為 c 的因數，ax＋by = c才有 x、y 的整數解。並且找出如何得到 x、y 的整數解的具體方法。(二) 若 a、b 互質且 α ， β 是 ax＋by = c 的一組整數解，那麼 x 的任意整數解就可表成是 α + bk，y 的任意整數解就可表成是 β – ak。其中 k 為任意整數( 或 x 的解是 α – bk，y 的解是 β + ak 亦可)。二、在公因數的應用上則得出：(一) 任意給定二個容量為 a ， b 的容器時，可先判斷能否量出容量為 c 大小的溶液；若能量出，則由 ax＋by = c 的整數解，就可以有一相對應的準則，能很有規律地倒出容量為 c 的步驟與方法。(二) 如果要將一容量平分成二等分，第一步驟仍要先判斷是否有解；有解之後，再求出一整數解，然後再仿(一)的方法進行平分動作。(三) 利用求整數解的過程，也順道解決了：某整數 x 除以 m 餘 a ， 除以 n 餘 b ，但 m – a ≠ n – b 時， 我們找到至少一組求出整數 x 的方法。

在暑假數學育樂營的時候，我們接觸了青蛙棋。我們發現關卡應不只卡片上的40關，應該還有很多其他的關卡。所以我們用窮舉法列出2顆時全部的關卡。後來我們又發現可以用3333→12的方法找到12顆的破關方式。最後我們利用網路資源找到了電腦運算的程式，經過修改，我們列出了所有關卡的全部破關方式，可是列出結果的解讀又需要費一番功夫。