數學科

此研究是針對正Ｎ邊形各邊分點與頂點連線所形成的小正Ｎ邊形和原正Ｎ邊形的面積比，因商高定理的說明圖形為起源，所以先針對正方形作研究，剛開始我們利用切割法(研究過程中有介紹)找出正方形各邊分點與頂點連線所形成的小正方形和原正方形的面積比，再依同樣的切割法對正三角形、正五邊形、正六邊形作切割找出面積比，過程中有些正Ｎ邊形可以用此切割法求出面積比，在文中我們稱此圖形為完美切割，而無法用此切割法求出面積比的正Ｎ邊形，我們利用了鋪瓷磚方法和代數法解釋了哪些正Ｎ邊形可用此切割法求面積比和無法用切割法的正Ｎ邊形面積比公式。

從黑白棋遊戲中訂定新的規則，延伸創造出新的遊戲；從兩人對奕推廣到 n 人遊戲，並找出此類兩人博奕遊戲的『必勝法則』，並且發現與特定『Ramsey 數』模型的關係。

本研究乃利用各種四邊形的幾何特性與關係，透過色紙實際剪貼去猜想圖形分割之特性，進一步運用電腦動畫著手模擬實驗，最後再用繪圖軟體繪製圖形、數學幾何學理加以驗證，以探討任一四邊形在四邊中點連線的設計架構下進行分割翻轉成其他各種四邊形之可行性與分割方法。假若因圖形本身之特殊性（如任意凹四邊形、折四邊形分割翻轉成其他各種四邊形）或者在此分割設計架構下限制條件過於嚴刻（如各種四邊形分割翻轉成正方形、各種四邊形分割翻轉成鳶形），造成前述方式無法一般化分割，則本研究乃採用藤春幸三郎與田村三郎（1996）的方式先將任一四邊形剪貼成一可分割成其他各種四邊形的圖形，之後再透過它分割翻轉成其他各種四邊形。希望藉此建立四邊形幾何分割與拼圖之理論。

像直線、圓、圓錐曲線這些幾何圖形，在教科書上，我們可學得它們的極坐標方程式。另一類曲線，像正三角形、正四邊形...正 n 邊形，也是我們所熟悉的幾何圖形，似乎也應該有它所對應的極坐標方程式，是否它們被遺忘了呢？我們願意試著為它尋找！

數學之中，常有一些數組有著特殊的性質，等冪和數組便是其一，至今仍是尚未完全解決的問題。而這次我們的研究對象，卻非一般的等冪和數組，而是一種奇中之奇，有著更微妙特性的數組，恍如不死之身，無論層層剝削，仍為等冪和數組的一員。為何他有著不同凡響的身世？和對稱究竟有什麼關聯？又有著什麼更耐人尋味的特質？值得加以探討。

五年級在數學資源教室我用百力智慧片進行正多面體的研究，發現正多面體共有 5 種。後來，在「趣味數學謎題的 20 種解法」，這本書中的問題 52 ： 〔 想用紅藍 2 種顏色塗立方體的 6 個面，會有 10 種塗法，但滾動時會成為同顏色的只算是 1 種。 〕 這問題引發了我用兩種顏色塗其他正多面體的興趣。在老師的鼓勵下，校內科展時，我發表了用兩種顏色塗正八面體的方法，我發現共有 23 種類型。接下來，我則進一步探討兩色正十二面體的問題。

在日常生活中，我們常看到房子的地板或牆壁貼著磁磚，許多是由正多邊形所購成的。我們非常好奇到底那些正多邊形可以當做磁磚的形狀？老師建議我們從一年級上學期學過的正多邊形著手，再運用二年級所學的方程式、不等式，以科學方法，試著去尋找正確的等案。

本研究係觀察球在樓梯間滾動的方式，尋求丟球的一般式。並利用「下樓梯的第一步」，解釋丟球具有「費式數列」的現象。筆者，並利用「下樓梯的第一步」及表格分析探討「費式數列」，並對於「費式數列奇偶性」提出分析。

從矩形的左下方出發，探討彈珠經過反彈所形成的截點（直線重複交錯於矩形的格子點）數量。討論不同長、寬的矩形分別走1 格（1，1）、2 格（2，1）及3 格（3，1）的情形，從圖形及表格的歸納整理中，得到可以利用矩形的長、寬計算出截點的數量的公式，簡要敘述如下：一、 長×寬為偶數×奇數時，截點數量=(長?1)×[(寬?1)÷2]。二、 長×寬為奇數×偶數時，截點數量=[(長?1)÷2]×(寬?1)。三、 長×寬為奇數×奇數時，上述兩個公式都可以使用。過程中發現截點數量除了與矩形長、寬有關之外，也與所走格子數之水平移動量及鉛直移動量有關。另外搭配圖形的放大縮小不影響截點數的想法，可以很快的由矩形的長、寬及所走格子數之水平及鉛直移動量計算出截點數。