數學科

「史坦納樹 Steiner Trees」為尋找已知圖形最短路徑和的問題，對於路徑最短要求，即我們所要的『最佳化』。舉個例子，在城鎮規劃，無論造橋或馬路或捷運。系統能以最短距離連接各個鄉鎮，就能大量節省經費及通往的時間。另外，在一個電路板或 IC 晶片CPU 上，有許多電晶體或邏輯閘需用許多線路連接，如果將這些電晶體以一種規則排列，讓所連接的線路總和最短，這樣不僅能節省線路材料的成本，且能降低電阻所浪費的電能，也可提高電路板在執行工作的效率。本研究對史坦納樹的各種規律和性質作進一步的探討。

由一道追逐問題開始，藉由控制追蹤器使獵人與兔子距離最遠，得到一、二、三與四個獵人追一隻兔子時，兔子與獵人的距離關係遞迴式。修改遊戲規則：(1)讓兔子僅在部分回合隱形；(2)定義「謹慎」和「明智」兩種情況來探討增加獵人數對追兔子的影響。研究發現：(1)兔子在現身的任一回合，其與獵人移動前後距離不變。若兔子至少隱形一回合，獵人就無法與兔子所在處重合。在109回合中，兔子若隱形4999回合以下，則可達成原題要求。(2)當兔子是「明智」的，獵人就永遠追不到兔子；但若兔子是「謹慎」的，就能用二或四個獵人達成原題要求。此外在三或四個獵人追兔子時，讓兔子部分回合現身，在追過頭之前獵人與兔子的距離會遞減，有追過頭的回合兩者距離則遞增。

本作品為兩人輪流取數的對局遊戲,且當有一方動彈不得或故意累加的數字超過所給定的正整數N 者算輸。設前一手拿取的數為Xk ,下一手拿取的數為Xk+1 且取數範圍為m~n,即 m≦Xk.Xk+1≦n (Xk.Xk+1.m.n 為正整數)。本作品所研究的問題為： 一 若Xk≠Xk+1 且m=1,即取數範圍為1~n 時,探討後手有必勝策略的N 值。 二 若Xk≠Xk+1 且m>1,即取數範圍為m~n(1 三 若Xk≠Xk+1,Xk+Xk+1≠m+n 且m=1,即取數範圍為1~n 時,探討後手有必勝策略的N 值。 四 若Xk≠Xk+1,Xk+Xk+1≠m+n 且m>1,即取數範圍為m~n(1

在所有的益智遊戲裡，有許多都隱含著一些數學上的關係，只要加以推導，便可找到一套必勝的方法，使我們在每次遊戲中，都能百戰百勝，我們也想以一種「拈」遊戲，作為探討的對象。

一、數學四組的作品與歷年相較，有很高的水率。 二、參與科展的學生都很投入，相對的評審都很認真，而且評審的意見相當一效，可惜初小和高中都有遺珠之憾。 三、國中、高中組都有從國際科展轉來的作品，表示國際科展已得到師生充分的注意，但是在高中組合作的研究品質，平均而言，還是比單打獨門者為高。 四、連續兩年以上參加全國科展者，本年見國小一位、國中一位、相當難得。在科展發源地美國，其全國展就叫國際科展非常強調這種科展明星。在我國，有人提議不把外國隊列入比賽，我們是以增加科展名額來因應，因為每年的研究作品還是不同，鼓勵參展就是鼓勵研究，未得獎的師生應抱著參展就是成就的心情來參加。 五、國中、高中學生明顯地都是自己進行研究。高小組明顯地分成兩類，一種是以學生研究為主，指導教師只是從旁協助，一種則是教師教導為主，學生參與活動學習，初小組因年紀甚小，有的是天才早熱、有的作品則較接近教室活動的紀錄，有些則成人灌輸的成份太多。一個比較具有指標性的作品是四年前賴緯綸小朋友的四數兩兩取差遞這過程的研究。至於把數學當成自然問題來考察比較少了。我們要強調數學思考與自然科學思考的差異性。

在解決基本三階魔方陣的過程中，得到解題的要訣在於訂立中心位置為5，可以得到八組解。然後嘗試改變傳統格式，將行與列的和訂為相同的等差數列，發現解答的組數會以中間位置為5 呈兩側對稱關係；而每個位置出現同一個數字的次數也有線對稱關係。因為只有中間位置能夠填入每一個不同的數字，所以解題時應先決定中間位置的數字，再探討其它位置的數字排列。當填入的九個數字呈等差數列時，發現解答的組數會以中間位置為此數列的中數呈兩側對稱關係。只要三階魔方陣的行與列呈現對稱排列，魔方陣的「四個角落數字和」必等於「填入數字的總和扣除兩倍第二行列數字和，再加上中間位置的數字」。

在選修數學上冊習作 2 - 2 中，有一題目： “ O 是正 △ ABC 的外心，試證∠AOB ＝∠BOC =∠ COA = 120°”引起我們的疑惑是否在任意三角形中，也可以找到一個點，使其與三頂點連接線段之夾角皆為 120°，又該如何找到此點 ─ 與同學相互討論後，我們去請教老師，老師鼓勵我們“很好的題材！研究看看！”。在我們著手研究，且分頭找資料時，卻發現在第 26 屆全國中小學科展作品中已有類似作品，不過老師告訴我們可以改良其證明過程，並朝不同方向，作更進一步的探討，常可獲得更大的成果，因而展開了我們的研究之旅。

作品中，首先證明了下列命題：「一橢圓中心為O ，在橢圓上取多點 P1,P2,...,Pn (n≧3)，使得 將圓周角n 等分，則。」又利用極座標上圓錐曲線的標準型：

課外活動時，老師要我們每個人完成一項“自我挑戰”的任務，翻箱倒櫃又上網路，尋找許多題材，最後被我們看上而雀屏中選的是 Brian Bolt借，王榮輝譯的“舉一反三”一書中的“郵票設計”問題，它符台實用性、生活化，又兼具趣味性，更重要的是真的很能「自我挑戰」。 基本上，這個遊戲要注意到，不同型式的郵票祖設計有不同的撕法，以及該設計總範圍內的每一個連續整數由 1 到總票值都能被單張或相連的若干張配對出來，不容易。