『複製正方形－談最少步驟矩形方格化』本文由一個限制條件出發：『有一種電腦軟體只能複製 1×1 的正方形，試問要構造一個 13×13 的正方形方格至少需要複製幾次？』利用相同的限制條件再推廣至 N×N 正方形，以及延伸至 N×M 的矩形。從 N×N 正方形須複製 1×1 正方形的最少次數的解題過程與 N×M 長方形複製 1×1 正方形的最少次數的解法統合，最後回歸到題目將一個矩形方格化須複製幾次的正方形。

由一道追逐問題開始，藉由控制追蹤器使獵人與兔子距離最遠，得到一、二、三與四個獵人追一隻兔子時，兔子與獵人的距離關係遞迴式。修改遊戲規則：(1)讓兔子僅在部分回合隱形；(2)定義「謹慎」和「明智」兩種情況來探討增加獵人數對追兔子的影響。研究發現：(1)兔子在現身的任一回合，其與獵人移動前後距離不變。若兔子至少隱形一回合，獵人就無法與兔子所在處重合。在109回合中，兔子若隱形4999回合以下，則可達成原題要求。(2)當兔子是「明智」的，獵人就永遠追不到兔子；但若兔子是「謹慎」的，就能用二或四個獵人達成原題要求。此外在三或四個獵人追兔子時，讓兔子部分回合現身，在追過頭之前獵人與兔子的距離會遞減，有追過頭的回合兩者距離則遞增。

本研究主要由一數學競賽問題來進行推廣。我們證明了完美全分割共有5種、完美二分割共有24種、完美三分割共有9種，而完美k分割在K>3時將不存在。我們也進一步將各種圖形繪出，並與相關立體圖形進行比較探討。

本研究的實驗目的是針對夜市常見射飛鏢遊戲，自製簡易模型探討大獎出現機率，作為提醒小朋友勿亂花用零用錢的最佳例證。除了按照飛鏢盤正常數字排列外，我們還試著製作出以順時針方向排列數字的飛鏢盤，以及用不同半徑畫圓，探討圓的大小是否會影響數字總和發生的機率？實際操作後，發現數字以順時針方向固定排列時，出現大獎機率較高，所以市面上常見飛鏢盤上的數字排列有其一定道理。而不同大小的圓，從實驗的結果觀察，似乎不會影響發生的機率，故較大的圓目的在提升命中率。透過實驗的數據，讓小朋友了解到中大獎的機率非常的小，所以應該把錢花在有意義的事上，勿做無謂的浪費。

我們定義「lap k三角形」如下： 如果用 k 個全等的小三角形以「邊併邊」的方式拼合成一個大三角形；而且大三角形仍和小三角形「相似」的話，則稱「大三角形」為「lap k三角形」。 本篇報告研究的重點，是想利用「圖形拼合」的性質，建立一個尋找「lap k 三角形」，並證明其個數的方法。利用此方法改良原本用「方程式」證明的方法，並得出下面的結論： 一、簡化「lap 2三角形」只有1種(即等腰直角三角形)的證明。 二、簡化「lap 3三角形」只有1種(即30° - 60° - 90°的直角三角形)的證明。 三、首次證明出「lap 4三角形」的三角形只有3種，但拼法有4種。說明如下： 1.任意三角形(如下圖一)。 2.任意直角三角形(如下圖二)。 3.內角為30° - 60° - 90°的直角三角形，有兩種拼法(如下圖三、圖四)。

電話號碼雖然是沒有規律性的數字，卻能用計算機算出來，這件事之所以神奇，是因為電話號碼本身不具備「量」的特質，只是單純的數字組合，但是經由我們使用的公式，另外賦予了電話號碼「數值」的概念。一旦號碼成為有意義的數值，拆解後便可進行運算。創造算式的過程，首先必須先將電話號碼拆解成兩個部份，拆開後，必須注意的原則有二：一、 首先得將拆解後前半段的最後一位數字的「位值」確定，便可知道究竟該把前半段的電話號碼乘上多少才合理。二、 前半段的運算告一段落後，多出的量，必須在後半段把它減掉；反之，少掉的數量，就必須在後半段把它加回來。

在選修數學上冊習作 2 - 2 中，有一題目： “ O 是正 △ ABC 的外心，試證∠AOB ＝∠BOC =∠ COA = 120°”引起我們的疑惑是否在任意三角形中，也可以找到一個點，使其與三頂點連接線段之夾角皆為 120°，又該如何找到此點 ─ 與同學相互討論後，我們去請教老師，老師鼓勵我們“很好的題材！研究看看！”。在我們著手研究，且分頭找資料時，卻發現在第 26 屆全國中小學科展作品中已有類似作品，不過老師告訴我們可以改良其證明過程，並朝不同方向，作更進一步的探討，常可獲得更大的成果，因而展開了我們的研究之旅。

在解決基本三階魔方陣的過程中，得到解題的要訣在於訂立中心位置為5，可以得到八組解。然後嘗試改變傳統格式，將行與列的和訂為相同的等差數列，發現解答的組數會以中間位置為5 呈兩側對稱關係；而每個位置出現同一個數字的次數也有線對稱關係。因為只有中間位置能夠填入每一個不同的數字，所以解題時應先決定中間位置的數字，再探討其它位置的數字排列。當填入的九個數字呈等差數列時，發現解答的組數會以中間位置為此數列的中數呈兩側對稱關係。只要三階魔方陣的行與列呈現對稱排列，魔方陣的「四個角落數字和」必等於「填入數字的總和扣除兩倍第二行列數字和，再加上中間位置的數字」。

因為數學課中了解數學有許多規律，又加上玩了許多移位遊戲，因此試著「改變遊戲條件」，我們自創「河內塔」，其規則為：1.每次只移動一個圓盤；2.小圓盤必須在大圓盤之上；3.移動次數愈少愈好；4.移動方式有鄰位移位及隔位移位兩種方式。經過多次試驗，分出兩種策略「前B後D」和「前D後B」，另發現步數變化與「盤子數」、「分堆方式」、「移位策略」有關聯性。盤數越多，步數越多；且將圓盤分成3堆，但奇偶數盤有不同的分法；「前B後D」使用於4到9盤，而「前D後B」運用在10~15盤；大小圓盤抵達終點的步數會劇增。

首先，我們從研究關於邊長比為1：2 的圖形開始，因為剛起步沒有頭緒，也無從下手，於是我們展現人類本能『土法煉鋼』，搬出圓規、直尺等一堆工具，徒手繪圖（慢慢畫的方法實在有夠遜!!)，以小正三角形或正方形，甚至是正多邊形去繞大正方形和其他正多邊形內部周圍，一開始很順利，但是當n 愈來愈大的時候，困擾就產生了；因此激發了我們人類潛能，改以「自轉」、「公轉」方法，並試著研究正N 邊形旋轉正M 邊形( M > N )，導出公式。最後，加上p 的改變，挫折越滾越多，正處於百思不解、困阨之際，所謂:「山不轉路轉，路不轉，路不轉人轉。」，惟有發揮人類極致的?性，再以「機率分配、樹狀圖」的觀念加持，當能迎刃而解，找出圈數與軌跡長度之規律，再逐步推廣到邊長比為1：P。