數學科

本研究針對「九、十九、廿九」這一個撲克牌心算遊戲，做進一步的深入探討。首先先進行數字組成和花色組成分析，接著利用電腦程式去模擬出不同尾數間的成功牌組和數字組成情況，進而去分析數據之間的關係。研究結果如下：一、3~30數字組成共220種，加入花色考慮，就有9880種；二、不同尾數成功牌組的數字組成皆是1108組，不同尾數之間的存在對應關係；三、不同尾數數字組成皆22種，出現次數和皆為14404次；四、將遊戲加入JQK後，利用方程式破解會剩下來的牌，且聯立討論出成功牌組；五、透過研究結果，將單人遊戲變化出多人的玩法。

討論凸四邊形被奇數等分點及偶數等分點縱切與橫切後面積與總面積的關係。

本研究主要探討光線由正六邊形一邊中點出發，經反射回到出發點形成循環反射的規律。其中發展了展開圖，藉由圖形不斷向外翻轉鏡射，以光射線出發後打到的邊為對稱軸，將多邊形及反射線段作線對稱操作，使入射路徑和反射路徑成一直線，所有線對稱後所得之多邊形會接續著將此一直線路徑覆蓋。運用標定座標的方式以記錄展開圖中光線射向，並探索展開圖中完成循環反射時的終點座標。運用將反射邊依序編號，方便記錄並計算反射的規律，以首段末位邊編號及累進段數的推算出完成循環反射所需的分段反射次數之通式，並藉以研究分段跨邊數、總反射次數及總跨邊數。並紀錄分段跨距串列，跨距規律及了解完成循環反射的通過點座標之規律。

透過「七個正方形之謎」的深入探討，我們除了破解其謎題外，更進一步去探討「點」和「正方形」的關係，最後透過歸納和整理，找到了正方形數量的公式。 ∑k=1n(n-k+1)2×k=(n×(n+1)2 ×(n+2))/12 利用這個研究結果，我們更進一步去設計有趣的「287幻方謎題」以及「兒童四角棋」，希望能做為未來學習平面幾何正方形的補充教材！

本研究探討可以使用哪些正多邊形拼排出有規律的圖形？由可用「1~3種正多邊形」共3~6個拼成交接面360°的圖形，推導出等式： (k-2)/2=1/x +⋯+ 1/y +⋯+ 1/z，k∈{3、4、5、6}, x、y、z ∈{N∣N≧3}╰ 共k項，x、y、z可相等 ╯ 利用枚舉法及十字交乘法，求等式的整數解。再實際製作正多邊形拼排，發現：有10組正多邊形可連續拼排出交接面360°都相同的規律圖形；有1組可連續規律拼排，但並非交接面360°都相同；而有6組圖形無法繼續規律拼排。最後分析能否連續規律拼排的原因，找出檢驗方法，並運用軟體illustrator繪出有規律的圖形。 研究發現，雖然我們只能使用正三邊形、正四邊形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形作為拼排規律圖形的元素，但卻能選取多組圖形，發揮創造力，設計出更多有規律的圖案。

從圖形分層遞降觀點找硬幣排列與方塊堆疊的遞迴關係式，可用流程圖找方法數。 一、將n個硬幣排成k列排法Bk(n) 種，共A(n)種 (一) 找出B1(n)=1, B2(n)=[n-1/2], B3(n) 。 (二) 從圖形解釋Bk(n)=Bk(n-k)+Bk-1(n-k) ： (三) Bk(n)拆為k-1列的關係式： Bk(n)=Bk-1(n-k)+Bk-1(n-2k)+…+Bk-1(n-tk) 二、將n個硬幣遞減排成k列排法Qk(n)種，共P(n)種 (一) 找出 Q1(n)=1, Q2(n)=[n/2], Q3(n)。 (二) 從圖形解釋Qk(n)=Qk(n-k)+Qk-1(n-1) ： (三) Qk(n)拆為k-1列關係式：Qk(n)=Qk-1(n-1)+Qk-1(n-1-k)+...+Qk-1(n-1-(t-1)k) 三、將n個方塊堆成k柱排法Tk(n)種，共S(n)種 (一) T1(n)=1, T2(n)=[n-1/2] 。 (二) 從圖形解釋Tk(n)=Tk(n-k)+Tk-1(n-k)+Tk-2(n-k)+...+Tk-t+1(n-k)，每柱取走1個： 最低柱為大於1層時，剩n-k個堆成k柱，排法Tk(n-k)種 最低柱為1層且有t-1柱，剩n-k個堆成k-t+1柱，排法Tk-t+1(n-k) (三) Tk(n)降為少於k柱關係式 Tk(n)=[Tk-1(n-k)+Tk-2(n-k)+...+Tk-t+1(n-k)]+[Tk-1(n-2k)+Tk-2(n-2k)+...+Tk-t+1(n-2k)]+...+[Tk-1(n-rk)+Tk-2(n-rk)+...+Tk-t+1(n-rk)] (四) 新發現S(n)數列。

從廣告影片中也能發掘有趣的數學題目。 本作品主要研究從廣告「交換名片」發想的數學問題：試求全體人員完成一對一交換名片所需最少輪數，我們得到最佳解；由於交換名片屬於交換訊息的一種，所以我們探討更一般化的情況，設計兩種交換訊息的方式：「攜帶」與「分送」，找出這兩種所需的最少輪數。前者的最少輪數和「2的n次方」有關；後者的最少輪數則利用「費氏n-步數列」解決。最後我們比較了三種方式的最少輪數。

快樂數一詞是一個近十幾年來所產生的話題，對於快樂數如何定義，及為什麼數也會有快樂與不快樂之分非常好奇，所以想藉由此次的研究及探討，我想找出有關快樂數的奧秘及特性，希望藉由此次的探討，讓我們對快樂數能夠有更深一層的認識。

本研究主要探討由一組數字來畫圖，所畫的圖形特徵與數字組合間的關係，並歸納共通性質。 (一)圖形特徵 1.個數1或2均畫出1個矩形。 2.個數≧3，圖形較多樣化。一次循環，均可畫出一個以最小數字為邊長的矩形，且從數字組合可判斷此種矩形彼此的離合程度。 3.個數非4整數倍，均畫出點對稱圖形。 4.數字順序相反的數序，互為線對稱圖形。 5.數字先後關係不變，只改變起始數字，所畫圖形經旋轉後會相同。 (二)循環次數，由個數除以4的餘數所決定。 (三)位移向量與旋轉變換： 1.將第一次循環起點到終點的位置向量做旋轉變換，可得各次循環的位移向量和終點座標。 2.可證循環次數。 3.可推算對稱中心座標。 (四)應用：繪出可變換圖形花樣的互動遊戲。

此作品研究「在n堆彈珠數目的分堆問題，當每堆個數不同並進行分配，每次都從最多個數那堆拿最少個數那堆的數目給最少個數的那堆，直到收斂或出現迴圈時，則停止分配彈珠。」首先，探究分配過程中，奇偶數變化與總和(∑)的關聯性，進而觀察出可達成穩定狀態(收斂)之條件的規律；而當無法達成穩定狀態時，起始彈珠數之總和固定，在甚麼條件下會形成最大迴圈或最小迴圈，其迴圈數是多少，而迴圈的個數又會是多少；並探討起始值在甚麼條件下，其分配過程中，每個組合都能經過且不重複；最後，將分配過程所找出的規律，運用數學邏輯並加入條件因素，寫成演算法，利用程式GDScript動態語言執行，並呈現其分配過程及驗證我們的方法。