等冪和是個古老、留有許多未解的迷人問題，過去多數使用多項式對稱、組合公式、複雜的代數方法、或以電腦輔助搜尋，求取較高冪次的理想解。本研究採用初級的數學理論、方法和公式，應用基本的集合性質、二項式公式、數學歸納法，成功獲取一系列等冪和的理想解，並證明其解的存在。研究從基本的二元集開始，探討等冪和理想解存在時的特性，然後導入定理3.1的方法建構、或運用推論5.1的方法倍數擴增，必可找到高一冪次或倍數冪次方和的解或理想解，並延伸到實數的等冪和問題求解。本研究也成功找到一系列奇數和偶數次、或無理數的等冪和理想解。研究結果預期可被應用至軟體的加密技術和相關應用，並且值得進一步探討質數的高冪次等冪和問題。

有n個袋子，每袋都有球，從球數最多的袋子中，取出和球數最少的袋子數量相同的球，放置球數最少的袋子中。反覆取放多次後，直到每個袋子的球數皆相同，即為平衡狀態。討論球數與袋子之間的關係為何，才能有機會達平衡狀態。能得知需經幾次移動才能達平衡狀態（取放一次稱為移動一次）。

本篇文章主要討論平面上三角形一個幾何定性性質的推廣，我們考慮的原始問題如『引理一』所述，即『一個三角ABC內部有一定點P，連接直線AP、BP與CP分別交BC、CA與AB三邊於P1、P2與P3三點，則PP1/AP1+PP2/BP2+PP3/CP3=1成立。』我們發現此結果在正2n邊形與正2n-1(n≥2 )邊形中也有相對應的推論，只是定值不再是1，而是會隨著邊數的不同而有所改變，我們可以表示出數個比值相加後之定值的一般化公式。此外，我們亦考慮非正多邊形的情形，但我們發現任意多邊形內的一點P並不再完全保有這個性質，僅有部分的P點可以維持這樣的性質。另外，我們亦將『引理一』推論到空間中的『任意四面體』、『正六面體』與『正八面體』，至於『正十二面體』與『正二十面體』上的推論尚在努力中，而任意多邊形內具有這些性質的所有P點所形成的軌跡也是我們接下來想要探討的問題。

本篇科展主要從一道古老的數學題目開始，"正整數中，被4整除或被4除餘1的數刪去，新數列{an}={2,3,6,7,10,11,……},求[√(S1 )]+[√(S2 )]+[√(S3 )]+...+[√(S2014 )]=?([ ]為高斯符號)"，直接延伸原題探討"當A={a,aϵN & a≡2 or 3(mod 4)}, Sm1 為A中的第m個元素，Sm2=Σi=1mSi1 ，為何[√(Sm2 )]=m?"，進而加以推廣探討" 當 A={a ,a∈N & a≡k1 or k2 or … …or kp (mod x)}，Sm1 為A中的第m個元素，Smn+1=Σi=1mSin 時，則A應滿足什麼條件，才能對所有的n和m，都有[n√Smn)]=m的結果?"

探討各種有規律的N角星形中N個“芒星角”的角度總和公式,並以釐清修正坊間所說:N角星形的角度公式為(N-4)x180∘的偏差,且建立另一套簡易的計算角度公式。

首先，利用槓桿原理及質量中心的概念，探討有關三角形的共點問題，並以分點公式為輔，求得內心、旁心、垂心、外心、奈格爾點、格高尼點及Mittenpunkt點的坐標。 我們從傅海倫教授所發表的一篇研究報告「物理原理在數學中的應用」，順利推導出垂心的坐標，並結合垂心及外心的證明，配合槓桿原理，重新證明出尤拉線定理。 利用質量分配及槓桿原理進行推證過程中，我們發現奈格爾點、格高尼點與垂心證法雷同；Mittenpunkt點與外心的證法雷同；而格高尼點(Ge)、重心(G)及Mittenpunkt點(M)具有三點共線及GeG：GM=2:1的性質，與尤拉線定理的證法相類似。 最後，列舉一些實例以槓桿原理做不同的思維運算，發現槓桿原理對國中生而言，在特定題材的教學及解題上，會是一項不錯的輔助工具。

給定S為{1,2,3,...,n2}的一個子集合，並預先將S中的數字填入一個n階方陣。若能將剩餘自然數{1,2,3,...,n2}-S全部填入此方陣中尚未被S所佔據的格子，滿足『相鄰的數字需填入方陣中相鄰的區域』且『填入數字的方法是唯一的』，則稱S為n階方陣的一個『確定集』。由於子集合S的『元素個數』與『預先填入的位置』為此問題的重要條件，在本作品裡，我們探討確定集S所需的『最少元素個數』以及『填入n階方陣中的策略』，使得若刪除S中任何一個元素，則剩餘自然數填入方陣的方法皆不唯一。我們研究的手法是透過定義『連續對應函數』，並觀察低階方陣的特例，找出最小確定集的條件並加以推廣到一般情形。我們也觀察了填入路線，與路線轉折次數所造成的影響，並得出一些有趣的數學性質。

我們數學課學習到有關機率的課程時，老師再次的提到了經典的柏拉圖問題，我們對這個問題中的數學原理更感到好奇，經過文獻探討與一連串深入的研究、討論和證明後，我們找到原題目的解、此問題的延伸狀況和一般式的解。在此研究中，我們嚴謹地證明通式，使用程式模擬數據來驗證其可行性，並成功連結生活上的實際應用。正因為柏拉圖問題與現實生活有強烈的連結，具有趣味性和可探討性，我們才能解決更多有關選擇的問題，並將這些結果廣泛地應用於生活之中。

本研究從網路風行影片出發，好奇消失的面積和似Rt△邊長有何關係。利用中間矩形的切法進行抽絲剝繭，發現中間矩形的切法影響似Rt△的兩股長和邊長m×n消失方塊的面積。另外，發現許多規律性，並利用邊長簡化推出m×n消失方塊、似Rt△的兩股長，與斜邊斜率差間的關係式為△θ=tan-1(h1m/w1n)-tan-1(h2m/w2n) 其中h1:右上Rt△長，w1: 右上Rt△寬，h2: 左下Rt△長，w2: 左下Rt△寬)，右上Rt△的邊長=(h1×m)×(w1×n)，左下Rt△的邊長=(h2×m)×(w2×n)，似Rt△的邊長=[(h1+h2)m]×[(w1+w2)n]。最後利用軟體繪製出「xy函數圖模式」，並推廣至分割成多塊小似直角三角形並找出一般化規律。

本文的主要研究目標是動態追逐問題，在經典的追逐問題中，質點的瞬時速度無時無刻指向其目標點，因此必須處理微分方程；而我們所定義的追逐方式是質點的位移無時無刻指向其目標點，換言之，出發點、質點及目標點三點恆在一直線上，這樣的追逐方式使得我們可以引進位移的觀念，並利用解析幾何、向量、三角函數、畢式定理、正弦定理以及參數式而得到下列結果。 1.質點做正n邊形動態追逐的軌跡方程式及路徑長 2.質點做正n邊形動態追逐時質點間的相對軌跡 3.質點做n邊形動態追逐的軌跡方程式 4.質點做單向追逐的軌跡方程式 5.質點做圓形追逐的軌跡方程式 並將我們的結果與經典的動態追逐做比較。 最後希望能將動態追逐推廣至三維空間，並將所有問題推廣發展成另一類新的追逐問題。