數學科

本篇在探討整數三角形﹝指邊長與面積均為自然數﹞周長與面積成倍數關係的存在與否；由﹝ 6、8、10﹞的三角形出發，發現其面積與周長的數值相同，但這是否唯一？還是有限個？或以某種形式無限個存在？再拓展方向考慮p∙面積=k∙周長﹝p、k均為自然數﹞時的情形，更發現到面積值、s-c值﹝s為周長的一半，c為三角形最長邊﹞、p值與k 值存在某種巧妙的關聯。 至於整數三角形與整數邊三角形﹝指邊長為自然數但面積不為整數﹞的疊合與鑲嵌，以往前人在疊合的經驗上始終纏繞在整數直角三角形，即其高必為整數；卻忽略了高不為整數的情況。我們不但發現了它，更了解如何去找尋它。在疊合的部分，更以不同型式來呈現，而非千篇一律繞著直角的方向思維。

本次研究議題主要是找校內部份學生擔任受測者。 藉由 Give or Take 的實驗，在給與不給之間探討「在每一次選擇背後所蘊含的數學意義(藉由數學分析，來討論該如何選擇)」。 再衍伸討論出許多不同選擇所造成的可能性，進而找出「利益最大化」的最好辦法。 最後將此實驗結果，套用到環境保育、團隊合作等方面，思考在「環境教育、永續家園」的架構下，我們應盡的職責使命是什麼。

本研究探討「在一個n×n的方格板上，從任意方格的中心運動到另一個與其相鄰方格的中心，每次運動必須轉彎，即任意兩次連續運動的方向垂直，最長的一條閉合、不相交的路徑要經過多少方格？」首先，探討滿足閉合、不相交的路徑的關係，利用塗色及歸納法推導可能經過的最多方格數，然後建構滿足條件路徑的解。我們成功得到最長移動路徑方格數可依 值分成四個群組，並依所建構閉合、不相交的最長路徑，區分成兩大類：螺旋狀和柱狀的移動路徑。其中，除n=4k+2, k∈N柱狀的路徑在n≥18明顯變少外，其餘都可找到螺旋狀和柱狀有相同的最長路徑。本研究也延伸討論n×m矩形的情形，並得到完整的結果，且設想掃地機器人能不重複打掃、掃過面積最大、自動回充電座充電的應用可能。

本研究從「圓外切四邊形的兩組對邊和相等」性質開始探討圓外切多邊形的邊長關係，進而發現奇數個邊的圓外切多邊形之邊長與切點所分割出的線段有規律的關係。再從「必有內切圓的三角形中三條角邊連線段交於內部一點將原三角形分割成三個圓外切四邊形」[2]出發，尋找四個邊以上的多邊形會有內切圓存在的條件，最終發現圓外切多邊形的判別條件，特別是在偶數個邊的多邊形中，得到Brianchon定理在圓外切n邊形（n=8、10、12、…）上所有對角線會共點的推廣結果，以及塞瓦定理在此種n邊形上的推廣結果。

「SET ! 你收集到幾組SET？」 本研究透過桌遊SET牌的研究，利用數學窮舉法和數學計算，探討SET牌桌遊遊戲中的奧祕。研究結果如下：一、SET牌由81張不同的牌所組成；二、至少發21張牌，一定會出現SET；三、利用我們找出的「關鍵密碼」，可以輕易將81張SET牌，拆解成27組SET；四、一副81張的SET牌，可以湊出1080組不同的SET。根據SET牌的四個屬性（顏色、數量、填充、形狀），每個屬性代表一個空間，我們將其想像成散布的四度空間的81個點，這81個點，每三個點連成一線，即是一組SET。81個SET點交織出1080條美麗的線段，即是屬於SET牌的數學美麗形體

在數學書籍中有許多關於密克定理的資料，其中密克五圓定理有許多未被證明的性質，我們以幾何作圖為主，代數運算為輔進行研究，在我們的研究中針對原始圖形的定義產生原定義及新定義兩個部分，在原定義的圖形中，我們找到能建立在任意五邊形的五點共圓(即密克定理)，以及條件限制更多的五圓共根心、三型四點共圓及三點共線等性質，新定義圖形也能發現類似的性質，不過新定義中性質的條件與原定義完全相反，我們將原定義的幾個推論都嚴謹證明出來，也找到原定義及新定義圖形的對應關係及比較，針對新定義圖形的推論也都有了初步的想法，甚至找出一些跟我們研究較無直接關聯的特殊性質，能在未來進行更深入的研究。

在組裝碳球模型的過程中，我們好奇碳球模型之五邊形、六邊形、七邊形的數量是否有其特殊關係，才會組成多面體，希望經由研究後，可以發現令平面形成多面體的原因，且應證碳球模型中，五邊形、六邊形、七邊形之特殊關係恆成立，並進一步延伸至其他多面體。 由文獻探討中，得知多面體缺角和為720°、尤拉定理的:點+面=邊+2、及巴克球與碳球模型之性質，進而進行相關之研究。 由研究中，我們得到的結論為: 一、五邊形數量減七邊形數量等於12 二、n顆碳原子模型(n為偶數且≥20)組成之碳球模型，有[0.25n-5]+1個組合方式。 三、對於符合每個點連接3條邊的多面體，∑k=1面(6-Nk)=12關係式恆成立。 四、對於符合2*邊-3*點= α的多面體，∑k=1面(6-Nk)=12+2α關係式恆成立。

本篇科展主要從一道古老的數學題目開始，"正整數中，被4整除或被4除餘1的數刪去，新數列{an}={2,3,6,7,10,11,……},求[√(S1 )]+[√(S2 )]+[√(S3 )]+...+[√(S2014 )]=?([ ]為高斯符號)"，直接延伸原題探討"當A={a,aϵN & a≡2 or 3(mod 4)}, Sm1 為A中的第m個元素，Sm2=Σi=1mSi1 ，為何[√(Sm2 )]=m?"，進而加以推廣探討" 當 A={a ,a∈N & a≡k1 or k2 or … …or kp (mod x)}，Sm1 為A中的第m個元素，Smn+1=Σi=1mSin 時，則A應滿足什麼條件，才能對所有的n和m，都有[n√Smn)]=m的結果?"

首先，利用槓桿原理及質量中心的概念，探討有關三角形的共點問題，並以分點公式為輔，求得內心、旁心、垂心、外心、奈格爾點、格高尼點及Mittenpunkt點的坐標。 我們從傅海倫教授所發表的一篇研究報告「物理原理在數學中的應用」，順利推導出垂心的坐標，並結合垂心及外心的證明，配合槓桿原理，重新證明出尤拉線定理。 利用質量分配及槓桿原理進行推證過程中，我們發現奈格爾點、格高尼點與垂心證法雷同；Mittenpunkt點與外心的證法雷同；而格高尼點(Ge)、重心(G)及Mittenpunkt點(M)具有三點共線及GeG：GM=2:1的性質，與尤拉線定理的證法相類似。 最後，列舉一些實例以槓桿原理做不同的思維運算，發現槓桿原理對國中生而言，在特定題材的教學及解題上，會是一項不錯的輔助工具。

我們欲證明任意n個正整數(n>1)之數列，其相鄰兩數相減之絕對值形成一個新數列，重複這個"運算"之數列是否具有循環性，並試圖找出其循環節次。 例： 0000 2 3 4 2 3 0001 1 1 2 1 1 0002 0 1 1 0 0 0003 1 0 1 0 0 0004 1 1 1 0 1 0005 0 0 1 1 0 0006 0 1 0 1 0 0007 1 1 1 1 0 0008 0 0 0 1 1 0009 0 0 1 0 1 0010 0 1 1 1 1 0011 1 0 0 0 1 0012 1 0 0 1 0 0013 1 0 1 1 1 0014 1 1 0 0 0 0015 0 1 0 0 1 0016 1 1 0 1 1 0017 0 1 1 0 0 }〈a_2 〉＝〈a_17〉＝0 1 1 0 0， 其循環節次為17－2＝15次 此"運算"的循環節次為15(週期為15)