數學科

以類似拿破崙定理的方式，先作一個任意三角形，在三邊各作一個與原三角形相似的三角形，再把三個相似三角形的重心連線，成為新三角形，探討原三角形與新三角形在重心方面的關聯。 三邊所做的三角形依照方向分為順時針旋轉、逆時針旋轉、180°旋轉以及不旋轉，依照三角形位置分為向內作圖及向外作圖，比較各種情況的異同，並試圖分析影響重心相對位置的因素。

本研究由探討三頂點在格子點上的任意三角形鉛直格線長總和與水平格線長總和關係出發，藉由各種計算法計算、觀察、推論、檢驗、修正、再檢驗、論證、推廣和應用的探究過程，發現格子點上任意三角形鉛直格線長總和、水平格線長總和與面積的關係為：面積=鉛直和1 +邊在鉛直格線長x0.5=水平和2+邊在水平格線長x0.5，並將此關係式推廣到簡單多邊形 ，然後應用於地圖上求面積。

此研究討論將多邊形各邊依等比例分割，與特定頂點相連圍成較小的多邊形與數個小三角形，運用電腦程式Geogebra，算出多邊形依等比例分割後，其各層三角形面積比和周長比，進而推導出其公式。

有一m╳n矩形方格，任選一格為起點，每次有三種移動方式任選其一：直向、橫向跳三格，或斜向(左上、右上、左下或右下)跳兩格，且不可超過此矩形。一筆畫走完所有m╳n矩形方格即有解。作品主要探討： 一、探討一筆畫路徑、迴圈有、無解狀態。 二、尋找出一筆畫有解路徑、迴圈的最小棋盤方格為4╳5棋盤方格、最小棋盤方陣為5╳5棋盤方格。 三、研究出任意m╳n棋盤方格(m≧4、n≧4且m跟n不可同時等於4)皆為有解迴圈棋盤方格(除4╳6、4╳7、4╳8為有解路徑棋盤方格外)。並提供有系統且簡單、快速的解題方法。 四、延伸推廣立體棋盤一筆畫迴圈。 五、延伸探討m╳n棋盤的最少步數。 六、將此研究應用到密碼上。

本研究以丹德林球體為發想基礎，將空間中平面與圓柱、圓錐面節痕所產生的圓錐曲線展開至平面並觀察其表現。發現圓柱面上的橢圓在圓柱面展開為平面後將形成餘弦函數圖形，此外我們也此想法推廣至平面的任意函數，推導任意直角坐標函數取一定範圍捲成圓柱面後的表現。而圓錐面上的橢圓、拋物線、雙曲線在圓錐面展開為扇形，並將扇形的角度擴張為完整平面後，將形成平面上的新圓錐曲線，並且平面上圓錐曲線的類型和圓錐面上圓錐曲線類型相同。

本研究發現n個人的約瑟夫問題，反覆淘汰留下來的第m個人，m＝1〜lcm(n,n-1,……,k) 時，倒數第k個淘汰的編號f(n,m,k) 會循環，其循環節長度是lcm(n,n-1,……,k)；又找出 f(n,m,k) 的遞迴公式，再以該公式使用 Excel 推算 n＝1〜16，m＝1〜lcm(n,n-1,……,2) 時，發現人數不變時，每個編號倒數第 k (k＝n〜1) 個淘汰的機會都相同；據此提出並證明「約瑟夫定理」：人數n人，反覆淘汰留下來的第m個人，取 m＝1〜lcm(n,n-1,……,2) 時，每個編號倒數第k個淘汰的機會都相同。

為了可以設計能打掃樓梯的掃地機，我們需探討正ｎ邊形在階梯上的翻轉，因此我們從試作小正三角形在大正四邊形外圍的翻轉，畫出質心之翻轉軌跡並算出弧長與面積；接著我們擴展到小正n邊形在大正k邊形的翻轉，在千變萬化的軌跡中，找到弧長、面積的通式。同時，我們也探討：當由大正k邊形翻轉小正ｎ邊形的弧長軌跡，並計算出回到原出發點的最小圈數，並發現其規律。最後在應用方面，我們依此發展到小正n邊形及圓形在階梯上的翻轉，並改變階梯之夾角推導出其通式，可應用在機器人掃地機打掃樓梯。

本研究由布拉美古塔定理(Brahmagupta theory)的圓內接四邊形的布拉美古塔線，找出二種具有內切圓性質的新衍生四邊形，此特定條件下的圓內接四邊形，會呈現是等腰梯形結構。將特定條件下的圓內接四邊形推廣至特定圓內接五、六、七、八、……、等n邊形中，可發現在多組正交對角線條件下，這些特定圓內接n邊形間具有遞迴關係數量的內切圓，其半徑之間、各自的圓面積與原外接圓面積都有特殊的比例關係。上述衍生多邊形的頂點、內切圓圓心、原圓內接多邊形的對角線與其交點，這些元素間也具有多點共圓的性質。

本研究透過實測，找出實心圓穿越空心圓張開的最大值，並歸納出比值，再利用畢氏定理將此通則發展成公式。藉由空心圓直徑與空心圓張開最大值的比值所發展出的公式，預測實心圓可以穿越的最小空心圓直徑，並將本研究發現的公式應用在日常生活中，例如：撲滿、收納袋、收納箱等。

在本篇文章中我們將討論任給n個正整數邊長可形成的三角形數目，以及由最少至最多數目的例子建構歷程，而討論這個問題也牽涉到在一線上建構不同的圓，利用不同的圓及圓心之間的關係來討論出例子建構歷程，也利用幾何關係證明出一些相關定理。