數學科

本研究從圖論的角度探討桌遊「Micro Robots」所引出的相關問題。 第一部分，提出並證明同心圓法、鄰接矩陣元素的加法、鄰接矩陣的乘法，可以計算遊戲地圖中任兩點的最短距離、最短路徑與最短路徑數，分別將三個演算法撰寫Python程式，並比較其功能與時間複雜度。 第二部分，探討遊戲地圖上的參數：兩點平均距離的極值，並引出遊戲地圖設計的問題。 第三部分，探討鄰接矩陣、卡牌矩陣、位置矩陣與地圖的關係，進而提出一套演算法，以處理滿足給定條件地圖之存在性與設計方法，並將演算法撰寫Python程式。

以類似拿破崙定理的方式，先作一個任意三角形，在三邊各作一個與原三角形相似的三角形，再把三個相似三角形的重心連線，成為新三角形，探討原三角形與新三角形在重心方面的關聯。 三邊所做的三角形依照方向分為順時針旋轉、逆時針旋轉、180°旋轉以及不旋轉，依照三角形位置分為向內作圖及向外作圖，比較各種情況的異同，並試圖分析影響重心相對位置的因素。

此研究討論將多邊形各邊依等比例分割，與特定頂點相連圍成較小的多邊形與數個小三角形，運用電腦程式Geogebra，算出多邊形依等比例分割後，其各層三角形面積比和周長比，進而推導出其公式。

有一m╳n矩形方格，任選一格為起點，每次有三種移動方式任選其一：直向、橫向跳三格，或斜向(左上、右上、左下或右下)跳兩格，且不可超過此矩形。一筆畫走完所有m╳n矩形方格即有解。作品主要探討： 一、探討一筆畫路徑、迴圈有、無解狀態。 二、尋找出一筆畫有解路徑、迴圈的最小棋盤方格為4╳5棋盤方格、最小棋盤方陣為5╳5棋盤方格。 三、研究出任意m╳n棋盤方格(m≧4、n≧4且m跟n不可同時等於4)皆為有解迴圈棋盤方格(除4╳6、4╳7、4╳8為有解路徑棋盤方格外)。並提供有系統且簡單、快速的解題方法。 四、延伸推廣立體棋盤一筆畫迴圈。 五、延伸探討m╳n棋盤的最少步數。 六、將此研究應用到密碼上。

本研究由布拉美古塔定理(Brahmagupta theory)的圓內接四邊形的布拉美古塔線，找出二種具有內切圓性質的新衍生四邊形，此特定條件下的圓內接四邊形，會呈現是等腰梯形結構。將特定條件下的圓內接四邊形推廣至特定圓內接五、六、七、八、……、等n邊形中，可發現在多組正交對角線條件下，這些特定圓內接n邊形間具有遞迴關係數量的內切圓，其半徑之間、各自的圓面積與原外接圓面積都有特殊的比例關係。上述衍生多邊形的頂點、內切圓圓心、原圓內接多邊形的對角線與其交點，這些元素間也具有多點共圓的性質。

本研究以丹德林球體為發想基礎，將空間中平面與圓柱、圓錐面節痕所產生的圓錐曲線展開至平面並觀察其表現。發現圓柱面上的橢圓在圓柱面展開為平面後將形成餘弦函數圖形，此外我們也此想法推廣至平面的任意函數，推導任意直角坐標函數取一定範圍捲成圓柱面後的表現。而圓錐面上的橢圓、拋物線、雙曲線在圓錐面展開為扇形，並將扇形的角度擴張為完整平面後，將形成平面上的新圓錐曲線，並且平面上圓錐曲線的類型和圓錐面上圓錐曲線類型相同。

本研究發現n個人的約瑟夫問題，反覆淘汰留下來的第m個人，m＝1〜lcm(n,n-1,……,k) 時，倒數第k個淘汰的編號f(n,m,k) 會循環，其循環節長度是lcm(n,n-1,……,k)；又找出 f(n,m,k) 的遞迴公式，再以該公式使用 Excel 推算 n＝1〜16，m＝1〜lcm(n,n-1,……,2) 時，發現人數不變時，每個編號倒數第 k (k＝n〜1) 個淘汰的機會都相同；據此提出並證明「約瑟夫定理」：人數n人，反覆淘汰留下來的第m個人，取 m＝1〜lcm(n,n-1,……,2) 時，每個編號倒數第k個淘汰的機會都相同。

為了可以設計能打掃樓梯的掃地機，我們需探討正ｎ邊形在階梯上的翻轉，因此我們從試作小正三角形在大正四邊形外圍的翻轉，畫出質心之翻轉軌跡並算出弧長與面積；接著我們擴展到小正n邊形在大正k邊形的翻轉，在千變萬化的軌跡中，找到弧長、面積的通式。同時，我們也探討：當由大正k邊形翻轉小正ｎ邊形的弧長軌跡，並計算出回到原出發點的最小圈數，並發現其規律。最後在應用方面，我們依此發展到小正n邊形及圓形在階梯上的翻轉，並改變階梯之夾角推導出其通式，可應用在機器人掃地機打掃樓梯。

本研究透過實測，找出實心圓穿越空心圓張開的最大值，並歸納出比值，再利用畢氏定理將此通則發展成公式。藉由空心圓直徑與空心圓張開最大值的比值所發展出的公式，預測實心圓可以穿越的最小空心圓直徑，並將本研究發現的公式應用在日常生活中，例如：撲滿、收納袋、收納箱等。

本作品藉由研究任意三角形與任意點之頂圓三角形的性質探討，推廣至任意多邊形與任意點之頂圓多邊形的性質探討，及其相鄰兩層圖形頂點連接之夾角與圖形之內角，其邊長比值關係的性質探討；並藉由研究任意多邊形與任意點之頂圓多邊形之形狀，歸納出其形狀區域分布及性質。