本研究在等差數列的基礎上，加入「若an為完全平方數，則an+1=√an 」的遞迴關係，將具有週期性的數列分為「單純週期數列」與「特殊週期數列」，並以單純週期數列為主要研究目標。我們探討單純週期數列的各項性質與充要條件，並透過歐拉準則與費馬小定理討論不同公差與首項是否能形成單純週期，整合與建構「給定公差，尋找可形成週期的首項」之方法，也研究特殊週期數列之性質與充要條件。

本研究是探討數學競賽中的題目，透過一疊卡片，先丟一張，再把下一張卡片放在最下面，反覆操做，求出剩餘牌。在過程中，我們先定義操作方式，並改變數量及丟放的順序，故本研究總共分成八個部分，分別為：丟X放一、放一丟X、丟一放Y、放Y丟一、丟X放X、放X丟X、丟X放Y、放Y丟X，反覆操作驗證，從大量數據中探討相關性質，發現算出剩餘牌共同特點：先算出有多少個間隔，再乘以丟放的張數和，減掉上一輪最後總張數與最後剩餘牌的差，最後判斷「先放」還是「先丟」，遇到「先放」時要減放的張數。

對於一個正n邊形，若一正三角形三個頂點分別位於正n邊形的三個不同邊上，則稱此正三角形為該正n邊形的內接正三角形。本次科展的主題，就是探討正n邊形的內接正三角形之作圖方法，以及作出的圖形中各種漂亮性質。

我們為了了解九宮格圖形的手機螢幕鍵盤鎖共有多少圖形，除了利用列舉法詳列外，還想出了樹狀法、部分樹狀法和刪去法三種計算方法，並請專家協助設計電腦程式檢測我們的數據，最後發現總共有139880種圖形。從問卷調查中發現目前圖像式鍵盤鎖十分普遍，而大家設定的圖像以點數量少或是和文字或數字有對應的居多。我們還找到了圖像中，點與點不能相連時，計算密碼圖形數量的公式，可作為圖像設計的參考，並設計出聖誕樹造型和立方體造型兩種鍵盤鎖圖像。

本研究探討正n邊形各邊邊長延伸經過p次交點所形成的p階n角星多邊形之角度及邊長，我們求出p階角星頂角的公式，證明：「n > 2(p+1)時，就存在p階角星」，並和正n邊形內部連線問題做比對，提出兩者的對應關係。對於多角星的邊長與各角星頂角的連線線段，我們使用三角函數列式求長度及使用電腦軟體EXCEL輔助計算討論。在這樣的觀察中，發現「正n邊形邊長在特定的狀況下會等於p階角星的邊長」等一些有趣的性質，而這些幾何特性的證明也能夠呼應它複雜的代數算式成立，除此之外，多角星的角度與角星頂點連線上計算都和原正n邊形的角度、邊長有一致性的關係，因此本研究把正n邊形視為一個0階角星。

我們主要研究一個有趣的數學摺紙遊戲：透過切割6解中空卡創造4款12解中空卡-長方形中空卡、長方形切割中空卡、逆斜中空卡、斜中空卡。 我們是最先發明12解中空卡遊戲的，4款12解中空卡都值得深入研究，本研究小組先選定12解斜中空卡作深入研究，至研究結束找到斜中空卡摺成正方形的組合數4760個，創作6解中空卡無法達成的12生肖、12星座等主題12解斜中空卡。 我們拿12解斜中空卡給同學玩，同學玩到連走路都捨不得停下來，於是我們繼續創造了幾何卡、乘法卡、分數小數卡、等值分數卡、加法卡等12解斜中空卡，將12解斜中空卡應用於數學學習，進一步統計加法卡和數4~48的摺法共計521種。

過任一點作射線k等分凸多邊形面積，需先考慮點的位置，隨著點的位置不一樣，作法有些許不同。

「在兩個7×7方陣中各選2格塗色，若其中一個方陣旋轉90°、180°、270°之後和另一個相同，則稱它們有相同的塗法，問有多少種塗法?」 我們從邊長小的方陣開始，將塗法一個一個畫出來，發現兩個塗色的格子有線對稱和不對稱兩種關係；塗４格時，發現多出了點對稱的關係。由此，我們想出旋轉複合(後面將解釋)的方法，並發現它可以運用在長方形塗方格和正六邊形塗三角形格子等平面問題。 接著我們推廣到立方體塗兩立方格，由於立方體的對稱軸太多，與其將之分為許多對稱關係，不如直接選格塗色，雖然長方體和正立方體的計算方法複雜許多，但其中仍有部分可運用從方陣和長方陣得出的公式。

本研究第一部分從尋找牌組設計法出發，以不同的數學結構製造出牌組，再分析牌組結構中變數的關係，並寫下其關係式及特性。 第二部分進一步改變規則，研究在不同規則下牌組變數的關係及特性。 第三部份引入區組設計理論，將牌組的設計矩陣化後，可以透過定理來檢驗任一牌組是否符合哆寶規則，還能再將矩陣擴張，得到旋轉法的一般化設計法。另外也可以透過0、1之間的互換，得到新的設計方法以及適用條件。

有一m╳n矩形方格，任選一格為起點，每次有三種移動方式任選其一：直向、橫向跳三格，或斜向(左上、右上、左下或右下)跳兩格，且不可超過此矩形。一筆畫走完所有m╳n矩形方格即有解。作品主要探討： 一、探討一筆畫路徑、迴圈有、無解狀態。 二、尋找出一筆畫有解路徑、迴圈的最小棋盤方格為4╳5棋盤方格、最小棋盤方陣為5╳5棋盤方格。 三、研究出任意m╳n棋盤方格(m≧4、n≧4且m跟n不可同時等於4)皆為有解迴圈棋盤方格(除4╳6、4╳7、4╳8為有解路徑棋盤方格外)。並提供有系統且簡單、快速的解題方法。 四、延伸推廣立體棋盤一筆畫迴圈。 五、延伸探討m╳n棋盤的最少步數。 六、將此研究應用到密碼上。