數學科

生活中，常常因為一個不小心，一段美麗的意外就此展開。 我們從三角形中的三角形個數計數開始。 計數三角形個數的過程中因為力道太大導致其中的一個小三角形意外地被搓破一個洞。並且發現計數時偶爾會有三角形是包含此被戳破的三角形。直覺告訴我們當任意戳破一個三角形時，剩餘的三角形數會有一個規律存在。經過一連串的抽絲剝繭與討論，我們終於找出這規律。研究過程之中，我們發現會有一些同樣的思維模式來解決問題。不得不說，數學的世界真的太豐富且無奇不有了。

本研究主要針對大正m邊形內嵌小正n邊形的內部圖形做探討，初步想法：因為對稱，所以中間交集的圖形大概也是正m邊形，或沒有交集！但事實似乎不是我們所想的那麼簡單。首先在Geogebra繪製了許多圖形後，發現n的奇偶性會使圖形內部的重疊區塊有不同的特徵及規律，並進一步依照m＞2n、m＝2n、m＜2n分細項探討。接著，本研究使用數學法則證明了此規律的一般性質。特別值得一提的圖形有二： (1) m, n皆為奇數且m＜2n的圖形會交集出邊長相等的非正2m邊形，此2m邊形既非正多邊形，頂點亦不共圓！ (2) m為奇數且n為偶數且m＜2n的的圖形會交集出正m邊形，唯獨(m, n)＝(7, 4)是例外的，它會出現沒有交集的結果。 最後，我們以鋪磁磚問題落實面積通式之應用。

取一條直線L，交△ABC三邊或邊之延長線於三點，再將此三點依序對角平分線以及中垂線等，分別作對稱後，所得三點會有何性質呢? 我們借助數學軟體Gsp以及Geogebra進行數學實驗與觀察，並由斜角坐標的觀點，利用向量的手法研究與證明，得到以下一些重要的結果： 關於三角形的五心，我們解決了△ABC三邊或邊之延長線上三點，分別對稱五心連線後，所得三點共線的參數條件解，並對共線性質做了一些探討，發現一些軌跡直線的包絡線，與二次曲線間的關聯，以及這些曲線與給定三角形的一些特別的連結。 此外，我們也就此研究問題，解決除了三角形五心之外的其它心的共線解，求出其與某類特定三次方程式間的關聯，並試圖尋找具有特別性質的未知新心。

本研究從牛吃草問題出發，將牛以繩子綁在房子固定的點，牠吃草的範圍是個部份圓(如圖一斜線部份)，我們改變固定點的位置、改變繩長、改變不同的房子形狀、讓固定點變成可動式等，研究所圍成形狀面積的變化，找出規律，並將研究結果進行實際的應用。

本研究主要在探討如何運用乘法計算數字方塊，稱它為「乘層方塊」。藉由訂定乘層方塊的遊戲規則，探討乘層方塊的層數還有結束數字的秘密，並期望能作為國小乘法課程上有趣的教學活動。 我們定義乘層方塊的遊戲規則，並驗證遊戲規則是否可行。接著把數字分成奇數和偶數並組合成不同的類型計算，總共有20種類型，1540種排列。 研究結果發現，我們訂定的乘層方塊遊戲規則是可行的，乘層方塊會有收斂的情形，收斂的結束數字只有0、1、5、6，其中以0的數量最多。乘層方塊的層數最多能達到7層，而4層的數量最多。此外，研究發現乘層方塊遊戲規則僅適用於四邊形。 規劃未來使用除法、加法並使用在不同多邊形來進行研究。

Sperner 引理常用於遊戲必勝法以及一些塗色的相關問題，本篇研究將先針對 Sperner 引理的內容進行探討，並且進行相關內容的證明，而後將Sperner 引理中的規則進行延伸：原先此引理在三角形內進行討論，本篇研究嘗試將問題假設為在任意正多邊形下其中頂點的標號為1、2、3且相鄰頂點需為不同標號下進行探討，而後在多邊形內部放入點後進行三角化，在三角化的過程中若其中三角形分別為1、2、3，則命名為公正三角形，對此成功探討出在不同正多邊形下公正三角形個數的狀況，並且將三角化後每個三角形皆為公正三角形的狀況定義為完美G(m,n)圖，在研究最後針對在三角形下的公正三角形個數進行一些特例整理。

國小五年級數學曾經介紹過正方體的展開圖，對國小學生而言，想要將三維空間的立體形體轉換為二維的平面圖形是較為困難的。本研究採用「玩數學」的理念為出發，讓學生透過有趣的、具體的實物操作，找出可組成正方體的平面圖形，並從中觀察與歸納出可組成正方體展開圖的規則。

本研究主要在探討打繩結時，繩子會縮短多少長度的問題。我們透過繩結在纏繞處的結構，來探究打繩結時繩子長度會縮減的原因，以及找出能計算繩子長度會縮減多少的公式。研究過程中發現，圓繩和扁平繩的單結，在纏繞處分別會產生纏繞圓和正五邉形的結構，我們藉此找到了估算繩子損失長度的數學公式。最後再將圓繩在打結處會如何縮短長度的數學性質，應用到其他不同的繩結上，完成了圓繩可以在其他繩結上估算損失長度的公式。

一. 找出廣義3階魔方分5型各別計其數MA(t)，MB1(t)，MB2(t)，MC(t)及MD(t)將排和t依序由0，3，6，…到144表列此5型數量，及衍生之H(t)，M(t)，S(t)，SB(t)，SC(t)，SD(t)數量。 二.用二次函數假定或階差數列求和，推測H(t)及M(t)公式，導出S(t)公式。 三.用位元分析：(一)推出MA(t)，MB(t)及MC(t)公式。(二)掌握D型特徵，但暫用階差數列推測MD(t)公式。(三)推出H(t)公式。(四)藉MA(t)，MB(t)，MC(t)及H(t)論證MD(t)公式與(二)的推測吻合。(五)藉MA(t)，MB(t)，MC(t)，MD(t) 推出M(t)公式符合先前推測。(六)附帶推算SB(t)，SC(t)，SD(t)公式。 四.討論延伸至4階魔方的作法，並探索用3階建構6階及9階。

本研究從圖論的角度探討桌遊「Micro Robots」所引出的相關問題。 第一部分，提出並證明同心圓法、鄰接矩陣元素的加法、鄰接矩陣的乘法，可以計算遊戲地圖中任兩點的最短距離、最短路徑與最短路徑數，分別將三個演算法撰寫Python程式，並比較其功能與時間複雜度。 第二部分，探討遊戲地圖上的參數：兩點平均距離的極值，並引出遊戲地圖設計的問題。 第三部分，探討鄰接矩陣、卡牌矩陣、位置矩陣與地圖的關係，進而提出一套演算法，以處理滿足給定條件地圖之存在性與設計方法，並將演算法撰寫Python程式。