近年來流行的轉珠遊戲大同小異[1]，其玩法是可以從任一顆珠子來移動，所以能自由移動的方式相當多，找出最短移動路徑也相對的複雜。起初先從數字拼圖開始[2]研究起，若起手之珠子看成是空格的話，移動珠子等同於數字拼圖的數字移動至空格處，別於數字拼圖的固定位置擺放，轉珠遊戲以這個架構延伸變化，本篇試著先從3X3所有的盤面中找出最佳的移動方式，然後將所有5X6分割成若干個3X3中的盤面，而從每個部份的最佳路徑，找出整個5X6的最短步數，進而希望找出解出m x m路徑的規則。

本篇研究主題為給一定角∠XOY，在定角內某一定點P，則任意通過P之直線L分別交直線OX, OY於A, B兩點，我們想研究當通過P直線L開始變動，則三角形△OAB外心OOAB 、內心I、重心G、垂心H、第一費馬點F1、第二費馬點F2軌跡圖形為何？特別當∠XOY=π/2時可利用解析幾何的方法，證明外心OABO 、重心G軌跡均是雙曲線，內心I軌跡是一條在x-y=0及x+y=0上的線段，垂心H就是頂點O，第一、二費馬點F1、F2軌跡分別為圓。即六心在此情形下均屬於圓錐曲線，事實上當∠XOY為一般角度時，利用純幾何證明發現，重心G、垂心H、外心OABO軌跡均為雙曲線，第一、二費馬點F1、F2軌跡也均為圓，之後將問題推廣到三維空間四面體O-ABC，若考慮給定空間中四面O-ABC，且平面ABC恆通過定點P，研究此四面體O-ABC 外接球心O1、重心G、內切球心I軌跡圖形為何，發現與平面狀況類似結果。

在數學書籍中有許多關於密克定理的資料，其中密克五圓定理有許多未被證明的性質，我們以幾何作圖為主，代數運算為輔進行研究，在我們的研究中針對原始圖形的定義產生原定義及新定義兩個部分，在原定義的圖形中，我們找到能建立在任意五邊形的五點共圓(即密克定理)，以及條件限制更多的五圓共根心、三型四點共圓及三點共線等性質，新定義圖形也能發現類似的性質，不過新定義中性質的條件與原定義完全相反，我們將原定義的幾個推論都嚴謹證明出來，也找到原定義及新定義圖形的對應關係及比較，針對新定義圖形的推論也都有了初步的想法，甚至找出一些跟我們研究較無直接關聯的特殊性質，能在未來進行更深入的研究。

由一道數學習題的啟發，讓我們聯想到由一定點與兩圖形上動點作正三角形的問題。為了方便問題的解決，不妨就定點與兩圖形的位置關係逐一討論，我們發現了過定點作正三角形的各種可能，其解包括四解、三解、二解、一解或無解。而從這一系列問題所研究出來作正三角形的方法，並利用判別「直線與圓、圓與圓」交點數的式子，正可以解決「定點落在哪些區域可作的正三角形會有多少解」的問題。

本研究主要探討在一正方形土地內設置的商家數目與最佳擺放位置間的關聯。我們定正方形邊長為1並將其坐標化，假設客源均勻分布在正方形中。以點表示商店的位置，以該點為圓心畫出的圓表示此商店擁有的腹地，且設每一商店擁有相同的腹地大小。首先，以較少圓數(1~3)覆蓋此正方形求其最小半徑，並從圖形觀察得到「整齊放法」的概念。接著，證明當各列圓數越相近時所得半徑越小，經計算發現當圓數n值介於(k－1)×k與k×(k+1)間時，以k列「整齊放法」所排出的圖形可得最小半徑，續以較多圓數(5~12)繪圖檢驗其正確性，且推廣證明「整齊放法」亦可用於任意圓數n。最後比較多邊形放法與整齊放法所得半徑之大小。

我們欲證明任意n個正整數(n>1)之數列，其相鄰兩數相減之絕對值形成一個新數列，重複這個"運算"之數列是否具有循環性，並試圖找出其循環節次。 例： 0000 2 3 4 2 3 0001 1 1 2 1 1 0002 0 1 1 0 0 0003 1 0 1 0 0 0004 1 1 1 0 1 0005 0 0 1 1 0 0006 0 1 0 1 0 0007 1 1 1 1 0 0008 0 0 0 1 1 0009 0 0 1 0 1 0010 0 1 1 1 1 0011 1 0 0 0 1 0012 1 0 0 1 0 0013 1 0 1 1 1 0014 1 1 0 0 0 0015 0 1 0 0 1 0016 1 1 0 1 1 0017 0 1 1 0 0 }〈a_2 〉＝〈a_17〉＝0 1 1 0 0， 其循環節次為17－2＝15次 此"運算"的循環節次為15(週期為15)

當兩個三角形的三個對應頂點的連線共點時，這兩個三角形的對應邊延伸出來的三交點會共線，這是笛沙格定理。若是對應頂點的連線不共點的情況，那麼延伸出來的三交點便不會共線，而是形成一個三角形。 本篇研究探討「對應頂點連線不共點」的「連續相似三角形」，根據愛可爾斯定理，可以方便的利用點對稱作出其他相似三角形。經過畫圖發現這些連續的相似三角形，相鄰兩兩一組作「延伸三角形」，這些延伸三角形會互相相似，而這樣的性質可以推廣到任意兩兩一組的情況。接著將連續相似三角形的性質再推廣，讓對應頂點不必共線，而是對應頂點距離比相等，仍然具有延伸三角形相似的性質。另外也發現了一些關於延伸三角形頂點的共曲線性質。

本研究由布拉美古塔定理(Brahmagupta theory)的圓內接四邊形的布拉美古塔線，找出二種具有內切圓性質的新衍生四邊形，此特定條件下的圓內接四邊形，會呈現是等腰梯形結構。將特定條件下的圓內接四邊形推廣至特定圓內接五、六、七、八、……、等n邊形中，可發現在多組正交對角線條件下，這些特定圓內接n邊形間具有遞迴關係數量的內切圓，其半徑之間、各自的圓面積與原外接圓面積都有特殊的比例關係。上述衍生多邊形的頂點、內切圓圓心、原圓內接多邊形的對角線與其交點，這些元素間也具有多點共圓的性質。

對於三角形內接三角形的問題，本文給出在任意三角形中內接相似於某標的三角形之子三角形作法，並發現這無限多個子三角形都繞同一個中心旋轉及伸縮，所以接下來證明旋伸中心的存在及找到它的方法，並研究出與它有關的諸多性質。然後為將問題延伸到一般的情況，依序研究n邊形內接相似於某標的三角形、n邊形內接相似於某標的m邊形的作法與解法數討論。最後發展到在m條直線上取點作相似於與某標的m邊形的子m邊形作法。

本研究是想尋找並建立一個數學模式，來探討兩物之間障礙物數量與通過率的關係的問題。我們可以將每個正方形看成一個小單元，因為我們都知道所有東西都可以分割成最小單位。而且也有數學家曾說：當我們做過越多次試驗，則我們所得到的數值會更接近機率。所以，如果有很多樣本通過此方格陣列，則我們可以將此數值看做通過率。再由古典機率的性質，我們反轉先求出路徑的走法數。 而若我們導出這個公式後，我們可以運用在不只是路徑走法的成功率、更能用在電子流動的機率，更可以運用在抽象的事物上，像政府的決策成功率等等。