本研究從股差為 1 的素勾股數家族{(an,bn,cn )}得到關係式vn/un =1/(2+vn-1/un-1 )，其中n,un,vn∈N, un＞vn,(un,vn )=1,un,vn為一奇一偶；以不同的v1/u1 代入關係式，迭代產生不同的vn/un，再由(an,bn,cn )=(un2-vn2,2un vn,un2+vn2 )產生股差為|u12-v12-2u1 v1 |的素勾股數家族；將(un,vn)當成平面座標(x,y)，則股差為定值的{(un,vn)}構成平面座標中的「勾股鐵路網」；將(an,bn,cn )當成空間座標(x,y,z)，則股差為定值的{(an,bn,cn )}構成空間座標中的「勾股鐵路網」；由不同最簡股差的乘積找到另外兩個關係式，由此得到股差為定值的素勾股數家族之不同的〈vn/un 〉，並由此確認最簡股差為定值的〈vn/un 〉之條數，進而確認最簡股差為定值的勾股鐵路之條數。

本研究探討在平面上以一定點P切割△，尋找使三子△尤拉線共點之P點。這種點有無限多但有一定排列，我們用代數法求出P點軌跡方程式，且發現非正△中能使尤拉線群共點的P點軌跡分成三部分:1.封閉曲線2.外接圓3.開放曲線。另外發現共點Q軌跡在原△尤拉線上，分成三種:1.整條直線2.直線上下兩部分3.直線上中下三部分。進一步，若原△有一內角為60°或120°，則開放曲線變直線，封閉曲線變圓，且此圓的半徑恰好等於外接圓半徑。尋找使三子△尤拉線平行的切割點「I」，發現非正△都有1個I，且等腰△的I點可用尺規作圖畫出，正△中則有無限多I點呈擺線狀。最後用等腰△來探討P、Q競逐關係及速率的相對變化，非常有趣。

本研究目的在瞭解正四面體隨意剪開後的展開圖，為何能拼貼成平面鑲嵌圖形。我們發現圖形間組合的部位，要構成360度的圓周角，才能形成一個緊密、無空隙的平面填充圖形；如果立體圖形展開圖是正多邊形或凸四邊形，隨意剪開後的展開圖，拼貼後必能緊密、無空隙的鑲嵌成完整的平面填充圖形。正四面體剪開後的展開圖進行平移、旋轉後，不規則的展開圖能復原成正三角形和平行四邊形(凸四邊形)兩種符合鑲嵌原則的圖形，展開圖必能拼貼成平面鑲嵌圖形，展開圖間組合的部位及鑲嵌的方式都一樣，具有規律性；正六面體的展開圖不是凸四邊形或正多邊形，不符合鑲嵌原則，相鄰兩個面展開後產生的位移情形，及圖形周圍和裡面形成的角度為90、270度，導致剪開後的展開圖有許多變化，無法緊密的鑲嵌。

在平面上，三角形有重心、外心、內心，若將討論的範圍提升到空間中，三角錐也有同樣的性質，我們利用了紙筆證明以及動態繪圖軟體 GSP 來呈現，來說明空間中的三角錐確實也有重心、外心、內心，而且其幾何性質，與我們所學平面上三角形的三心有極相似之處。

本研究的目的是探討素勾股數家族的產生。研究方法是以最簡真分數數列產生素勾股數家族，研究結果是由最簡真分數數列產生股弦定差、勾弦定差以及勾股定差之素勾股數家族，更進一步由最簡真分數數列產生素勾股數三元樹。

格子圖形是具代數特性的幾何圖形，是解析幾何中一環。首先研究發現格子直線數與法里數列及尤拉函數有關，透過遞迴關係導出其一般式。其次探討形成格子圖形的充要條件，得到 (1) 坐標平面上有格子正n邊形的充要條件為n=4 (2) 坐標空間中有格子正n邊形的充要條件為n=3,4或6 (3) 恰有三種格子柏拉圖 最後的主軸是找出五心與九點圓圓心皆為格子點的充分條件，成果如下： (1)畢氏三角形內心及旁心皆為格子點；而Heron三角形在某條件下，內心及旁心也是格子點 (2)畢氏三角形與Heron三角形三邊長滿足在某條件下，五心與九點圓圓心皆為格子點 (3)三角形三邊長為整數比，經伸縮變換後可使五心與九點圓圓心皆為格子點

本作品主要研究「Hamming碼和序相鄰項」，利用二進位制去探討，我們取相鄰項奇偶性異同，制定一個邏輯運算，得到一個個序列稱X(n)。本研究發現以每4項去觀察X(n)，並以二位進位制表徵去得到X(n)的快速解法，進而發現不同n的X(n)值相等的規律。 本研究命SX(n)為1~n的X(n)之和，我們得到求SX(n)的演算法。 本研究改變X(n)邏輯，提出對偶關係稱為Y(n)，並討論Y(n)的演算方法及其性質。 我們也利用漢明碼序列和的奇偶性平舖於平面並塗上顏色，當作數字圖案的座標域圖形顏色的轉換，以應用在藝術地毯。

本次為了要解這個圖表，用了許多方法，如參考書籍、實驗、討論、請教老師等……，我和其他組員參考了國小四年級下學期的數學課本。最後決定做成圖表來實驗，但是還是無法了解圖表的排法，接下來就分析圖表的數字排列方式，還是無法了解圖表的排法，最後用推論的方式並對照所查的資料，終於找出圖表的排法；並利用這個數字排法搭配百家姓，終於破解算命仙為何能猜出算命者的姓。

給定一 m×n 點方陣或一 a×b×c 點方塊，若兩點間的距離為1，則定義此兩點相鄰。於方陣或方塊內，一筆畫出一個由相鄰兩點連接之線段所組成之圖形，且路徑不重複，使得經過之路徑長最大。路徑長最大的圖形可能有多種。本次研究的主題，是探討點方陣與點方塊的一筆畫圖形之最長路徑，以及探討特定狀況下，圖形完成最長路徑之走法數。

本文探究是否能將三堆石頭移動成數量皆相等的狀態（稱之為「穩定狀態」），因為遊戲進行中，石頭的總數不變，故以石頭數量總和進行分類觀察，我們逐步探討得到：數量總和不是6的倍數之非穩定狀態數對無法形成穩定狀態，進而得到形成穩定狀態的充要條件，並且利用二進位表法歸納三堆時的移動次數型態，得到不須二進位即可操作的移動方法。最後，我們將此結果擴展到多堆石頭時，形成穩定狀態的充要條件及移動方法。