數學科

以2×1的方塊進行排列，探討排列成 m×n (其中m為2、3、4，n為所有自然數)的長方形時，所有的排列方法數；分別以An、Bn、Dn分別表示2×n、3×2n、4×n的所有情況，並比較之間的關聯性。因為2×1方塊無法完整排成3×n的圖形 (其中n為奇數) ，故不討論。研究最後結果，我們得出An、Bn、Dn的遞迴關係式與An的通式解。 另外，還嘗試用3×1方塊，探討3×n的結果，並與An比較，發現之間的關係頗為類似；也因此能類推至利用m×1的方塊，排成m×n的長方形之情況。

本文從一個現象開始:一群陌生人在坐一排座位時常不與他人鄰座，對此現象建立了一對數學模型探討。我們主要研究一維的情況下，能坐下的人數、以及若第一個人策略性的選擇，其至多能坐下的人數及策略、和隨著椅子數的增加至多能坐下的人數之變化。進一步地，我們將其中一個模型推廣到二維的情況，推導出在正方形的格子點中能坐下的人數。過程中我們先做一些預處理得到遞迴函式，然而常會遇到帶有高斯符號或是分段的遞迴函式，因此我們主要採取的手法是先猜出遞迴式的通式再歸納，或是利用調整法。最後雖然礙於二維以上的一般情況會因沒有規律而導不出完整的結論，但本文中我們做出了一些部分結果，未來也會試圖往更廣的情況突破。

在找尋正方體和長方體的展開圖過程中，我們就像展開了潘朵拉的盒子一般，瞬間爭議聲四起，大家你一言我一語，爭相說出同學上衛發現的展開圖，在一片混亂中，我們研究發現了尋找正方體展開圖的規律，並利用這個規律進一步找出長方體的所有展開圖。

本研究為探討奇數n分為(a,b)整數對後，不斷取偶數除以2加於奇數上的交換過程。 我們從交換過程推導出交換元素 (H×2k，(n- H×2k))，並找到交換奇數集合H，透過交換奇數列表能更快找出數字n中有幾個循環，另外也發現nx=2(x+1)k+2x×k+2(x-1)k+....23k+22k+2k+1時不可交換的數字規律。 交換奇數列表在階段k時，可知[n-(3×2k+1)]÷2k+1=sk...qk，若qk2k，則階段k最小的數字= qk-2k。 依照發現，可列出數字n的所有交換奇數列。 之後，發現交換奇數的排列呈現迴圈規律，並進一步找到形成循環的條件與糖果數目左右交換的關鍵點。 此外還找到了位置移動數列：y×(2k)0,y×(2k)1,y×(2k)2, y×(2k)3……y×(2k) (x-1) 以及位置移動級數s(k,y,x)= y×[1-(-2k)x)]/(2k+1) 透過位置移動數列可更快速的列出迴圈，達到快速降階，更迅速找出循環的目標。

養貓養狗當成寵物人人愛，政府也不斷宣傳要幫寵物結紮以免數量太多造成家庭與社會的負擔，五下自然課也有上到動物的繁殖，為了能更清楚明瞭動物的繁殖力，本研究以貓為對象，費氏數列為基礎，研究影響貓族群數量的「成長期」、「懷孕期」與「子代對數」三個基本變因對數列的影響，找出數學式與推算出貓對(如公母各1隻稱為貓對數量為1)繁殖的模型，以預測貓族群的數量，了解替寵物結紮的重要性。

此作品研究是「將問題先轉換成二元一次方程式的解(其中二元一次式為3x+4y)，再者，透過推導過程研發找到『間隔標記點數模式』方法，能快速且無遺漏的畫出，判斷能否將圖形覆蓋填滿；更進一步延伸到N×N方陣或M'×N'矩形，只有總格數為3的倍數，可完全被L型填滿，若一定都要用到I型或田型，則分別最少需3塊；當總格數為非3的倍數，則I型或田型分別最少為1塊或2塊，需視總格數推知。對I型與田型拼片數同但結構不同，部分巧拼是無法填滿，經總格數切割成小方陣或小矩形的組合，推導找出符合可將方陣圖形及矩形圖形覆蓋填滿之劃分方式的一般式，同時以『數學歸納法』證明之。最後，以程式C#寫出執行操作的友善介面，進行驗證其規律與異同點。

把 個箱子依序編號後排成一排，接著把 顆球也依序編號，這樣一來每個球都有相對應的箱子可以放入。如果今天我們隨意的將球放置在箱子裡，再觀察球跟箱子的編號是否一致，我們可以發現到三種情形： 第一種：每顆球剛好都放進所對應號碼的箱子 第二種：有些球剛好放進所對應號碼的箱子，而有些沒有 第三種：每顆球皆沒有放進所對應號碼的箱子 除了第一種之外，其他兩種有很多種排列的方法數，在考量到排列總數量或是錯誤排列個數這兩個變因後，最後我們得出一個關係式為f(n,t)×Πk=n+x-t-y+1n+xk/Πk=n-t+1nk×Σk=2t+y[(-1)k×1/k!]/Σk=2t[(-1)k×1/k!]=f(n+x, t+y) ，其中n, t, x, y ϵΝ且n≧t>1、n+x≧t+y>1

本研究主要在討論一個益智遊戲─瓶蓋問題：一開始有十瓶飲料，每兩個瓶蓋或四個瓶身換一瓶新的飲料，而求能喝到的飲料瓶數。我們將這個問題延伸擴展，觀察多個交互影響的變數的變化規律，並了解兌換過程中的特性，再進而找出計算法則來求取最多可喝到的飲料瓶數。以及考慮不同兌換策略造成結果的差異，並據此尋找其在商業上的用途。

堆磚塊問題的最長延伸值在150年來普遍的被探討，甚至也出現在我國的物理課本當中。然而在我們的特殊堆疊之下，發現最大延伸值或許可以延長。在過去等寬等質量磚塊的堆疊中，所有磚塊皆遵循上面n塊的總質心位在第n+1塊的右邊緣正上方。但是，我們可以跳脫原本「只能向右延伸」的框架，有計畫地其中某幾塊向左排列。這些延長值的範圍可以透過函數的歛散來解釋。 我們也探討如何堆疊不同長度及質量的磚塊而得最長延伸值。我們以不同順序堆疊磚塊，並且同樣透過典型方法及特殊方法來討論，並且由上到下以數列來描述不同長度木塊的擺設順序，由此討論可能的最大延伸值，並寫成數學式，用於計算每層磚的不同長度的最大懸伸。

研究科學玩具「nanodots」與數學曲線「懸鍊線」(Catenary)的關係，並更進一步思考nanodots的多寡與最終形成曲線的逼近程度是否有正向的關聯。