數學科

有n個袋子，每袋都有球，從球數最多的袋子中，取出和球數最少的袋子數量相同的球，放置球數最少的袋子中。反覆取放多次後，直到每個袋子的球數皆相同，即為平衡狀態。討論球數與袋子之間的關係為何，才能有機會達平衡狀態。能得知需經幾次移動才能達平衡狀態（取放一次稱為移動一次）。

本研究將從七圓定理出發，試圖改變切圓個數，探討共點的存在性；更進一步推廣「六個與兩內離圓分別均外切與內切的環切圓」之雙心六圓，探討其共點、共線、共圓及共錐等性質；研究有驚人的發現「當六個環切圓轉動時，其各類對應點連線之共點必為定點，且在連心線上。」推廣至不同個數的環切圓時亦成立；當兩內離圓甚至推廣至兩外離圓或是圓與直線時，亦發現其諸線共點、諸點共線、諸點共圓、諸點共錐等性質必成立。

研究目的有三：（一）探討平行四邊形n切等分點的數量。（二）探討梯形n切等分點的數量。（三）探討任意凸四邊形n切等分點的數量。結果如下： （一）平行四邊形之2n切等分點共有(n+1)2個， （二）若將梯形切成n等分三角形，則令上下兩塊三角形共可切成(αi+βi) 塊，並利用梯形之性質代入後求出其n切等分點為Σ(n-αi-βi+1) 個。 （三）若將任意凸四邊形ABCD切成n等分三角形，則將頂點坐標化並分三種情形： 1. 若X點在四邊形內部時，即p+q+r+s=n，其中p, q, r, s ϵN，若交點(x1, y1)與(x2, y2)相同，則比例成立； 2. 若X點在頂點上時，即AE=CG或BF=DH，由克拉瑪公式可知，若△=△x=△y=0 ，則比例成立； 3. 若X點在邊上時，即q+s+r=n、p+q+s=n、p+q+r=n、p+r+s=n，其中p, q, r, s ϵN，由三點共線可知，若行列式為0時比例成立。

本研究利用改編傳統骰子數字排列方式(兩對邊總和為7)等30顆骰子，設法排組一個幾何形體使其每一面的總和都相同，此稱「面面俱到」。研究發現幾何形體「面面俱到」成立的條件受限於每面出現的數字數量與隱藏面數字總和，即便是相同顆數的骰子也會因形體組合的方式不同，使每面「面面俱到」總和與成功組數不同。我們提出兩大研究定理【定理一：若干個立方體單位骰子，以內藏總和最大值與最小值估算「面面俱到」總和範圍】、【定理二：若干個立方體單位骰子，以幾何形體的鄰面數可算出內藏總和最大值與最小值的範圍】可完美詮釋各種幾何形體「面面俱到」的總和範圍，並解釋使用最多顆數的骰子能做出幾何形體之極限圖例。

當兩個三角形的三個對應頂點的連線共點時，這兩個三角形的對應邊延伸出來的三交點會共線，這是笛沙格定理。若是對應頂點的連線不共點的情況，那麼延伸出來的三交點便不會共線，而是形成一個三角形。 本篇研究探討「對應頂點連線不共點」的「連續相似三角形」，根據愛可爾斯定理，可以方便的利用點對稱作出其他相似三角形。經過畫圖發現這些連續的相似三角形，相鄰兩兩一組作「延伸三角形」，這些延伸三角形會互相相似，而這樣的性質可以推廣到任意兩兩一組的情況。接著將連續相似三角形的性質再推廣，讓對應頂點不必共線，而是對應頂點距離比相等，仍然具有延伸三角形相似的性質。另外也發現了一些關於延伸三角形頂點的共曲線性質。

等冪和是個古老、留有許多未解的迷人問題，過去多數使用多項式對稱、組合公式、複雜的代數方法、或以電腦輔助搜尋，求取較高冪次的理想解。本研究採用初級的數學理論、方法和公式，應用基本的集合性質、二項式公式、數學歸納法，成功獲取一系列等冪和的理想解，並證明其解的存在。研究從基本的二元集開始，探討等冪和理想解存在時的特性，然後導入定理3.1的方法建構、或運用推論5.1的方法倍數擴增，必可找到高一冪次或倍數冪次方和的解或理想解，並延伸到實數的等冪和問題求解。本研究也成功找到一系列奇數和偶數次、或無理數的等冪和理想解。研究結果預期可被應用至軟體的加密技術和相關應用，並且值得進一步探討質數的高冪次等冪和問題。

我們主要研究一個有趣的數學摺紙遊戲：透過切割6解中空卡創造4款12解中空卡-長方形中空卡、長方形切割中空卡、逆斜中空卡、斜中空卡。 我們是最先發明12解中空卡遊戲的，4款12解中空卡都值得深入研究，本研究小組先選定12解斜中空卡作深入研究，至研究結束找到斜中空卡摺成正方形的組合數4760個，創作6解中空卡無法達成的12生肖、12星座等主題12解斜中空卡。 我們拿12解斜中空卡給同學玩，同學玩到連走路都捨不得停下來，於是我們繼續創造了幾何卡、乘法卡、分數小數卡、等值分數卡、加法卡等12解斜中空卡，將12解斜中空卡應用於數學學習，進一步統計加法卡和數4~48的摺法共計521種。

本篇作品之主旨為研究在任一個n×m棋盤中(n≤m)，任意擺放數顆棋子，使棋盤中任四顆棋子之排列均不構成正直四邊形之最多與最少棋子數(最佳擺棋策略)。我們利用發現的四種方法: 控制n×n棋盤的第一列與第一行的棋子顆數、行與行或列與列之間的互換、增加一行一列多擺三顆和排一直行的特殊排法，得到n×n棋盤最少與最多棋子數，並延伸至n×m棋盤做探討。

本研究探討Chomp遊戲中，先手與後手是否存在必勝策略和先手是否能必勝，並探索n×n與n×m矩形中，先手必勝策略局面的種類，推論該局是否為必勝局面。研究結果顯示此遊戲存在必勝策略，若先手知道必勝策略，那麼先手最終必然獲勝。在n×n矩形中，先手的必勝策略是第一步要放最接近左上角方格的對角線位置上，接著使用對稱的策略放置，持續到最後亦能夠獲得勝利。再者探究n×m矩形的必勝策略，得到一般化公式的結果。最後，利用Grundy數來推論每個局面是否為必勝局面，結果顯示Grundy數為零，則為必勝局面。若Grundy數為其他數值，並且對手知道每一步的必勝策略，則為必敗局面；反之則需搶先一步拿到Grundy數為零的局面，接著每一步都使用必勝策略，最後才能獲勝。

本研究探討在平面上以一定點P切割△，尋找使三子△尤拉線共點之P點。這種點有無限多但有一定排列，我們用代數法求出P點軌跡方程式，且發現非正△中能使尤拉線群共點的P點軌跡分成三部分:1.封閉曲線2.外接圓3.開放曲線。另外發現共點Q軌跡在原△尤拉線上，分成三種:1.整條直線2.直線上下兩部分3.直線上中下三部分。進一步，若原△有一內角為60°或120°，則開放曲線變直線，封閉曲線變圓，且此圓的半徑恰好等於外接圓半徑。尋找使三子△尤拉線平行的切割點「I」，發現非正△都有1個I，且等腰△的I點可用尺規作圖畫出，正△中則有無限多I點呈擺線狀。最後用等腰△來探討P、Q競逐關係及速率的相對變化，非常有趣。