本研究深入探究了一道澳洲AMC題目：在n×n正方形方格中放置黑鼠與白鼠，使得每一隻老鼠周遭都有黑鼠也有白鼠，而且黑鼠數量最少。本研究探討了幾種不同策略，發現隨著正方形大小的差異，適用於不同的策略。

將紙條的摺痕定義出「內」與「外」之後，探索摺痕所形成數列的規律性及紙條立起來後最後所指的方向。

本篇在探討整數三角形﹝指邊長與面積均為自然數﹞周長與面積成倍數關係的存在與否；由﹝ 6、8、10﹞的三角形出發，發現其面積與周長的數值相同，但這是否唯一？還是有限個？或以某種形式無限個存在？再拓展方向考慮p∙面積=k∙周長﹝p、k均為自然數﹞時的情形，更發現到面積值、s-c值﹝s為周長的一半，c為三角形最長邊﹞、p值與k 值存在某種巧妙的關聯。 至於整數三角形與整數邊三角形﹝指邊長為自然數但面積不為整數﹞的疊合與鑲嵌，以往前人在疊合的經驗上始終纏繞在整數直角三角形，即其高必為整數；卻忽略了高不為整數的情況。我們不但發現了它，更了解如何去找尋它。在疊合的部分，更以不同型式來呈現，而非千篇一律繞著直角的方向思維。

對n × n 正方形區域戰場及m × n 長方形區域戰場埋地雷， 找出能在戰場上埋地雷的最多個數， 而使得士兵埋地雷時不會把自己困死。我們藉由做出的數百張圖中做分析， 發現可以將n × n圖形之n值分為6 t、1 + 6 t、2 +6 t、3+ 6 t、4 +6 t、5 +6 t， t ?N與特殊型2 +1， s?N去討論；而在m× n圖形中， 我們仍將m、n值分類去討論。最後整理其相關數據與規律性的畫法再加以分析， 求得了在n × n和m × n情況的公式解和埋地雷的方法， 並推廣至圓柱側邊討論。

一、利用ΔABC 周界上一動點P ，作出等面積線段PQ，利用GSP 觀察PQ在ΔABC 內移動的軌跡，發現其軌跡形成曲線形狀。二、將ΔABC 座標化，我們利用等面積條件求出等面積線移動所形成的曲線，是PQ中點所構造出的曲線段(雙曲線之一部分)，且共有3 條曲線段，形成內文所謂的「包絡區」。1.當P 點在包絡區內，則有3 條等面積線段。2.當P 點在包絡區周界上，則有2 條等面積線段。3.當P 點在包絡區外，則有1 條等面積線段。三、以三角形的研究當基礎，擴展到凸n 邊形，我們發現：等面積線段數量之分布，仍然與包絡區息息相關，且1.凸2m+1邊形最多有2m+1條等面積線段。2.凸2m邊形，必發生內文所謂的「換軌」。因此，最多只有2m-1條等面積線段。3.包絡曲線鎖分割出的區域，於相同區域其等面積線段數量相同，且相鄰兩區域數量差兩條。四、若凸n邊形有k個「換軌點」，則此n邊形過定點等面積線段至多有n-k條。

雙三角終結者是一種兩人對戰遊戲，兩人輪流在數個點之間連線 ，直到其中一方畫出終止圖形 、 (兩個三角形共邊)，此人即成為輸家。在進行這個遊戲時，依照不同的型態進行排列組合及歸納，發展出不同的公式，經由公式我們可以預先知道最終條數。若結果不利我方，可以利用一些應對的方法來改變最後結果，進而取得勝利。也就是說從公式的角度出發，我們不用再一條一條的試畫便能直接找到最終連線數。不只便利更能迅速算出結果，甚至有些只要用看的就能得到答案。當點數過大時，用公式算比自已畫來得準確。 除此之外我們還發現了另一種簡便的『三角形觀察法』，此種方式就不需要分成上下來討論，在畫的時候也比較容易畫線，而且可以避免終止圖形的產生。

本研究將從七圓定理出發，試圖改變切圓個數，探討共點的存在性；更進一步推廣「六個與兩內離圓分別均外切與內切的環切圓」之雙心六圓，探討其共點、共線、共圓及共錐等性質；研究有驚人的發現「當六個環切圓轉動時，其各類對應點連線之共點必為定點，且在連心線上。」推廣至不同個數的環切圓時亦成立；當兩內離圓甚至推廣至兩外離圓或是圓與直線時，亦發現其諸線共點、諸點共線、諸點共圓、諸點共錐等性質必成立。

將『拉丁方陣』應用在日常生活中，設計在上學日中星期一到星期五各年級統一每天穿什麼衣服上學，才能讓人從遠方一眼可以判斷出小朋友是幾年級！ 延伸此一概念，配合四角拼圖的規則，將組成正多面體的正N邊形各邊塗上顏色並且規定相同顏色的邊才能相接，討論其組合的情況。

此篇作品旨在探討兩動點P、Q同時由原點O出發，沿直角△OAB 的邊界運動，Q點以每秒1單位的速率順時針方向運動，P點以每秒v(≧1)單位的速率逆時針方向運動時，在P、Q兩點相遇之前，△OPQ面積的最大值為何？當面積達最大時，P、Q兩點的位置是否有特殊現象或性質。更進一步，將其推廣到一般三角形，當△OPQ面積達最大時，P、Q兩點的位置是否也有這樣的現象或性質。再者，探討在任意三角形中，以速率v為變數時，△OPQ的最大面積函數F(v)的圖形。最後，則將其推廣到正n邊形，其中n=4，5，6，8。