數學科

本研究首先發現在n×n棋盤的所有和平排列(每行每列各放一個棋子)中，皆可找到不包含棋子的k×k正方形，同時得到n和k的關係：k的最大值為⌊√(n-1)⌋。 接著延伸這個題目，從找k×k正方形變成找(k×k-m×m)的缺角正方形。並在程式的輔助下，除了得到fa(k,m)和fb(k,m)的值，也可以知道n=fa(k,m)和fb(k,m)時放不下缺角正方形的和平排列，而基本上，報告的整體架構就分為兩個部分，證明每個(n+1)×(n+1)的和平排列都找的到，以及構造n×n的和平排列找不到(缺角)正方形。 f(k,0)=k2 fα (k,1)=k2–k fβ (k,1)=k2-1 fβ (k,k-1)=2k-1 fα (k,k/2)=k2/2

本研究主要在探討邊長比為1：a且重心重合的內、外正n邊形，當取外正n邊形的邊上一點為起始點(此起點與外正n邊形的頂點距離為x)，重複朝著內正n邊形的頂點畫切線，並觀察其數學性質。(θ為正n邊形一內角) 我們從研究正三角形開始，並且推廣到正n邊形，研究以下四項： 一、「切線與外正n邊形的交點」和「外正n邊形頂點」的距離通式f(x)=(a2-a)+(1-a)x/((2(cosθ+1)a+1)+(-2(cosθ+1))x 二、證明收斂正n邊形的存在性，並找出收斂點與外正n邊形頂點的距離x=a/2-√a(cosθ+1)(a×cosθ-1+2)/2(cosθ+1) 三、正n邊形可形成收斂正n邊形的內、外正n邊形邊長比例範圍 ，√a(cosθ+1((a×cosθ-a+2)≧0，1≦a≦2/1-cosθ 四、內、收斂與外正n邊形的邊長比為1:√a:a 此時發現收斂正n邊形的邊長為內、外正n邊形邊長的幾何平均數。 最後，我們也針對任意三角形探討上述內容，並於研究過程中詳述。

格子圖形是具代數特性的幾何圖形，是解析幾何中一環。首先研究發現格子直線數與法里數列及尤拉函數有關，透過遞迴關係導出其一般式。其次探討形成格子圖形的充要條件，得到 (1) 坐標平面上有格子正n邊形的充要條件為n=4 (2) 坐標空間中有格子正n邊形的充要條件為n=3,4或6 (3) 恰有三種格子柏拉圖 最後的主軸是找出五心與九點圓圓心皆為格子點的充分條件，成果如下： (1)畢氏三角形內心及旁心皆為格子點；而Heron三角形在某條件下，內心及旁心也是格子點 (2)畢氏三角形與Heron三角形三邊長滿足在某條件下，五心與九點圓圓心皆為格子點 (3)三角形三邊長為整數比，經伸縮變換後可使五心與九點圓圓心皆為格子點

本研究是想尋找並建立一個數學模式，來探討兩物之間障礙物數量與通過率的關係的問題。我們可以將每個正方形看成一個小單元，因為我們都知道所有東西都可以分割成最小單位。而且也有數學家曾說：當我們做過越多次試驗，則我們所得到的數值會更接近機率。所以，如果有很多樣本通過此方格陣列，則我們可以將此數值看做通過率。再由古典機率的性質，我們反轉先求出路徑的走法數。 而若我們導出這個公式後，我們可以運用在不只是路徑走法的成功率、更能用在電子流動的機率，更可以運用在抽象的事物上，像政府的決策成功率等等。

在某次的宴會上，鄭師傅心血來潮做了一個三角形的蛋糕，但我們卻遇到困難-要如何切出相等的蛋糕分給每個人呢?這問題讓我們很有興趣。於是我們下定決心來研究。

「多方塊」(Polyminoes)是指一些將數個同樣單位數量之正方塊以面與面相連接而成，並扣除圖形變換（旋轉、鏡射、翻轉）下，所有形成之不同形狀的幾何平面圖形。 曾經風靡一時的「俄羅斯方塊」遊戲就是將5種四方連塊加以旋轉使其緊密堆疊，若無法形成一整列，則使空間愈來愈小，最後將塞滿整個空間而宣告Game Over；而六方連塊共有35種組合，透過「拼排和重組」，可加強對矩形圖形之認識，並對六方連塊之矩形拼圖遊戲的組合變化作等積變換初探。運用切割重組，可深入理解矩形的面積公式。

本研究探討並推廣「改頭換面」的移位遊戲 一、2n型 (一) 在原來遊戲只有二列的情況，最少的移動步數為2n+1 *n是直行數 (二) 將棋子由符號變成數字，發現各列的編號在移動後的順序不變時，最少步數為3n 二、3n型 (一) 3n向上輪換型 1. 最少步數為4n+3，順序不變則最少步數為4n+4 (二) 3n向下輪換型 1. 最少步數為4n+5，順序不變則最少步數為4n+6 (三) 3n上下列交換型 1. 最少步數為6n+1，順序不變則最少步數為7n 三、mn型 (一) mn向上輪換型 1. mn向上輪換型最少步數一般公式為2(m-1)n+2m-3 2.順序不變時一般公式為2(m-1)n+2m-2 (二) mn向下輪換型 1. mn向下輪換型最少步數一般公式為2(m-1)n+2m-1 2.順序不變時一般公式為2(m-1)n+2m (三) mn上下列交換型 mn上下列交換型在m>3時，最少步數一般公式為2(2m-3)n+2(m-3)

過任一點作射線k等分凸多邊形面積，需先考慮點的位置，隨著點的位置不一樣，作法有些許不同。

Huzita-Hatori公理和Morley三角形都如同黑暗中的一盞明燈，讓我們很想一見其廬山真面目！更想了解他們相會後會激盪出甚麼火花？ 我們利用描圖紙摺紙、GGB作圖，再配合推理論證，終於知道三條Huzita公理6分別三等分的角、度數、位置、以及與始邊的夾角度數；另外，更奇妙的是，我們發現兩個特別的三角形：第一，任意角的三條Huzita公理6的摺痕，會圍成三角形，而且此三角形必是完美的正三角形。第二，任意三角形各角的三條Huzita公理6的摺痕，各會圍成三角形，且此三個三角形彼此相似，他們和原三角形之間還有角度成等差和等腰的關係。 本研究實在見證隨意到完美的奇蹟，驚奇之處俯拾即是！

當學到在圓上畫弦時，試著玩一個遊戲：甲乙兩人分別以藍筆、紅筆，先後在圓上固定點連線段，看誰能最先連出單色三角形為勝。如果改畫四邊形、五邊形，結果又如何? 一、 在單位圓上10個點藍紅兩色連線比賽，探討以下各種情形： (一) 甲先連出一個藍色三角形，或乙先連出一個紅色三角形 (二) 甲先連出一個藍色四邊形，或乙先連出一個紅色四邊形 (三) 甲先連出三個藍色三角形，或乙先連出兩個紅色四邊形 (四) 甲先連出三個藍色四邊形，或乙先連出四個紅色三角形 (五) 甲先連出四個藍色三角形，或乙先連出三個紅色四邊形 (六) 甲先連出一個藍色五邊形，或乙先連出一個紅色五邊形 二、 探討畫n條線段能產生最多的單色N邊形之潛在線數的規律性。