數學科

格子圖形是具代數特性的幾何圖形，是解析幾何中一環。首先研究發現格子直線數與法里數列及尤拉函數有關，透過遞迴關係導出其一般式。其次探討形成格子圖形的充要條件，得到 (1) 坐標平面上有格子正n邊形的充要條件為n=4 (2) 坐標空間中有格子正n邊形的充要條件為n=3,4或6 (3) 恰有三種格子柏拉圖 最後的主軸是找出五心與九點圓圓心皆為格子點的充分條件，成果如下： (1)畢氏三角形內心及旁心皆為格子點；而Heron三角形在某條件下，內心及旁心也是格子點 (2)畢氏三角形與Heron三角形三邊長滿足在某條件下，五心與九點圓圓心皆為格子點 (3)三角形三邊長為整數比，經伸縮變換後可使五心與九點圓圓心皆為格子點

本研究主要在探討邊長比為1：a且重心重合的內、外正n邊形，當取外正n邊形的邊上一點為起始點(此起點與外正n邊形的頂點距離為x)，重複朝著內正n邊形的頂點畫切線，並觀察其數學性質。(θ為正n邊形一內角) 我們從研究正三角形開始，並且推廣到正n邊形，研究以下四項： 一、「切線與外正n邊形的交點」和「外正n邊形頂點」的距離通式f(x)=(a2-a)+(1-a)x/((2(cosθ+1)a+1)+(-2(cosθ+1))x 二、證明收斂正n邊形的存在性，並找出收斂點與外正n邊形頂點的距離x=a/2-√a(cosθ+1)(a×cosθ-1+2)/2(cosθ+1) 三、正n邊形可形成收斂正n邊形的內、外正n邊形邊長比例範圍 ，√a(cosθ+1((a×cosθ-a+2)≧0，1≦a≦2/1-cosθ 四、內、收斂與外正n邊形的邊長比為1:√a:a 此時發現收斂正n邊形的邊長為內、外正n邊形邊長的幾何平均數。 最後，我們也針對任意三角形探討上述內容，並於研究過程中詳述。

將紙條的摺痕定義出「內」與「外」之後，探索摺痕所形成數列的規律性及紙條立起來後最後所指的方向。

本研究是想尋找並建立一個數學模式，來探討兩物之間障礙物數量與通過率的關係的問題。我們可以將每個正方形看成一個小單元，因為我們都知道所有東西都可以分割成最小單位。而且也有數學家曾說：當我們做過越多次試驗，則我們所得到的數值會更接近機率。所以，如果有很多樣本通過此方格陣列，則我們可以將此數值看做通過率。再由古典機率的性質，我們反轉先求出路徑的走法數。 而若我們導出這個公式後，我們可以運用在不只是路徑走法的成功率、更能用在電子流動的機率，更可以運用在抽象的事物上，像政府的決策成功率等等。

「多方塊」(Polyminoes)是指一些將數個同樣單位數量之正方塊以面與面相連接而成，並扣除圖形變換（旋轉、鏡射、翻轉）下，所有形成之不同形狀的幾何平面圖形。 曾經風靡一時的「俄羅斯方塊」遊戲就是將5種四方連塊加以旋轉使其緊密堆疊，若無法形成一整列，則使空間愈來愈小，最後將塞滿整個空間而宣告Game Over；而六方連塊共有35種組合，透過「拼排和重組」，可加強對矩形圖形之認識，並對六方連塊之矩形拼圖遊戲的組合變化作等積變換初探。運用切割重組，可深入理解矩形的面積公式。

過任一點作射線k等分凸多邊形面積，需先考慮點的位置，隨著點的位置不一樣，作法有些許不同。

Huzita-Hatori公理和Morley三角形都如同黑暗中的一盞明燈，讓我們很想一見其廬山真面目！更想了解他們相會後會激盪出甚麼火花？ 我們利用描圖紙摺紙、GGB作圖，再配合推理論證，終於知道三條Huzita公理6分別三等分的角、度數、位置、以及與始邊的夾角度數；另外，更奇妙的是，我們發現兩個特別的三角形：第一，任意角的三條Huzita公理6的摺痕，會圍成三角形，而且此三角形必是完美的正三角形。第二，任意三角形各角的三條Huzita公理6的摺痕，各會圍成三角形，且此三個三角形彼此相似，他們和原三角形之間還有角度成等差和等腰的關係。 本研究實在見證隨意到完美的奇蹟，驚奇之處俯拾即是！

在某次的宴會上，鄭師傅心血來潮做了一個三角形的蛋糕，但我們卻遇到困難-要如何切出相等的蛋糕分給每個人呢?這問題讓我們很有興趣。於是我們下定決心來研究。

當學到在圓上畫弦時，試著玩一個遊戲：甲乙兩人分別以藍筆、紅筆，先後在圓上固定點連線段，看誰能最先連出單色三角形為勝。如果改畫四邊形、五邊形，結果又如何? 一、 在單位圓上10個點藍紅兩色連線比賽，探討以下各種情形： (一) 甲先連出一個藍色三角形，或乙先連出一個紅色三角形 (二) 甲先連出一個藍色四邊形，或乙先連出一個紅色四邊形 (三) 甲先連出三個藍色三角形，或乙先連出兩個紅色四邊形 (四) 甲先連出三個藍色四邊形，或乙先連出四個紅色三角形 (五) 甲先連出四個藍色三角形，或乙先連出三個紅色四邊形 (六) 甲先連出一個藍色五邊形，或乙先連出一個紅色五邊形 二、 探討畫n條線段能產生最多的單色N邊形之潛在線數的規律性。

本研究是從正多面體的點線面出發，探尋由二種或兩種以上的多邊形所組的多面立體模型。首先，認識五個正多面體的模型架構，並從正多面體的點線面個數找到了關係式，這就是有名的尤拉公式。 嘗試將正多面體經過重複性截角平切的操作，推演出一個新的多面體，進而演算建立半正多面體的推算模組。在兩次截角的過程中，共產生了21個由兩種或兩種以上的多邊形所組的多面體。其中有十一個柏拉圖截角後的新多面體與阿基米德立體很相似。 從操作中觀察討論，歸納出大截角時，因頂點相鄰有三面，故會形成一個三角形，且原來的面的形狀不變；小截角時，其原來的面邊數會增為兩倍。進而推測出簡單且容易了解的多面體模組，從而認識到各種多面體的組成形式。