數學科

本研究探討正n邊形各邊邊長延伸經過p次交點所形成的p階n角星多邊形之角度及邊長，我們求出p階角星頂角的公式，證明：「n > 2(p+1)時，就存在p階角星」，並和正n邊形內部連線問題做比對，提出兩者的對應關係。對於多角星的邊長與各角星頂角的連線線段，我們使用三角函數列式求長度及使用電腦軟體EXCEL輔助計算討論。在這樣的觀察中，發現「正n邊形邊長在特定的狀況下會等於p階角星的邊長」等一些有趣的性質，而這些幾何特性的證明也能夠呼應它複雜的代數算式成立，除此之外，多角星的角度與角星頂點連線上計算都和原正n邊形的角度、邊長有一致性的關係，因此本研究把正n邊形視為一個0階角星。

首先，利用槓桿原理及質量中心的概念，探討有關三角形的共點問題，並以分點公式為輔，求得內心、旁心、垂心、外心、奈格爾點、格高尼點及Mittenpunkt點的坐標。 我們從傅海倫教授所發表的一篇研究報告「物理原理在數學中的應用」，順利推導出垂心的坐標，並結合垂心及外心的證明，配合槓桿原理，重新證明出尤拉線定理。 利用質量分配及槓桿原理進行推證過程中，我們發現奈格爾點、格高尼點與垂心證法雷同；Mittenpunkt點與外心的證法雷同；而格高尼點(Ge)、重心(G)及Mittenpunkt點(M)具有三點共線及GeG：GM=2:1的性質，與尤拉線定理的證法相類似。 最後，列舉一些實例以槓桿原理做不同的思維運算，發現槓桿原理對國中生而言，在特定題材的教學及解題上，會是一項不錯的輔助工具。

本研究主要探討多邊形數字方塊，以一組具相同公差或公比的數字，運用加、減、乘、除等不同運算符號，計算各邊中點的新數字且不斷往內層演算。為了快速獲得結果，導入Excel軟體來輔助，並進一步觀察最後結果是否收斂或具規律性？過程中發現加法運算，可以首項、公差、多邊形邊數、層數四個量去推導出一般式，以獲得多邊形每一層的數字總和，也可以利用其反求相關數值。減法運算，在2的m+2次方多邊形且具相同公差時，其運算結果都可以在N+2層時歸零。除法運算，將相鄰的二數以大數除以小數後，採用不同的進位法，在2的m+2次方多邊形且具相同公比時，其運算結果都會收斂至1。至於乘法運算在五邊形以上，具相同公差或費氏數列所產生的數字都會收斂至0。

本篇科展主要從一道古老的數學題目開始，"正整數中，被4整除或被4除餘1的數刪去，新數列{an}={2,3,6,7,10,11,……},求[√(S1 )]+[√(S2 )]+[√(S3 )]+...+[√(S2014 )]=?([ ]為高斯符號)"，直接延伸原題探討"當A={a,aϵN & a≡2 or 3(mod 4)}, Sm1 為A中的第m個元素，Sm2=Σi=1mSi1 ，為何[√(Sm2 )]=m?"，進而加以推廣探討" 當 A={a ,a∈N & a≡k1 or k2 or … …or kp (mod x)}，Sm1 為A中的第m個元素，Smn+1=Σi=1mSin 時，則A應滿足什麼條件，才能對所有的n和m，都有[n√Smn)]=m的結果?"

本次研究議題主要是找校內部份學生擔任受測者。 藉由 Give or Take 的實驗，在給與不給之間探討「在每一次選擇背後所蘊含的數學意義(藉由數學分析，來討論該如何選擇)」。 再衍伸討論出許多不同選擇所造成的可能性，進而找出「利益最大化」的最好辦法。 最後將此實驗結果，套用到環境保育、團隊合作等方面，思考在「環境教育、永續家園」的架構下，我們應盡的職責使命是什麼。

在組裝碳球模型的過程中，我們好奇碳球模型之五邊形、六邊形、七邊形的數量是否有其特殊關係，才會組成多面體，希望經由研究後，可以發現令平面形成多面體的原因，且應證碳球模型中，五邊形、六邊形、七邊形之特殊關係恆成立，並進一步延伸至其他多面體。 由文獻探討中，得知多面體缺角和為720°、尤拉定理的:點+面=邊+2、及巴克球與碳球模型之性質，進而進行相關之研究。 由研究中，我們得到的結論為: 一、五邊形數量減七邊形數量等於12 二、n顆碳原子模型(n為偶數且≥20)組成之碳球模型，有[0.25n-5]+1個組合方式。 三、對於符合每個點連接3條邊的多面體，∑k=1面(6-Nk)=12關係式恆成立。 四、對於符合2*邊-3*點= α的多面體，∑k=1面(6-Nk)=12+2α關係式恆成立。

本研究主要針對大正m邊形內嵌小正n邊形的內部圖形做探討，初步想法：因為對稱，所以中間交集的圖形大概也是正m邊形，或沒有交集！但事實似乎不是我們所想的那麼簡單。首先在Geogebra繪製了許多圖形後，發現n的奇偶性會使圖形內部的重疊區塊有不同的特徵及規律，並進一步依照m＞2n、m＝2n、m＜2n分細項探討。接著，本研究使用數學法則證明了此規律的一般性質。特別值得一提的圖形有二： (1) m, n皆為奇數且m＜2n的圖形會交集出邊長相等的非正2m邊形，此2m邊形既非正多邊形，頂點亦不共圓！ (2) m為奇數且n為偶數且m＜2n的的圖形會交集出正m邊形，唯獨(m, n)＝(7, 4)是例外的，它會出現沒有交集的結果。 最後，我們以鋪磁磚問題落實面積通式之應用。

取一條直線L，交△ABC三邊或邊之延長線於三點，再將此三點依序對角平分線以及中垂線等，分別作對稱後，所得三點會有何性質呢? 我們借助數學軟體Gsp以及Geogebra進行數學實驗與觀察，並由斜角坐標的觀點，利用向量的手法研究與證明，得到以下一些重要的結果： 關於三角形的五心，我們解決了△ABC三邊或邊之延長線上三點，分別對稱五心連線後，所得三點共線的參數條件解，並對共線性質做了一些探討，發現一些軌跡直線的包絡線，與二次曲線間的關聯，以及這些曲線與給定三角形的一些特別的連結。 此外，我們也就此研究問題，解決除了三角形五心之外的其它心的共線解，求出其與某類特定三次方程式間的關聯，並試圖尋找具有特別性質的未知新心。

本研究由探討三頂點在格子點上的任意三角形鉛直格線長總和與水平格線長總和關係出發，藉由各種計算法計算、觀察、推論、檢驗、修正、再檢驗、論證、推廣和應用的探究過程，發現格子點上任意三角形鉛直格線長總和、水平格線長總和與面積的關係為：面積=鉛直和1 +邊在鉛直格線長x0.5=水平和2+邊在水平格線長x0.5，並將此關係式推廣到簡單多邊形 ，然後應用於地圖上求面積。

Sperner 引理常用於遊戲必勝法以及一些塗色的相關問題，本篇研究將先針對 Sperner 引理的內容進行探討，並且進行相關內容的證明，而後將Sperner 引理中的規則進行延伸：原先此引理在三角形內進行討論，本篇研究嘗試將問題假設為在任意正多邊形下其中頂點的標號為1、2、3且相鄰頂點需為不同標號下進行探討，而後在多邊形內部放入點後進行三角化，在三角化的過程中若其中三角形分別為1、2、3，則命名為公正三角形，對此成功探討出在不同正多邊形下公正三角形個數的狀況，並且將三角化後每個三角形皆為公正三角形的狀況定義為完美G(m,n)圖，在研究最後針對在三角形下的公正三角形個數進行一些特例整理。