函數圖形是以笛卡兒座標系表示，如f(x) = x2。圖中可得f( x)與x 的關係。如x = 0時f(x) = 0、x =1時f(x) =1…等，它們在座標上都有對應點表示(x, f(x))的關係。若f(x) = ?1 則 x 為何？可算出x = ±i。但如何表示呢（圖I-1）？

本研究是從正多面體的點線面出發，探尋由二種或兩種以上的多邊形所組的多面立體模型。首先，認識五個正多面體的模型架構，並從正多面體的點線面個數找到了關係式，這就是有名的尤拉公式。 嘗試將正多面體經過重複性截角平切的操作，推演出一個新的多面體，進而演算建立半正多面體的推算模組。在兩次截角的過程中，共產生了21個由兩種或兩種以上的多邊形所組的多面體。其中有十一個柏拉圖截角後的新多面體與阿基米德立體很相似。 從操作中觀察討論，歸納出大截角時，因頂點相鄰有三面，故會形成一個三角形，且原來的面的形狀不變；小截角時，其原來的面邊數會增為兩倍。進而推測出簡單且容易了解的多面體模組，從而認識到各種多面體的組成形式。

本研究主題是探討在三角形和四邊形中尋找出唯一的正方形，使此正方形的頂點分別落在三角形和四邊形各邊向外或向內作之半圓上。我們探討其存在性之幾何作圖法並證明之，同時試著從中求出此外框或內嵌正方形面積的一般式。我們發現凝聚三角形只要作出垂直且等長於其最長或第二長的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，也證明了任意三角形都可以作出內嵌正方形。至於凝聚四邊形，則可以作出垂直且等長於對角線的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，而任意四邊形都可以作出內嵌正方形。研究過程中亦發現對任意三角形或四邊形，若正方形的頂點可以選擇落在各邊內或外之半圓上，那麼，這種正方形也是存在的。

智力環是中國古老的童玩，是前人智慧的累積，已經發展了許多複雜的結構。我在一次偶然的機會之下，接觸了這個有趣的玩意，也發現了他的結構和解法與數學有關。於是我藉著這次的科展，研究這個主題，試著找出他的規則，看看是否可以用數學語言來描述。 在研究過程中，我蒐集了許多市面上常見的智力環，也研究了許多書本上有關的文章。在偶然的機會下，我去鹿港玩，又蒐集到更多不同的智力環。之後我開始討論智力環的結構，並加以分類，再來我研究了一些有關拓樸的書，藉由拓樸的知識可以更加清楚的描述有關扣環的結構。 最後，我歸納出巧環的一些基本原則，並且利用這些基本原則發明了幾個巧環。並提出了幾個實用性的應用。

這是一份關於∑km的研究，研究過程中，我們希望能以幾何圖形來找出∑km的規律，我們透過圖形的翻轉，使得圖形翻轉後每一格數字之和皆相同，在算出個數，即能求出∑km的公式。

兩年前的一次下棋比賽，在討論下棋之餘，我們訂定了棋子進行的規則－「二一四二，逢陰補陽」，而有了『環遊世界一大圈』的作品。而這次的研究則是兩年前研究的加深加廣。「二一四二，逢陰補陽」這個規則是這樣的，「二一四二」說明第一步座標在（２,１）則下一步在（４,２），（６,３）…一此類推，「逢陰補陽」是因為棋盤沒那麼大，所以碰到棋盤的最右邊就跳回到第一排，碰到棋盤的最上邊就跳回到第一列。二年前，我們找出了所有可能環遊一大圈的棋盤，以及該棋盤中每一步環遊一圈的步數；今年我們再研究不能環遊一大圈的情形，也把每一步環遊一圈的步數找出。最後，更進一步利用統寄的方法，找出同一個格子數的所有棋盤，他們步數的相同點與相異處。

本文主要分為兩個部分：第一部分專注在一維直線上及二維平面上的各系統運算存活的最大層數公式探討，其中最有趣的是臨界值的角色，讓玩家能預判該遊戲的層數壽命。第二部分專注在應用上，分為幾何鏡射作圖印證，及三維空間上的四面體系統延伸，成果奧妙精彩。

本文先確認尤拉線平行△一邊的條件為tan⁡α∙tan⁡β=3，再針對直線L同側的兩定點A、B，探討∥(AB) ̅的公式解，過程中用到K值曲線凹性判定及此曲線的最小值N和3的比較，提供是否有解的探討依據。確定尤拉線∥(AP) ⃡、(BP) ⃡的存在性及解的公式後，發現最多有一解。對直線L異側的兩定點A、B，最特別的是在∥(AP) ⃡、(BP) ⃡時，最多可得三個解。最後轉換變因，將定直線改成動態直線，用以觀察滿足條件的P點軌跡。 當解的數量依A、B兩點的擺放而有所不同時，本文將判別式圖形畫出來，讀者可在所要的不等式區塊內取得t、b資料，畫出所要的圖形。最後作者針對所要平行的對象設計專用的兩條直線，讓讀者依序選定A、B後，可輕易地畫出∥(AB) ̅、(AP) ̅、(BP) ̅的P點解，且同異側皆可，甚是有趣。

日常生活中，我們時常會遇到要求距離和的問題，如果只在A、B 兩點間找一點P 距離A、B 最短，那麼大家都知道只要在兩點的連線段上任意一點皆可以，那如果是在△ABC 中找一點P 距離此三點最短，又該如何找呢？這個問題，早在約三百多年前，費馬先生就已經提出來了，而這也就是有名的『費馬點』問題，多年來對於費馬點的證明很多，然大多只侷限在三角形三內角皆小於120°的三角形，這不禁讓我們懷疑，是否對於任意一個三角形，費馬點都存在呢？答案是肯定的！難能可貴的是，我們捨棄了一般人望之卻步的分析或高等代數的方法，而僅是利用了國中數學所學的幾何證明方法，便成功的找出了有一內角大於或等於120°的三角形的費馬點，更進一步的推廣到了凸多邊形和立體圖形中的四面體，我們誠摯地希望以此作品，讓更多對此問題感興趣的人，可以更親近，甚至擁抱數學，也讓大家瞭解原來數學也可以是很生活化而又平易近人的。

本研究作品主要在探討「正N邊形外接圓弧上一動點，至各頂點距離關係的定值性質」，並在利用托勒密定理和三角函數、複數極式的運算性質得證後，更進一步去探究調整某些條件後，是否依然具有定值關係，以及試著尋找在這些長度所圍成的三角形面積所展現的定值關係。