數學科

我們在「小學趣味數學100題」書中找到一個「木棒圍方」的題目：「給定99根木棒，長度分別為1,2,3,......,99，用這些木棒能不能圍成一個正方形？圍的時候每根木棒都必須用上，並且不允許將任何一根木棒折斷或折彎。」，我們覺得相當有趣，接著我們想到，如果不侷限在99根木棒，而是一般性的給定n根呢？而木棒長度為1,2,3,......,n的等差數列，是否也意味著可圍成正方形的木棒數n具備某種規律呢？如何圍？圍法是否也具備某種規律呢？有幾種圍法？一時我們的小腦袋裡各自充塞著一些問號，這燃起了我們心中求知若渴的精神，老師肯定我們的疑問，也進一步地提出問題：「如果一般性地換成其他幾何圖形(例如正k邊形)又如何呢？」呼！我們熱血沸騰了，就讓我們一起把問題解決吧！

對n × n 正方形區域戰場及m × n 長方形區域戰場埋地雷， 找出能在戰場上埋地雷的最多個數， 而使得士兵埋地雷時不會把自己困死。我們藉由做出的數百張圖中做分析， 發現可以將n × n圖形之n值分為6 t、1 + 6 t、2 +6 t、3+ 6 t、4 +6 t、5 +6 t， t ?N與特殊型2 +1， s?N去討論；而在m× n圖形中， 我們仍將m、n值分類去討論。最後整理其相關數據與規律性的畫法再加以分析， 求得了在n × n和m × n情況的公式解和埋地雷的方法， 並推廣至圓柱側邊討論。

本研究由「有 n 個磚塊，每個磚塊的高度 1 或 2，要搭建兩根等高的門柱，其中高度 1的磚塊必須在高度 2 的磚塊之上，共有多少個構造方法？」開始，擴展到磚塊高度 a 和 b。其中 a＜b 且 a，b 互質。接著再找出 1，2 上下不限制時，n 個磚塊的排列方法數，也提出不重複的搭建方式。

本研究從股差為 1 的素勾股數家族{(an,bn,cn )}得到關係式vn/un =1/(2+vn-1/un-1 )，其中n,un,vn∈N, un＞vn,(un,vn )=1,un,vn為一奇一偶；以不同的v1/u1 代入關係式，迭代產生不同的vn/un，再由(an,bn,cn )=(un2-vn2,2un vn,un2+vn2 )產生股差為|u12-v12-2u1 v1 |的素勾股數家族；將(un,vn)當成平面座標(x,y)，則股差為定值的{(un,vn)}構成平面座標中的「勾股鐵路網」；將(an,bn,cn )當成空間座標(x,y,z)，則股差為定值的{(an,bn,cn )}構成空間座標中的「勾股鐵路網」；由不同最簡股差的乘積找到另外兩個關係式，由此得到股差為定值的素勾股數家族之不同的〈vn/un 〉，並由此確認最簡股差為定值的〈vn/un 〉之條數，進而確認最簡股差為定值的勾股鐵路之條數。

本文探究是否能將三堆石頭移動成數量皆相等的狀態（稱之為「穩定狀態」），因為遊戲進行中，石頭的總數不變，故以石頭數量總和進行分類觀察，我們逐步探討得到：數量總和不是6的倍數之非穩定狀態數對無法形成穩定狀態，進而得到形成穩定狀態的充要條件，並且利用二進位表法歸納三堆時的移動次數型態，得到不須二進位即可操作的移動方法。最後，我們將此結果擴展到多堆石頭時，形成穩定狀態的充要條件及移動方法。

本研究中討論了橢圓規的性質，從中提出「對基因進行操作」的觀念，而先將圖形推廣至其他它二次曲線乃至一般曲線，發現其操作模式都和線性變換有關。接著，將反演變換引進操作中，考察其性質。最後，基於上述研究心得，對一些特殊的基因(如常數基因、直線基因、二次曲線基因)及特殊的幾何操作，例如三角形的外心、重心、垂心、內心，甚至費馬點之軌跡加以考察，而發現軌跡除了二次曲線外，尚有一些有趣的曲線。最後，我們也發展出三條線以上的斜角橢圓規或曲線規，而能附帶地以之設計製造美妙的圖案。

本研究主題是探討在三角形和四邊形中尋找出唯一的正方形，使此正方形的頂點分別落在三角形和四邊形各邊向外或向內作之半圓上。我們探討其存在性之幾何作圖法並證明之，同時試著從中求出此外框或內嵌正方形面積的一般式。我們發現凝聚三角形只要作出垂直且等長於其最長或第二長的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，也證明了任意三角形都可以作出內嵌正方形。至於凝聚四邊形，則可以作出垂直且等長於對角線的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，而任意四邊形都可以作出內嵌正方形。研究過程中亦發現對任意三角形或四邊形，若正方形的頂點可以選擇落在各邊內或外之半圓上，那麼，這種正方形也是存在的。

一、利用ΔABC 周界上一動點P ，作出等面積線段PQ，利用GSP 觀察PQ在ΔABC 內移動的軌跡，發現其軌跡形成曲線形狀。二、將ΔABC 座標化，我們利用等面積條件求出等面積線移動所形成的曲線，是PQ中點所構造出的曲線段(雙曲線之一部分)，且共有3 條曲線段，形成內文所謂的「包絡區」。1.當P 點在包絡區內，則有3 條等面積線段。2.當P 點在包絡區周界上，則有2 條等面積線段。3.當P 點在包絡區外，則有1 條等面積線段。三、以三角形的研究當基礎，擴展到凸n 邊形，我們發現：等面積線段數量之分布，仍然與包絡區息息相關，且1.凸2m+1邊形最多有2m+1條等面積線段。2.凸2m邊形，必發生內文所謂的「換軌」。因此，最多只有2m-1條等面積線段。3.包絡曲線鎖分割出的區域，於相同區域其等面積線段數量相同，且相鄰兩區域數量差兩條。四、若凸n邊形有k個「換軌點」，則此n邊形過定點等面積線段至多有n-k條。

將紙條的摺痕定義出「內」與「外」之後，探索摺痕所形成數列的規律性及紙條立起來後最後所指的方向。

此研究一開始從科學月刊中的七邊形之謎出發，先研究在正多邊形中黑點數為2的條件下能畫出幾個等腰三角形，其中我們透過觀察得到了一些性質，並證明出正n邊形2黑點的類型分別會有n(n-2)/2個等腰三角形，n為偶數；n(n-1)/2個等腰三角形，n為奇數。接著又證明出正n邊形3黑點的類型也分別會有n(n-1)(n-3)/4個等腰三角形，n為奇數；n(n-2)2/4個等腰三角形，n為偶數(不為4的倍數) ；(n2-5n+8)/4 xn個等腰三角形，n為偶數(4的倍數)。