數學科

本篇作品之主旨為研究在任一個n×m棋盤中(n≤m)，任意擺放數顆棋子，使棋盤中任四顆棋子之排列均不構成正直四邊形之最多與最少棋子數(最佳擺棋策略)。我們利用發現的四種方法: 控制n×n棋盤的第一列與第一行的棋子顆數、行與行或列與列之間的互換、增加一行一列多擺三顆和排一直行的特殊排法，得到n×n棋盤最少與最多棋子數，並延伸至n×m棋盤做探討。

本研究探討Chomp遊戲中，先手與後手是否存在必勝策略和先手是否能必勝，並探索n×n與n×m矩形中，先手必勝策略局面的種類，推論該局是否為必勝局面。研究結果顯示此遊戲存在必勝策略，若先手知道必勝策略，那麼先手最終必然獲勝。在n×n矩形中，先手的必勝策略是第一步要放最接近左上角方格的對角線位置上，接著使用對稱的策略放置，持續到最後亦能夠獲得勝利。再者探究n×m矩形的必勝策略，得到一般化公式的結果。最後，利用Grundy數來推論每個局面是否為必勝局面，結果顯示Grundy數為零，則為必勝局面。若Grundy數為其他數值，並且對手知道每一步的必勝策略，則為必敗局面；反之則需搶先一步拿到Grundy數為零的局面，接著每一步都使用必勝策略，最後才能獲勝。

N(N≥3)多邊形滿足「N多邊形A1 A2 A3⋯AN-1 AN中，K為不在多邊形上的一點， 將K點分別連接N個頂點，得到N塊三角形，設G1、G2、⋯GN-1、GN依序為其重心， 則 SG1G2⋯GN-1GN/SA1A2⋯AN-1AN =2/9+1/9(SA1 A3⋯/SA1A2⋯AN-1AN )」。 無獨有偶，N(N≥4)多邊形滿足「依序找N邊形A1 A2⋯AN中連續三點，得到N塊 三角形，設H1、H2、⋯HN-1、HN依序為其重心，則 SH1H2⋯HN-1HN/SA1A2⋯AN-1AN=2/9+2/9(SA1A3⋯/SA1A2⋯AN-1AN )+1/9(SA1 A4⋯/SA1A2⋯AN-1AN ))」。

本研究探討在平面上以一定點P切割△，尋找使三子△尤拉線共點之P點。這種點有無限多但有一定排列，我們用代數法求出P點軌跡方程式，且發現非正△中能使尤拉線群共點的P點軌跡分成三部分:1.封閉曲線2.外接圓3.開放曲線。另外發現共點Q軌跡在原△尤拉線上，分成三種:1.整條直線2.直線上下兩部分3.直線上中下三部分。進一步，若原△有一內角為60°或120°，則開放曲線變直線，封閉曲線變圓，且此圓的半徑恰好等於外接圓半徑。尋找使三子△尤拉線平行的切割點「I」，發現非正△都有1個I，且等腰△的I點可用尺規作圖畫出，正△中則有無限多I點呈擺線狀。最後用等腰△來探討P、Q競逐關係及速率的相對變化，非常有趣。

本作品主要研究原圖形與重複疊作頂外圖形之關係。頂外圖形是指以原圖形的頂點為圓心，頂點到外心的距離為半徑畫圓，圓的交點（外心除外）連線形成的圖形為頂外圖形。 我們發現原三角形與其頂外三角形全等、原三角形與其重複疊作頂外三角形的外心、垂心、內心、重心、頂點有共點與共線之性質，接著我們延伸至多邊形觀察是否有與三角形相同的性質，發現四邊形第k層和第(k+4)層會相似、平行，且其頂點有共圓、共線等性質，並推廣到n邊形第k層和第(k+n)層相似、對應邊平行；第k層和第(k+n)層和{4k}外心共線等性質，最後延伸到2m邊形第(m-1)層對邊平行；4m邊形第(4k-3)m、(4k-1)m、(4k+1)m、(4k+3)m層共圓。

在數學書籍中有許多關於密克定理的資料，其中密克五圓定理有許多未被證明的性質，我們以幾何作圖為主，代數運算為輔進行研究，在我們的研究中針對原始圖形的定義產生原定義及新定義兩個部分，在原定義的圖形中，我們找到能建立在任意五邊形的五點共圓(即密克定理)，以及條件限制更多的五圓共根心、三型四點共圓及三點共線等性質，新定義圖形也能發現類似的性質，不過新定義中性質的條件與原定義完全相反，我們將原定義的幾個推論都嚴謹證明出來，也找到原定義及新定義圖形的對應關係及比較，針對新定義圖形的推論也都有了初步的想法，甚至找出一些跟我們研究較無直接關聯的特殊性質，能在未來進行更深入的研究。

本研究從「圓外切四邊形的兩組對邊和相等」性質開始探討圓外切多邊形的邊長關係，進而發現奇數個邊的圓外切多邊形之邊長與切點所分割出的線段有規律的關係。再從「必有內切圓的三角形中三條角邊連線段交於內部一點將原三角形分割成三個圓外切四邊形」[2]出發，尋找四個邊以上的多邊形會有內切圓存在的條件，最終發現圓外切多邊形的判別條件，特別是在偶數個邊的多邊形中，得到Brianchon定理在圓外切n邊形（n=8、10、12、…）上所有對角線會共點的推廣結果，以及塞瓦定理在此種n邊形上的推廣結果。

對於三角形內接三角形的問題，本文給出在任意三角形中內接相似於某標的三角形之子三角形作法，並發現這無限多個子三角形都繞同一個中心旋轉及伸縮，所以接下來證明旋伸中心的存在及找到它的方法，並研究出與它有關的諸多性質。然後為將問題延伸到一般的情況，依序研究n邊形內接相似於某標的三角形、n邊形內接相似於某標的m邊形的作法與解法數討論。最後發展到在m條直線上取點作相似於與某標的m邊形的子m邊形作法。

我們欲證明任意n個正整數(n>1)之數列，其相鄰兩數相減之絕對值形成一個新數列，重複這個"運算"之數列是否具有循環性，並試圖找出其循環節次。 例： 0000 2 3 4 2 3 0001 1 1 2 1 1 0002 0 1 1 0 0 0003 1 0 1 0 0 0004 1 1 1 0 1 0005 0 0 1 1 0 0006 0 1 0 1 0 0007 1 1 1 1 0 0008 0 0 0 1 1 0009 0 0 1 0 1 0010 0 1 1 1 1 0011 1 0 0 0 1 0012 1 0 0 1 0 0013 1 0 1 1 1 0014 1 1 0 0 0 0015 0 1 0 0 1 0016 1 1 0 1 1 0017 0 1 1 0 0 }〈a_2 〉＝〈a_17〉＝0 1 1 0 0， 其循環節次為17－2＝15次 此"運算"的循環節次為15(週期為15)

本篇在探討整數三角形﹝指邊長與面積均為自然數﹞周長與面積成倍數關係的存在與否；由﹝ 6、8、10﹞的三角形出發，發現其面積與周長的數值相同，但這是否唯一？還是有限個？或以某種形式無限個存在？再拓展方向考慮p∙面積=k∙周長﹝p、k均為自然數﹞時的情形，更發現到面積值、s-c值﹝s為周長的一半，c為三角形最長邊﹞、p值與k 值存在某種巧妙的關聯。 至於整數三角形與整數邊三角形﹝指邊長為自然數但面積不為整數﹞的疊合與鑲嵌，以往前人在疊合的經驗上始終纏繞在整數直角三角形，即其高必為整數；卻忽略了高不為整數的情況。我們不但發現了它，更了解如何去找尋它。在疊合的部分，更以不同型式來呈現，而非千篇一律繞著直角的方向思維。