我們利用公式解來求出通過任意點的直線Ｌ，使其將三角形分割成任意要求的比例，我們將任意比例設為Ｋ：Ｓ，其中Ｋ為較小的部份，Ｓ為較大的部份。我們在計算過程中，將三角形的其中一銳角放置在Ｏ點，以Ｘ軸為邊，則三角形將會有三種情況，分別為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，我們將各個三角形再分為三種情況。我們將任意點設為 P，座標設為(u，v)，設直線 L 通過 x 軸的點為 Q，且 Q 要在 O 點與 A 點之間。通過三角形的左邊的點設為 R，通過右邊的點設為 T，且 R點要在 B 點與 O 點間，T 點要在 B 點與 A 點之間。則我們可以求出過任意點將任意三角形分割成任意比例的直線方程式公式。

本作品旨在研究一道塗色問題:在一個m×n的棋盤中對任意格子塗上黑色，相鄰方格(有共同邊)不同時塗色的所有方法數。過程中，我們運用二維的城堡多項式的概念來進行研究。首先，我們推出1×n、2×n 單色及1×n多色的方法數及公式。再來，我們嘗試估計m×n 單色及多色著色方法數的上界及下界。接著，我們針對它的一些性質做討論。最後，我們用程式跑出答案，並印證我們的推論。

n盞燈排成一列，最初將某些燈點亮，在每次操作，將上一次未亮且其旁邊僅有一盞燈是亮著的燈點亮，並將原來亮的燈熄滅，欲找出一種亮燈方式，使得此n盞燈無論操作幾次，至少存在一盞燈是亮著的。本作品旨在研究n個燈直線排列的循環性質，並把排列方式推廣到環狀、矩陣及三維陣列。研究中我們發現一種特別的最短循環集型式，是由若干個全0子狀態列去串接基本型2循環集，形成複合基本2循環集，進而找出所有排列大小的2循環集。而「可逆性判斷法」與「l循環集建構法」可幫助我們探討各種循環集之存在性。最後，改變操作規則為「將上一次未亮且其旁邊恰有k盞燈是亮著的燈點亮，其中k=2,3,4 」。閃爍燈的循環性質可應用在各類流量之自動調節系統的設計。

從一開始過橋最短時間的單一討論，進而分析其它日常生活事例的本身限制，尋求其最佳化的結果。舉凡：滑草(坡度)、健行(秒數漸增)，甚至有些個別想法的有趣實驗(趟數)，都設法去歸納出一定的規則。

本研究旨在探討科學研習月刊57-8期中「用三湊三」的問題。意即以3的次方數 (30,31,32,33,34…)用加法湊出3的倍數的方法數，第一步先以直接劃記的方法解題，算出其方法數，接著利用高斯符號、組合的方式直接計算其方法數。爾後將湊出3n的方法數藉由觀察數型規律進行分析探討，推論出符合數列的遞迴關係式，並以數學歸納法驗證它。我們亦進一步延伸探討其方法數之同餘關係。 秉著同樣的解題方向，研究以2的次方數(20,21,22,23,24…)用加法湊出2的倍數的方法數、 4的次方數(40,41,42,43,44…)用加法湊出4的倍數的方法數，然後加以驗證，最後進一步推廣到以m的次方數(m0,m1,m2,m3,m4…)用加法湊出m的倍數之方法數的解題策略、數學關係式和同餘關係。

本文是應用我們在國中所學的許多幾何知識，先討論並解決：一、模糊角的分角線作圖；二、模糊角內部一點指向模糊角頂點的直線作圖。然後藉著以上兩種基本作圖，設法直接在模糊三角形上作出如一般三角形的內接或內切幾何圖形。而已知條件設定為：儘管每個模糊三角形的模糊程度不一，但是等待完成的密室並未觸及模糊地帶。由以上的說明，我們瞭解到最簡單的作圖法不一定就是有效的解決方法，也就是說，我們的研究內容必須要找出更多的基本作圖法以及更富彈性的密室作圖方法。我們集思廣益想出許多種模糊角的分角線作圖法以及模糊角內部一點指向模糊角頂點的直線作圖法。對於國中數學問題中較為常見的三角形內接(或內切)圖形，我們發現：運用相似密室的「關鍵點作圖法」是一種實作較為簡易的密室作圖法；而以關鍵密室內部為作圖根據地的「關鍵密室作圖法」是一種可以有效迴避模糊地帶的密室作圖法，若延伸以上這些作圖法的觀念並靈活運用，則會成為一種高成功率的密室作圖法。

本研究肇始於作者五年級弟弟因練習奧數求連續整數三次和而發問，引發作者對四次五次和六次求和的興趣，以簡單方式找出解法，並寫程式執行並分析比較，根據運算結果，數度來回優化算式，再依據新式子修改程式，最後終於找到方法，以降冪加上S3(三次和)轉換求S6，速度甚至快於未優化的S4。 此外應用二項式定理加上Telescope Sum以程式找出四次方到一百次方求和式子的所有係數進而求出其冪次和。最後更發展遞迴程式，又快又精確沒有誤差地找出ｎ次和。 本研究還以極為簡單易懂的方法，找到(證明)白努利數及其通式！因發現機械運算太多，故決定以程式證明通式，還因此意外發現白努利數b_k通式!最後用自己早期的式子取代Telescope Sum，並寫出另外三種遞迴求極數程式！

本研究試著將兩種自然界中存在的完美幾何圖形正四面體和螺線，利用空間代數分析，將其外接的數學特性作深入探討。鑽石是已知自然存在最硬物質，而它的最基本組成分子結構就是正四面體，每四個相鄰的碳原子均構成正四面體[1]，正四面體是柏拉圖立體中唯一一個所有頂點之間的距離都相等的，同時正四面體也是三維空間中使4個頂點每兩個頂點間距離相等的唯一方式結構[2] ; 螺線模式通常自發性地存在自然界當中，而螺線形式可以在拉長一段距離的情況下，仍維持節構的緊緻，在增加表面積的同時兼具一定的強度，螺旋狀型體在自然界普遍存在一定有其特定的數學模式，當正四面體遇上螺線是否能形成完美的數學形式結合？

本文以不等邊的銳角三角形出發，運用中學時代已論及的三角形外心、重心、內心、 垂心為基礎，進而探討其他銳角三角形內的特殊點:九點圓圓心(Ninepo int)，布洛卡兒點(Brocard)，費馬點(Femat)，熱爾崗點(Gergonne)，奈格爾點(Nagel)，斯俾克點(Spie ker)，等連接三頂點分割三角形的面積比。

有55位同學，每人各得知一則與他人相異訊息。假設通話時，雙方皆能在同一分鐘內把自己所擁有的訊息傳達給對方，並得知對方所擁有的訊息，同一分鐘內，不限定通話的組數，但需兩兩通話，且通話的人不能重複，則至少需要幾分鐘才能使每個人都知道全部的訊息? 我們想要知道上述問題的答案，並推廣問題，所以將55人改成n個人，看能否說明如何配對可以得到最少的分鐘數。