數學科

本研究中討論了橢圓規的性質，從中提出「對基因進行操作」的觀念，而先將圖形推廣至其他它二次曲線乃至一般曲線，發現其操作模式都和線性變換有關。接著，將反演變換引進操作中，考察其性質。最後，基於上述研究心得，對一些特殊的基因(如常數基因、直線基因、二次曲線基因)及特殊的幾何操作，例如三角形的外心、重心、垂心、內心，甚至費馬點之軌跡加以考察，而發現軌跡除了二次曲線外，尚有一些有趣的曲線。最後，我們也發展出三條線以上的斜角橢圓規或曲線規，而能附帶地以之設計製造美妙的圖案。

本研究從股差為 1 的素勾股數家族{(an,bn,cn )}得到關係式vn/un =1/(2+vn-1/un-1 )，其中n,un,vn∈N, un＞vn,(un,vn )=1,un,vn為一奇一偶；以不同的v1/u1 代入關係式，迭代產生不同的vn/un，再由(an,bn,cn )=(un2-vn2,2un vn,un2+vn2 )產生股差為|u12-v12-2u1 v1 |的素勾股數家族；將(un,vn)當成平面座標(x,y)，則股差為定值的{(un,vn)}構成平面座標中的「勾股鐵路網」；將(an,bn,cn )當成空間座標(x,y,z)，則股差為定值的{(an,bn,cn )}構成空間座標中的「勾股鐵路網」；由不同最簡股差的乘積找到另外兩個關係式，由此得到股差為定值的素勾股數家族之不同的〈vn/un 〉，並由此確認最簡股差為定值的〈vn/un 〉之條數，進而確認最簡股差為定值的勾股鐵路之條數。

此研究一開始從科學月刊中的七邊形之謎出發，先研究在正多邊形中黑點數為2的條件下能畫出幾個等腰三角形，其中我們透過觀察得到了一些性質，並證明出正n邊形2黑點的類型分別會有n(n-2)/2個等腰三角形，n為偶數；n(n-1)/2個等腰三角形，n為奇數。接著又證明出正n邊形3黑點的類型也分別會有n(n-1)(n-3)/4個等腰三角形，n為奇數；n(n-2)2/4個等腰三角形，n為偶數(不為4的倍數) ；(n2-5n+8)/4 xn個等腰三角形，n為偶數(4的倍數)。

一、利用ΔABC 周界上一動點P ，作出等面積線段PQ，利用GSP 觀察PQ在ΔABC 內移動的軌跡，發現其軌跡形成曲線形狀。二、將ΔABC 座標化，我們利用等面積條件求出等面積線移動所形成的曲線，是PQ中點所構造出的曲線段(雙曲線之一部分)，且共有3 條曲線段，形成內文所謂的「包絡區」。1.當P 點在包絡區內，則有3 條等面積線段。2.當P 點在包絡區周界上，則有2 條等面積線段。3.當P 點在包絡區外，則有1 條等面積線段。三、以三角形的研究當基礎，擴展到凸n 邊形，我們發現：等面積線段數量之分布，仍然與包絡區息息相關，且1.凸2m+1邊形最多有2m+1條等面積線段。2.凸2m邊形，必發生內文所謂的「換軌」。因此，最多只有2m-1條等面積線段。3.包絡曲線鎖分割出的區域，於相同區域其等面積線段數量相同，且相鄰兩區域數量差兩條。四、若凸n邊形有k個「換軌點」，則此n邊形過定點等面積線段至多有n-k條。

本研究主題是探討在三角形和四邊形中尋找出唯一的正方形，使此正方形的頂點分別落在三角形和四邊形各邊向外或向內作之半圓上。我們探討其存在性之幾何作圖法並證明之，同時試著從中求出此外框或內嵌正方形面積的一般式。我們發現凝聚三角形只要作出垂直且等長於其最長或第二長的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，也證明了任意三角形都可以作出內嵌正方形。至於凝聚四邊形，則可以作出垂直且等長於對角線的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，而任意四邊形都可以作出內嵌正方形。研究過程中亦發現對任意三角形或四邊形，若正方形的頂點可以選擇落在各邊內或外之半圓上，那麼，這種正方形也是存在的。

本文探究是否能將三堆石頭移動成數量皆相等的狀態（稱之為「穩定狀態」），因為遊戲進行中，石頭的總數不變，故以石頭數量總和進行分類觀察，我們逐步探討得到：數量總和不是6的倍數之非穩定狀態數對無法形成穩定狀態，進而得到形成穩定狀態的充要條件，並且利用二進位表法歸納三堆時的移動次數型態，得到不須二進位即可操作的移動方法。最後，我們將此結果擴展到多堆石頭時，形成穩定狀態的充要條件及移動方法。

本研究主要在探討邊長比為1：a且重心重合的內、外正n邊形，當取外正n邊形的邊上一點為起始點(此起點與外正n邊形的頂點距離為x)，重複朝著內正n邊形的頂點畫切線，並觀察其數學性質。(θ為正n邊形一內角) 我們從研究正三角形開始，並且推廣到正n邊形，研究以下四項： 一、「切線與外正n邊形的交點」和「外正n邊形頂點」的距離通式f(x)=(a2-a)+(1-a)x/((2(cosθ+1)a+1)+(-2(cosθ+1))x 二、證明收斂正n邊形的存在性，並找出收斂點與外正n邊形頂點的距離x=a/2-√a(cosθ+1)(a×cosθ-1+2)/2(cosθ+1) 三、正n邊形可形成收斂正n邊形的內、外正n邊形邊長比例範圍 ，√a(cosθ+1((a×cosθ-a+2)≧0，1≦a≦2/1-cosθ 四、內、收斂與外正n邊形的邊長比為1:√a:a 此時發現收斂正n邊形的邊長為內、外正n邊形邊長的幾何平均數。 最後，我們也針對任意三角形探討上述內容，並於研究過程中詳述。

本研究首先發現在n×n棋盤的所有和平排列(每行每列各放一個棋子)中，皆可找到不包含棋子的k×k正方形，同時得到n和k的關係：k的最大值為⌊√(n-1)⌋。 接著延伸這個題目，從找k×k正方形變成找(k×k-m×m)的缺角正方形。並在程式的輔助下，除了得到fa(k,m)和fb(k,m)的值，也可以知道n=fa(k,m)和fb(k,m)時放不下缺角正方形的和平排列，而基本上，報告的整體架構就分為兩個部分，證明每個(n+1)×(n+1)的和平排列都找的到，以及構造n×n的和平排列找不到(缺角)正方形。 f(k,0)=k2 fα (k,1)=k2–k fβ (k,1)=k2-1 fβ (k,k-1)=2k-1 fα (k,k/2)=k2/2

格子圖形是具代數特性的幾何圖形，是解析幾何中一環。首先研究發現格子直線數與法里數列及尤拉函數有關，透過遞迴關係導出其一般式。其次探討形成格子圖形的充要條件，得到 (1) 坐標平面上有格子正n邊形的充要條件為n=4 (2) 坐標空間中有格子正n邊形的充要條件為n=3,4或6 (3) 恰有三種格子柏拉圖 最後的主軸是找出五心與九點圓圓心皆為格子點的充分條件，成果如下： (1)畢氏三角形內心及旁心皆為格子點；而Heron三角形在某條件下，內心及旁心也是格子點 (2)畢氏三角形與Heron三角形三邊長滿足在某條件下，五心與九點圓圓心皆為格子點 (3)三角形三邊長為整數比，經伸縮變換後可使五心與九點圓圓心皆為格子點

在某次的宴會上，鄭師傅心血來潮做了一個三角形的蛋糕，但我們卻遇到困難-要如何切出相等的蛋糕分給每個人呢?這問題讓我們很有興趣。於是我們下定決心來研究。