生活中隨處可見數學的美與它的影響力！學校停車場地是我們每天上下學必經的場地，原本熟悉、平凡到無奇，想不到可以從一個簡單的問題中，透過不斷的追問、觀察、發現與驗證，進而確定其中數形的變化規則，而且我們還發現這些有規律的平面圖形結構，其間的（交點數＋單元凸多邊形面數－之間相鄰的邊數）竟然都等於定值1！想不到課堂上所學的數學知識，真的非常有用，幫助我們快速又準確解決看似複雜的趣味難題。

因為南投縣是淳樸、有人情味的縣市。大多縣民都以生產農作物為主。所以農民曆是許多人必備的字典。想探討中國古代如何紀年？並解決歷史課的年份問題。希望運用所學的正負數、絕對值、倍數與因數關係及一元一次式等觀念，並試圖找出一套規則來轉換年份的方式。

生活中的各種小東西中都隱藏著一些規律的數型關係。有一天，我們在偶然的巧合下\r 看到小學MPM 上的一個九九乘法表，仔細一看，發覺裡面各數字間的排列有規律性，\r 和我們之前學的數型關係及現在學的等差等比數列很有關係，於是激發了我們的好奇\r 心，在數學老師的指引下，開始研究有關「級數」的東西。

若一個數字能從中間(偏前或後)的斷開兩個數，求其和再平方即為原數，稱卡布列克怪數，形如88209=(88+209)2、2025=(20+25)2。 我們選擇了拆末m位去列出一元二次方程式，分析公式解的數值關係。利用整除的概念去找同餘數，發現餘數的對稱性及單一性。 最後我們得到了拆末m位卡布列克怪數的所有個數與99…9 (m個)相異質因數的排列組合個數相同，而這些數皆為質因數任意組合後的倍數。 過程中，我們找到一份2005年第四屆旺宏科學金牌獎的資料，將我們的算法套用在她所提出的雷霆數，發現除了能簡化原作的計算技巧外，更和卡布列克怪數有相同的結論。 接著我們也去試平方和再現數，也是同樣。而這些特殊的結論，讓我們對這些經由不同方式回到自己的再現數更加充滿了興趣。

本文透過齊次坐標研究三角形的等角、等截、角比例共軛點變換，其中角比例共軛點是全新主題，接著研究自創的Qn共軛變換。首先，我們證明三種共軛點「存在性」，並提出統整性定理「無窮遠點的Qn共軛軌跡為二次曲線S」與「S曲線上過三頂點切線交點的三線坐標」，透過前述定理證明無窮遠點關於"∆ABC" 的角比例共軛點軌跡是內切於其旁心三角形的橢圓，這是本文獨創發現。第二，我們一般化推廣「無窮遠點」關於"∆ABC" 的「Qn共軛點」為二次曲線及找出其判別式（橢圓、拋物線、雙曲線的判別式），並類推到「直線」關於"∆ABC" 的Qn共軛點軌跡為二次曲線及其判別條件。最後，本文討論更一般化情形無窮遠點及直線的Cremona變換。

紙條是一個日常生活都會隨處可得的東西，在這裡我們討論他們的性質，一方面是想要看看一個直線組成的圖形是否有任何的組合關係，當我們把一些數字化的資料整理過了以後，這個題目也已經有些成果了。

據Guarini騎士交換難題，我們設計出156個瘋狂騎士棋盤，並以對應之節點圖形特徵決定騎士擺放位置、最多騎士對與最少交換步數規則。 一、騎士對交錯擺放有利於找到最少交換步數。 二、單一節點圖最多騎士對得到最少步數關係如下： 1.「環圖」與騎士對關係為「騎士對數量」×2+1 2.「非環圖」與騎士對關係為「騎士對數量」×3 3.當Vf=2且Vt=2，則 nPmm=3n 4.當V_f=1且V_t=2，則 nPmm=2n+1 三、臨時停駐點決定環上點數與騎士對的關係如下： (一)若點環上有臨時停駐點，則最大環點數與騎士對關係為 2n 。 (二)若點環上無臨時停駐點，則最大環點數與騎士對關係為 2n+2。 四、度序列可作為判斷同構圖的有效工具，但需參考節點圖特徵將分岔點與臨時停駐點的距離予以比對確認。

本研究中討論了橢圓規的性質，從中提出「對基因進行操作」的觀念，而先將圖形推廣至其他它二次曲線乃至一般曲線，發現其操作模式都和線性變換有關。接著，將反演變換引進操作中，考察其性質。最後，基於上述研究心得，對一些特殊的基因(如常數基因、直線基因、二次曲線基因)及特殊的幾何操作，例如三角形的外心、重心、垂心、內心，甚至費馬點之軌跡加以考察，而發現軌跡除了二次曲線外，尚有一些有趣的曲線。最後，我們也發展出三條線以上的斜角橢圓規或曲線規，而能附帶地以之設計製造美妙的圖案。

此研究一開始從科學月刊中的七邊形之謎出發，先研究在正多邊形中黑點數為2的條件下能畫出幾個等腰三角形，其中我們透過觀察得到了一些性質，並證明出正n邊形2黑點的類型分別會有n(n-2)/2個等腰三角形，n為偶數；n(n-1)/2個等腰三角形，n為奇數。接著又證明出正n邊形3黑點的類型也分別會有n(n-1)(n-3)/4個等腰三角形，n為奇數；n(n-2)2/4個等腰三角形，n為偶數(不為4的倍數) ；(n2-5n+8)/4 xn個等腰三角形，n為偶數(4的倍數)。

本文進行最佳全翻位的研究。所謂「全翻位」係指 N 枚正面朝上的硬幣，每次將其中 M枚翻面（M≦N），若干次後，使所有 N 枚正面朝上的硬幣，全部反面朝上。本文的目的除了作全翻位的研究，亦企圖找到如何以最少次達成全翻位，亦即進行「最佳全翻位」的研究。更有進者，我們最終完成「包含所有狀況」（即針對任何 N 值及 M 值）的最佳全翻位研究。在我們的研究中，作者針對最佳全翻位，將所有狀況歸納成 5 種模式，並詳列各種模式的使用時機及操作模式，並且推導出 5 個最佳全翻位的公式，分別對應 5 種模式 7 種使用時機。研究的過程雖曾遭遇不少難題，然而能完成這份完整的報告，委實令人感到興奮，也期望對數學教育有些許貢獻。