本研究旨在探討由0與1組成長度為n的二元字串中滿足000-子字串數和111-子字串數相同（稱為平衡）之排列方法數。我們從3個面向來探討：一、首先將直接推導出之算式，輸入python計算在各種n值下，觀察平衡與非平衡字串個數之規律性；二、接著我們發現非平衡字串個數在000-子字串和111-子字串之差值為一固定形式時，不同長度之字串符合個數會形成一階差數列，我們對此猜測提出證明並嘗試利用此性質推導出二元 3 平衡n字串個數之一般式；三、最後探討二元 3 平衡 n 字串個數之成長速度，推論當 n 值極大時，其個數會以趨近2倍速成長。同時，我們也將3平衡推廣至r平衡，提出一些相關的結果。

2D與3D間的轉換一直以來都是重要的科學問題，其中從平面投影建構3D模型的方法及策略是其主要的研究方向。一般而言，會使用坐標系轉換的方法，需要仰賴電腦的運算能力來完成大量的計算。我們在想是否能夠找出更有效率的策略，希望以更少操作建立3D模型。此方法將根據當前的狀況來判定最佳的下一步。我們選擇凸多面體，尤其是柱、錐體，作為研究對象，並對各種情況進行分析。此研究中探討了完全還原立體所需之條件，以及還原柱、錐體下的最佳與最差狀況，最後提出對於特定情況下的還原策略。儘管並沒有找出方法來解決所有情況，但本文中已導出一部分的結論，希望未來能夠研究更複雜情況下的還原策略。

研究拋物線的切線求法，發現拋物線切線的三個有趣定理，再從拋物線的切線求法中，重新思考多項式函數與切線之間的意義，引入切點代表重根的想法，算出切線方程式、極值與反曲點，以此替代微分方法求切線。 接著由切線延伸到弦，以此發展幾個問題，如：弦交角問題、中心轉弦問題 …。進行更深入的探討，求出問題的解答。 最後焦點放在拋物線的弧長上，希望利用以上探討，與阿基米德的窮盡法，進一步的求出或推估出拋物線的弧長。

本研究主要在探討三角錐的性質。我們採用了三平角的三角錐展開圖來做以下的討論。(定義∠1＋∠2＋∠3＝180° 1＋∠2＋∠3即為平角。 )∠我們首先探討三角錐之折法，並討論是否任意三角形(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)皆能折成三角錐。再者，我們更進一步的研究三角錐的相關性質，如：三角錐四個頂點所相鄰三個角之角度、三角錐的兩面角和三角錐的體積…等。本研究發現如下1.三角錐之折法：取三邊中點，延兩兩中點之連線對折，即可折成三角錐。2.並非任意三角形皆可折成三角錐，但任意銳角三角形皆可折成三角錐。3.此三角錐四個頂點各所相鄰三個角角度和皆180°。4.△ABC面積固定，當△ABC為正三角形時，所折成的三角錐其體積為最大。根據以上的發現，我們發現了三角錐的其它的特性。

上學期,在學校的社團活動的課程中,我選擇了「數學研習社」；而在期末,指導老師要求我們每組繳交一份研究報告,研究報告的主題是---「過定點的直線如何平分三角形面積」。針對這個主題, 我們開始蒐集資料,並利用閒暇之餘展開研究,遇有問題,就隨時請教老師；以下內容,就是我們這組的研究過程與心得。

1. 若有a 個城市、b 間公司，每個城市至少有n 間公司，則每個城市的公\r 司數要如何分配才能使線路有最少條數。\r 2. 令有些城市有限定的公司數m，分配方式又將如何改變。\r 3. 兩城市之公司排成兩平行直線，從任一公司出發，恆可到達另一城市之\r 任意公司，欲找出最少之連線數及交點數的方法。\r 4. 在兩城市各有固定公司數量，在最少線路及交點數的情況下，求得一畫\r 法，使得從一公司到任一公司有最少或最多的轉接次數。\r 5. 如果公司數沒有「最多轉接次數等於交點數」的情形，我們試著找出最\r 多的轉接次數。\r 6. 探討兩個城市間的線路畫法中，哪一種畫法能使線路總長度有最小值。

一開始，我們想求出兩人走捷徑且不相交的捷徑總數，並利用終點交換的方式求出其解。之後我們想求出三人走捷徑且不相交的捷徑總數，我們採用分析的方法，將其分類並逐步討論其解答，之後利用人數格數的變化關係製造出其他的等價問題，並以矩陣的方式推出遞迴式，我們閱讀其他的科展作品後，發現我們的可以轉換成其地磚問題，並順便解決之。

本研究探討在n×n的方格表中，置入f(n)個地雷，f(n)代表在n×n的方格表中，依掃雷方式進行後，能確保至少剩下一個地雷，所要置放地雷的最少個數。我們透過觀察、尋找關係、猜測、檢驗、證明及公式的探究過程，發現方格表邊長為奇、偶數是討論的關鍵，我們運用抽屜原理找出在n×n的方格表中，所置入地雷最少個數的公式並加以證明，結果如下： (一)若n為偶數(n=2k，k≥1)，則f(n)=3k+1。 (二)若n為奇數(n=2k+1，k≥1)，則f(n)=3k+3。 此外，我們也找到了 × 的方格表中，置放地雷的快速完成法及快速檢查法。為了更多人能了解埋雷遊戲及體驗我們的研究歷程，我們則在老師的協助下著手設計flash教學遊戲，希望能推廣埋雷遊戲及展示研究發現。

本篇研究直角三角形與其重心、中點、頂點延伸圖形之性質探討，並證明出直角三角形與其重心、中點、頂點延伸圖形逆推方法，接著變化至任意三角形與其重心、中點、頂點延伸圖形的性質探討，然後再推廣至任意多邊形的重心、頂點之延伸圖形的探討，其邊長、角度皆有比值關係。

偽內切圓與偽旁切圓為與三角形的兩條邊相切，並分別與三角形的外接圓內切、外切的圓。 本研究從偽內切圓與偽旁切圓出發，因為猜測他們與內心及旁心有關聯，於是從這個角度切入。接著我們再對與其相關的Mannheim(曼海姆)定理進行推廣，進而將問題由三角形延伸至圓內接四邊形上。 在圓內接四邊形的情況時，我們探討「圓內接四邊形對角線交點」對八個切圓的極線組成的網格及其交點的性質，並以其退化結果證明偽內切圓與偽旁切圓與內心及旁心的關係。最後我們以不同的方式移動外接圓上的點，利用Geogebra動態繪圖軟體，觀察極線網格交點的軌跡，發現了其軌跡與擺線之間相當有趣的關聯。下圖即為極線網格及P點在△ABC外接圓上移動時其線網格交點的軌跡。