數學科

本研究主要在探討正n邊形包圍任意三角形時，會出現三線共點或多線共點的情形。研究中發現，其交點位置分別會受到內部任意三角形及外圍正n邊形的內角影響。另外，如果只移動內部任意三角形的其中一個頂點，可以發現其三線或多線共點之交點的軌跡為一個圓。而正n邊形包圍任意三角形的性質也可推廣至正n邊形包圍任意m邊形，且其三線或多線共點之線數與組數會隨著外圍正n邊形和內部任意m邊形邊數的增加而增加。

『畢氏定理』，ㄧ個在國中數學裡幾乎每日必見的定理，原稱『畢達哥拉斯定理』、簡稱『畢氏定理』，文獻中亦有人稱『勾股定理』、『商高定理』，好多好多的名稱，但卻都掩飾不了『畢氏定理』在數學上的重要性，而關於此定理的討論與延伸出去的美，真的數都數不盡，如果這時候的你已被我們吸引了，不要猶豫，跟我們一起進入『畢氏』的世界裏吧！

本研究主要探討平面上給定三角形ABC及一點P，所連出三個三角形PAB、PBC、PCA與ABC的外接圓半徑之關聯性。 首先，P為ABC外接圓上異於頂點之點或垂心時，三個連出的三角形的外接圓半徑與ABC的外接圓半徑相等。 接著，延長ABC的三邊分平面為七區，討論三個半徑和的最小值及此時P點的位置，並證明出： 1.非正三角形三徑和的最小值僅會發生在兩區。 2.若ABC為非正三角形的銳角或直角三角形時，在ABC的內、外部各有一點P，使得三徑和最小。 3.若ABC是以A為頂角的等腰三角形，當A114度，使得三徑和有最小值的兩個P點皆在ABC的外部。

紙條是一個日常生活都會隨處可得的東西，在這裡我們討論他們的性質，一方面是想要看看一個直線組成的圖形是否有任何的組合關係，當我們把一些數字化的資料整理過了以後，這個題目也已經有些成果了。

有55位同學，每人各得知一則與他人相異訊息。假設通話時，雙方皆能在同一分鐘內把自己所擁有的訊息傳達給對方，並得知對方所擁有的訊息，同一分鐘內，不限定通話的組數，但需兩兩通話，且通話的人不能重複，則至少需要幾分鐘才能使每個人都知道全部的訊息? 我們想要知道上述問題的答案，並推廣問題，所以將55人改成n個人，看能否說明如何配對可以得到最少的分鐘數。

在現實生活中，經常有許多隱私，小從兩人之間的通訊，大到國家之間的戰爭機密，都是不能讓其他不相干的人知道的；一般資料的保密，皆是妥善保存重要資料，諸如鎖在保險箱內；即使是如此，還是有被偷的可能。因此，就需要第二道關卡：將資料保密。這時，就要藉助加密的動作了。這樣一來，即使資料被偷了，別人所得到的，也只是一堆亂碼而已。由此可見密碼學的重要。 \r 寒假中，無意接觸到「數學小魔女」這本書，於是對密碼學產生濃厚的興趣。因此決定做篇有關密碼學的專題報告。 \r 我同時對書中的文字加密運算過程（參考資料）感到很大的興趣，認為此法的難度和安全性仍可再向上提升，所以想用簡單的數學計算來讓文字保密。 \r 在許多書中，有關密碼的記載，皆是以英文加密為主。幾乎沒有以中文加密的範例或方法的記載（就目前而言，我尚未找到。）因此，想研究如何用中文來進行加密的動作，讓加密時，不必再翻成英文，進行加密。這樣一來，當對方要破解密碼時，必需先考慮到我方是用中文或英文來加密，在安全性上，自然比原先糸統高出許多。 \r

文獻[1]中有一道趣題，作者給出了n=5，N=n2=25的3組解，及其中一組解所對應的幾何圖形。本文分兩大方向去討論： (1)n為奇質數時，將原組合遊戲轉換成捷徑圖，發展出一套策略，找出了文獻[1]的3組解及對應的序列等角多邊形，並利用策略解出了n=5，N=24、N=20；n=7，N=49的解。 (2)n為偶數時，因不可能滿足各頂帽子的總和均相等，轉而由幾何觀點出發，利用等角多邊形的性質，搭配偶數邊求解的策略，找出偶數邊的序列等角多邊形，並修正文獻[2]中偶數邊序列等角多邊形的觀點，重新賦予偶數邊組合遊戲的意義。最後針對規律解做推廣，求出n為奇數，N=n2、N=n2-1及n為偶數，N=n2/2、N=n2/2-1的規律解。

本研究是為了可以將不規則形做簡單的改變，使它變成容易計算出面積的正方形。而若要將多邊形變為正方形，就必須將它平方化。我們製作出長方形、三角形、梯形、圓形、新月形、星形等圖形平方化後的結果。 拜賜科技的發展，電腦已能使各位可以輕鬆地計算出任何圖形的面積。以前的幾何學家利用尺規作圖繪出一維圖形(直線)與二維圖形(圓)，但卻一直無法繪出如拋物線的複雜圖形。另外還有一個很大的問題存在，那就是面積的計算-----平方化的問題。一種將圖形切割後化為正方形的方法，可使面積更易算出，不須使用其他圖形的面積公式，若能做出這樣的圖形則稱此圖形為「可平方化｣或「可正方化｣。

本研究作品主要在探討「正N邊形外接圓弧上一動點，至各頂點距離關係的定值性質」，並在利用托勒密定理和三角函數、複數極式的運算性質得證後，更進一步去探究調整某些條件後，是否依然具有定值關係，以及試著尋找在這些長度所圍成的三角形面積所展現的定值關係。

本文進行最佳全翻位的研究。所謂「全翻位」係指 N 枚正面朝上的硬幣，每次將其中 M枚翻面（M≦N），若干次後，使所有 N 枚正面朝上的硬幣，全部反面朝上。本文的目的除了作全翻位的研究，亦企圖找到如何以最少次達成全翻位，亦即進行「最佳全翻位」的研究。更有進者，我們最終完成「包含所有狀況」（即針對任何 N 值及 M 值）的最佳全翻位研究。在我們的研究中，作者針對最佳全翻位，將所有狀況歸納成 5 種模式，並詳列各種模式的使用時機及操作模式，並且推導出 5 個最佳全翻位的公式，分別對應 5 種模式 7 種使用時機。研究的過程雖曾遭遇不少難題，然而能完成這份完整的報告，委實令人感到興奮，也期望對數學教育有些許貢獻。