數學科

研究動機小遊戲，大啟示。你知道如何判斷該不該「猜」來決定下一不嗎？答案在「最後的審判」！一個遊戲的勝負，取決於遊戲技巧及關鍵性的運氣。但運氣不是永遠的，所以我們致力於找尋如何改善技巧。從幾次的遊戲之中，發現從數字排列的情形及相鄰二數的和差關係來判斷地雷的所在處是較可行的方法；從數字的排列中，我們發現許多可快速判斷的規則，例如長蛇陣、Ｌ形、方陣形及數字和差與地雷分布的關係等；某些有多種分布情況的陣形，就算出各格可能有的地雷機率，以致於不得已要猜時，做出較安全（地雷）的判斷。

本文首先就經典相親問題的歷史背景進行介紹，並在其後對現今相親問題的主要論文做一次文獻探討，一方面提供以中文書寫的統整性文章，另一方面用來區分我們的研究與他人研究之差異之處。接著，我們根據我們設定的兩種相親問題變種，分別來對相親問題求取不一樣的結果。其分別展現於定理5至定理9，我們試圖改變的變因為(I)使我方能在一定的條件下，依照遞減機率來對先前一度拒絕過的候選人重新選取，以及(II)維持能夠對先前拒絕過的候選人再次選取之條件，但使候選人最開始願意接受我們的機率不再為1。求出以上兩種的最佳策略後，我們利用程式碼配合最佳策略，實際演練了數種設定下的相親問題，提供數據於末。

平面上，P點為△ABC內部任意一點，AP、BP、CP分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A'、B'、C'。若△ABC為銳角三角形，則PA'/PA·PB'/PB·PC'/PC≧8，等號成立時若且唯若△ABC為正三角形，此外，並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值；接下來推廣至n維空間，當P為任意n+1單體A1A2....An+1內任意一點，A1P、 A2P、…、An+1P 分別與n+1單體P-A2A3...An+1 、P-A1A3...An+1 、…、P-A1A2...An 的外接n-1維球面交於A1、A2、…、An+1，滿足Πk=1n+1PAk'/PAK≧nn+1，等號成立時若且唯若PAk'/PAK=n，k=1,2,...,n+1，其中n≧2。再藉由任意點的結論，可以應用於直接生成或快速解出許多特殊類型的三角函數不等式。此外，從主要的不等式還可以得到Σk=1n+1AkP/AkAk'=1，此時P點為n維空間中任意一點，最後，我們把圓改為圓錐曲線，再進行線段比值的探討。

我們利用公式解來求出通過任意點的直線Ｌ，使其將三角形分割成任意要求的比例，我們將任意比例設為Ｋ：Ｓ，其中Ｋ為較小的部份，Ｓ為較大的部份。我們在計算過程中，將三角形的其中一銳角放置在Ｏ點，以Ｘ軸為邊，則三角形將會有三種情況，分別為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，我們將各個三角形再分為三種情況。我們將任意點設為 P，座標設為(u，v)，設直線 L 通過 x 軸的點為 Q，且 Q 要在 O 點與 A 點之間。通過三角形的左邊的點設為 R，通過右邊的點設為 T，且 R點要在 B 點與 O 點間，T 點要在 B 點與 A 點之間。則我們可以求出過任意點將任意三角形分割成任意比例的直線方程式公式。

日常生活中，我們時常會遇到要求距離和的問題，如果只在A、B 兩點間找一點P 距離A、B 最短，那麼大家都知道只要在兩點的連線段上任意一點皆可以，那如果是在△ABC 中找一點P 距離此三點最短，又該如何找呢？這個問題，早在約三百多年前，費馬先生就已經提出來了，而這也就是有名的『費馬點』問題，多年來對於費馬點的證明很多，然大多只侷限在三角形三內角皆小於120°的三角形，這不禁讓我們懷疑，是否對於任意一個三角形，費馬點都存在呢？答案是肯定的！難能可貴的是，我們捨棄了一般人望之卻步的分析或高等代數的方法，而僅是利用了國中數學所學的幾何證明方法，便成功的找出了有一內角大於或等於120°的三角形的費馬點，更進一步的推廣到了凸多邊形和立體圖形中的四面體，我們誠摯地希望以此作品，讓更多對此問題感興趣的人，可以更親近，甚至擁抱數學，也讓大家瞭解原來數學也可以是很生活化而又平易近人的。

本文以不等邊的銳角三角形出發，運用中學時代已論及的三角形外心、重心、內心、 垂心為基礎，進而探討其他銳角三角形內的特殊點:九點圓圓心(Ninepo int)，布洛卡兒點(Brocard)，費馬點(Femat)，熱爾崗點(Gergonne)，奈格爾點(Nagel)，斯俾克點(Spie ker)，等連接三頂點分割三角形的面積比。

本研究透過魔術「Australian Shuffle」的研究，找到的其中數字的規律和排列，透過數學歸納分析法，我們將所得的數據列成表格，進行整理和分析，接著試著導出其中一般式。針對不同張數n，我們的研究結果如下：一、不同張數n所會剩下的最後一張牌y，並推得一般式：y=2×(n-2k) （2k小於n最大2乘方數）；二、在通關密語b的部份，b＝2k +1 （2k為大於等於n的最小2乘方數）；三、倒數第m張剩下的牌xm，xm=2×{[n-(m×2-1)×2k]} （其中 (m×2-1)×2k< n ，在這個情況下，2k為最大2乘方數）。最後，透過研究結果，我們自行設計數字排列的小魔術，延伸我們的研究結果。

如圖(0)，當兩平面鏡M1、M2，鏡面夾角為θ(單位:度)，物體與兩鏡交點所形成的線段分別與M1、 M2的角度為θ1、θ2 (單位:度)。利用GeoGebra推導兩鏡中成像數的公式。可以寫成以下5點，其中 [ ]：高斯符號︰ 1.當180°-[180°/θ]×θ=0°，成像數= [180°/θ]×2-1， 2.當0°<180°-[180°/θ]×θ<θ1 且 0°<180°-[180°/θ]×θ<θ2， 成像數=[180°/θ]×2， 3.當 0°<180°-[180°/θ]×θ<θ1且θ2<180°-[180°/θ]×θ， 成像數=[180°/θ]×2+1， 4.當 θ1<180°-[180°/θ]×θ 且 0°<180°-[180°/θ]×θ<θ2， 成像數=[180^∘/θ]×2+1， 5.當 θ1<180°-[180°/θ]×θ 且 θ2<180°-[180°/θ]×θ， 成像數=[180°/θ]×2+2。 我們歸納出這個公式，已修正蒐集到的文獻所描述公式不足之處。 簡單說文獻上的公式︰ 若 360°/θ ∉ N ⇒ 成像數為 [360°/θ] ，其中 [ ]：高斯符號 。 這句話只陳述了部分事實，沒有說出全部事實，所以不能當公式使用。

在平面上，三角形有重心、外心、內心，若將討論的範圍提升到空間中，三角錐也有同樣的性質，我們利用了紙筆證明以及動態繪圖軟體 GSP 來呈現，來說明空間中的三角錐確實也有重心、外心、內心，而且其幾何性質，與我們所學平面上三角形的三心有極相似之處。

本研究探討在m×n的棋盤中，任意放入兩個不相鄰棋子放法之最大值。我們透過觀察、尋找關係、猜測、檢驗、證明以及公式的探究過程而得到計數公式，得到研究結論如下： 一、在不同大小的棋盤中，要尋找放入2個不相鄰棋子的放法之最大值時，發現圖形樣式法比階差法較快速，且可以由觀察圖形樣式的變化，而明顯的觀察到數量的變化。 二、在3×6~3×9、4×6~4×9、5×6~5×9、6×6~6×9的棋盤中，找到放入2個不相鄰棋子的放法之最大值，如表6-1-1、表6-1-2、表6-1-3、表6-1-4。 三、在不同大小的棋盤中，找到放入2個不相鄰棋子的放法之最大值與邊長的關係，其關係如陸-二-(一)與陸-二-(二)。 四、在m×n的棋盤中，找到任意放入兩個不相鄰棋子放法之最大值的計數公式，如表6-3-1，且加以證明。