所謂的Nim-like 遊戲〈(N1,N2,…,ND) , Cond ; X , Y〉，指的就是：兩人輪流在一堆或二堆（以上）的石子中，在符合條件的狀況下，每次只能從其中的一堆裡面拿取石子，取完最後一顆石子的人贏。例如：N1=5、n=3、在cond(1)的情況下，為僅有一堆石子，共5 顆，條件是一次最多能取3顆的Nim-like 遊戲。本篇作品定義了三種不同的條件，此三個條件可以任意搭配cond(1)：取石子範圍從1~n。cond(2)：取石子範圍從1~m。cond(3)：取石子時不可和前一個人取相同的石子數。在這三個條件限制下，對於Nim-like 遊戲呈現出豐富的變化，引起我們的好奇，不同的cond、石子數、以及堆數皆會產生不同的效果。因此，嘗試以此主題做研究，探討Nim-like 遊戲的性質與現象。

象棋和國際象棋都是由正方格所組成的棋盤，而棋盤覆蓋的研究也大多以正方形為主，那是不是只有正方形才可以當成棋盤的基本圖形呢？事實上，如果只採用一種圖形，那正三角形、正方形、正六邊形都可以舖滿平面，而達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」，各蜂窩的六個側面緊連其他六個蜂窩，這是自然界中所能找到最節省空間及建材的建築設計。本篇研究主要是利用實際操作的過程中來找尋四格六邊形覆蓋平行四邊形、三角形、六邊形，再將發現的結果做歸納分析並深入探討，找出其規則。

一、本研究討論在正n邊形各邊上取等弧，其交點所形成圖形的各種情形，我發現搭配3個臨界角，可將所有可能情況分成7種情形來加以討論。 二、透過第一及第二臨界角所形成的六種情形，其新圖形的數量及出現規律不會因為邊數改變而受影響，且與原圖形面積的比例關係有關係式可求得。 三、當等弧的度數大於第三臨界角時，正n邊形內部會產生(n-2)層與原圖形相似的圖形，且這(n-2)層圖形的面積與原正n邊形的面積比例關係皆可透過解三角方程式求得，其中不同層的圖形面積會有旋轉固定角度的特性。

給定一個mxn的棋盤，若沿著棋盤格線以捷徑走法從左下角走到右上角，且該路徑須將棋盤平分成面積相等的兩區域，則所有符合上述規定的走法數稱為w(m, n)。例：圖(一)為4x8的棋盤，從A到B符合條件的走法數為w(4, 8)=33(請參見研究過程)，其中粗線路徑為某一種走法。本文利用棋盤的中心點將路徑分為兩種互斥的情況，再藉由對稱性來探討幾類簡單的情形，如：w(1, n)、w(2, n)、w(3, n)、w(4, n)、w(5, n)，從中不難發現w(m, n)的遞迴關係式，藉此對於任意給定的m, n均可計算出w(m, n)的值。接著，我們發現在某限制條件下某類變形棋盤的走法數wk(m, n)可視為w(m, n+(m-1)k)。

我們整理了拈的最基本問題。並對拈的變形問題「k倍拈」(有n顆子，n>1，A、B輪流拈子，A先，A首次不可全拈，之後兩人每次拈最多為對手前次拈的k倍，拈最後一子勝)，得到了完全解答，令a1=2,a2=3,…,ak=k+1，且(對於n>k，令an=an-1+am(k,n)，其中am(k,n)是a1,a2,…an-1中最小的滿足≥[an-1/k]的項，此處[x]是x的天花板函數，亦即，不小於x的最小整數)，則當開始時的全部子數為a1,a2,…an中的任何一項時，後拈者有必勝策略，否則先拈者有必勝策略。特別地，當k=2,3,4,5時，的遞迴式相當簡單。

本研究是為了可以將不規則形做簡單的改變，使它變成容易計算出面積的正方形。而若要將多邊形變為正方形，就必須將它平方化。我們製作出長方形、三角形、梯形、圓形、新月形、星形等圖形平方化後的結果。 拜賜科技的發展，電腦已能使各位可以輕鬆地計算出任何圖形的面積。以前的幾何學家利用尺規作圖繪出一維圖形(直線)與二維圖形(圓)，但卻一直無法繪出如拋物線的複雜圖形。另外還有一個很大的問題存在，那就是面積的計算-----平方化的問題。一種將圖形切割後化為正方形的方法，可使面積更易算出，不須使用其他圖形的面積公式，若能做出這樣的圖形則稱此圖形為「可平方化｣或「可正方化｣。

我們主要是探討類似 273753135313+273753135314+......+788953135312+788953135313=273753135313788953135313 這種級數和等於將首尾數寫在一起所成的數。因為首、尾數就像一對情人一樣，原本相隔遙遠，但最後終於相會在一起，所以我們把這種數稱為情人數。首先我們先利用 Dev-c++找出一些情人數，後來發現情人數有漂亮的規律，因而引起我們高度的興趣。情人數主要跟生成因子 r 有關，它是一個有理分數，有一定的範圍，可以生成每一個族群第一個情人數，我們發現會有無數個族群，利用延伸方法就可以將每個族群無限延伸。而延伸方法可分成兩種，各有不同的延伸方式，此外，我們並將情人數由公差等於 1 推到公差等於 m，於是全部的情人數都可以找到了。

對於平面上Q個圓，我們研究了下列三個有趣的課題：(一)各圓之間相交關係的結構性並作分類。(二)各圓相互交會成另一新圖形時，如何設置使各圓上的交點數相同。(三)若(二)中的圖形存在，如何在各交點上放入數字，使每個圓上的數字和皆相等。對這三個課題的探討我們獲得一些初步的結果。

本研究重新探討分酒問題，將分酒規則改為利用任意三個不同容量的容器，把最大容器裝滿酒後分成二份，並分裝在其中二個容器內，結果發現判別容器容量組合是否能分出所有可能容量酒之簡易規則，並發現兩種分酒方法的差異及部分條件下分出所有可能容量的酒所需步驟數具有之規則。另外仿照分酒問題的模式，研究利用天平與砝碼要秤取所有可能的糖量時，砝碼的重量組合須具備的條件。最後設定砝碼數與一般砝碼組合同為九個，找出秤取所有可能的糖量之較佳的砝碼組合。

平面上，P點為△ABC內部任意一點，AP、BP、CP分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A'、B'、C'。若△ABC為銳角三角形，則PA'/PA·PB'/PB·PC'/PC≧8，等號成立時若且唯若△ABC為正三角形，此外，並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值；接下來推廣至n維空間，當P為任意n+1單體A1A2....An+1內任意一點，A1P、 A2P、…、An+1P 分別與n+1單體P-A2A3...An+1 、P-A1A3...An+1 、…、P-A1A2...An 的外接n-1維球面交於A1、A2、…、An+1，滿足Πk=1n+1PAk'/PAK≧nn+1，等號成立時若且唯若PAk'/PAK=n，k=1,2,...,n+1，其中n≧2。再藉由任意點的結論，可以應用於直接生成或快速解出許多特殊類型的三角函數不等式。此外，從主要的不等式還可以得到Σk=1n+1AkP/AkAk'=1，此時P點為n維空間中任意一點，最後，我們把圓改為圓錐曲線，再進行線段比值的探討。