本文主要探討的問題是「以多種不同錢幣來支付 n 元的方法數」。研究方式多半先以觀察與考察特例為主，再思考、証明並推廣至一般的情況。主要所涉及的數學概念與技巧是數列遞迴的概念與消去法，在化簡的過程中亦常會遭預到高斯函數與相關性質。

研究立體密碼鎖的解及解與解之間的關係，利用立體幾何圖形探討。

下述問題「有100顆全暗的燈泡,編號從1到100。每個燈泡都有一個開關，按下任意 編號的燈泡開關都會同時改變那些號碼為該編號倍數的燈泡的亮暗狀態。當所有編號的燈泡開關都被按一下後，哪些燈泡是亮的?」的答案廣為人知: 「亮著的燈泡號碼為完全平方數。」 我們被此饒富趣味的問題吸引。在嘗試進行了一些延伸探索後，在一個研習營的資料 中看到下述發展方向：「若選定某些特定的編號，而只有在按下這些編號的燈泡開關時，才會改變那些號碼為該編號倍數的燈泡的亮暗狀態。那麼，最後哪些燈泡是亮的？反之，若先指定操作後的結果，那麼原先的特定編號為何？」，這的確令人好奇而讓我們躍躍欲試，希望不但能找出答案還能以此為起點而加以推廣或深入，於是就展開我們這個研究。

數學課裡，解題「大半圓中有小半圓的弧長問題」時，我們發現不必逐一計算每一個小半圓的弧長，只需計算最大半圓的弧長即可。我們從計算「圓弧長」的題目中，探討如何在一個半圓中尋找一條曲線，這條曲線是其它弧線的組合，使其長度和與該半圓的弧長相等，不包含直徑或直線部份，此曲線有何規律性，最後我們獲得3種基本的規律，且第3種規律性可適用於任意角度分圓的一般情形。

如圖(0)，當兩平面鏡M1、M2，鏡面夾角為θ(單位:度)，物體與兩鏡交點所形成的線段分別與M1、 M2的角度為θ1、θ2 (單位:度)。利用GeoGebra推導兩鏡中成像數的公式。可以寫成以下5點，其中 [ ]：高斯符號︰ 1.當180°-[180°/θ]×θ=0°，成像數= [180°/θ]×2-1， 2.當0°<180°-[180°/θ]×θ<θ1 且 0°<180°-[180°/θ]×θ<θ2， 成像數=[180°/θ]×2， 3.當 0°<180°-[180°/θ]×θ<θ1且θ2<180°-[180°/θ]×θ， 成像數=[180°/θ]×2+1， 4.當 θ1<180°-[180°/θ]×θ 且 0°<180°-[180°/θ]×θ<θ2， 成像數=[180^∘/θ]×2+1， 5.當 θ1<180°-[180°/θ]×θ 且 θ2<180°-[180°/θ]×θ， 成像數=[180°/θ]×2+2。 我們歸納出這個公式，已修正蒐集到的文獻所描述公式不足之處。 簡單說文獻上的公式︰ 若 360°/θ ∉ N ⇒ 成像數為 [360°/θ] ，其中 [ ]：高斯符號 。 這句話只陳述了部分事實，沒有說出全部事實，所以不能當公式使用。

我們使用GGB製作動態圖形觀察「九點圓」，並利用３Ｄ立體圖視功能將九點圓進而推廣至三維空間。首先，我們會先介紹何謂九點圓，並證明這些由三角形建構出的這特殊九點確實共圓。其次，我們將平面推廣至空間，同樣利用GGB的操作觀察在三維空間中九點圓形成的尤拉球，並且延伸至不同圖形尤拉球的探討；在研究過程中我們發現了【第七屆旺宏科學獎：空間中的九點圓與尤拉線】也有探討類似主題，但是我們採取不同觀點卻發現不同的結果，最後我們也用數學式證明了我們的發現，過程中我們證明四面體、八面體、十面體、十二面體中的尤拉球，並藉由觀察進一步推導出多面體與尤拉球的邊與點的關係式。

AIME2004 考題：一張長1024 單位、寬1 單位的細長紙條，將其分成1024 個單位正方形。將這紙條重複對摺。第一次對摺時，將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長512 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的兩倍。第二次對摺時，也將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長256 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的四倍。如此動作，再重複8 次。於完成最後的摺紙活動後，這張細長紙條已變成厚度為最初紙條1024 倍的單位正方形。試問在原來從左邊數起第942 個單位正方形的下面有多少個正方形？這種題目說實在真的很煩，但是到底怎麼算呢？本次的研究核心集中在折數、排序、紙條上的數值，以及許多迷人的結果及它們之間錯綜複雜的函數關係，並將嘗試進一步解開折數是5、6、7…等其他高次方與任意序數之數值。

最近在九章出版社的趣味幾何學看到了一道有趣的數學題目，使我聯想到多年以前的一部電影－「終極警探」，布魯斯威利在電影中利用可裝3公升水的容器，由已裝滿水的5公升容器中，把4公升水分出來，利用此重量而免除一場爆炸案，解決美國市中心所面臨空前絕後的災難。 \r 但如果遇到的情形如下述，又該如何解決呢？或許是我們都想當英雄吧!不過確實激起了我們高度的研究興趣與求知慾望。 \r

在現實生活中，經常有許多隱私，小從兩人之間的通訊，大到國家之間的戰爭機密，都是不能讓其他不相干的人知道的；一般資料的保密，皆是妥善保存重要資料，諸如鎖在保險箱內；即使是如此，還是有被偷的可能。因此，就需要第二道關卡：將資料保密。這時，就要藉助加密的動作了。這樣一來，即使資料被偷了，別人所得到的，也只是一堆亂碼而已。由此可見密碼學的重要。 \r 寒假中，無意接觸到「數學小魔女」這本書，於是對密碼學產生濃厚的興趣。因此決定做篇有關密碼學的專題報告。 \r 我同時對書中的文字加密運算過程（參考資料）感到很大的興趣，認為此法的難度和安全性仍可再向上提升，所以想用簡單的數學計算來讓文字保密。 \r 在許多書中，有關密碼的記載，皆是以英文加密為主。幾乎沒有以中文加密的範例或方法的記載（就目前而言，我尚未找到。）因此，想研究如何用中文來進行加密的動作，讓加密時，不必再翻成英文，進行加密。這樣一來，當對方要破解密碼時，必需先考慮到我方是用中文或英文來加密，在安全性上，自然比原先糸統高出許多。 \r

『畢氏定理』，ㄧ個在國中數學裡幾乎每日必見的定理，原稱『畢達哥拉斯定理』、簡稱『畢氏定理』，文獻中亦有人稱『勾股定理』、『商高定理』，好多好多的名稱，但卻都掩飾不了『畢氏定理』在數學上的重要性，而關於此定理的討論與延伸出去的美，真的數都數不盡，如果這時候的你已被我們吸引了，不要猶豫，跟我們一起進入『畢氏』的世界裏吧！