數學科

本研究作品主要在探討「正N邊形外接圓弧上一動點，至各頂點距離關係的定值性質」，並在利用托勒密定理和三角函數、複數極式的運算性質得證後，更進一步去探究調整某些條件後，是否依然具有定值關係，以及試著尋找在這些長度所圍成的三角形面積所展現的定值關係。

本文主要探討：由邊長為正整數的正三角形，分割成兩個較小的正整數邊長三角形時，分割前後各邊長之間的關係、一般式表示法及其適用範圍。首先利用正三角形的高找出分割後三角形的三個邊長之間的關係式；再利用比例式推演出分割前後各三角形各邊長的一般式表示法及其適用範圍。並找出有一夾角為60°的不等邊整邊三角形成立的條件，接著又發現邊長為2n , n≧3，n?N的整邊正三角形可以二分割但奇質數乘方的整邊正三角形卻無法二分割成兩個邊長皆為整數的三角形，並加以證明。

偽內切圓與偽旁切圓為與三角形的兩條邊相切，並分別與三角形的外接圓內切、外切的圓。 本研究從偽內切圓與偽旁切圓出發，因為猜測他們與內心及旁心有關聯，於是從這個角度切入。接著我們再對與其相關的Mannheim(曼海姆)定理進行推廣，進而將問題由三角形延伸至圓內接四邊形上。 在圓內接四邊形的情況時，我們探討「圓內接四邊形對角線交點」對八個切圓的極線組成的網格及其交點的性質，並以其退化結果證明偽內切圓與偽旁切圓與內心及旁心的關係。最後我們以不同的方式移動外接圓上的點，利用Geogebra動態繪圖軟體，觀察極線網格交點的軌跡，發現了其軌跡與擺線之間相當有趣的關聯。下圖即為極線網格及P點在△ABC外接圓上移動時其線網格交點的軌跡。

教室的月曆一個月一個月的抽換，代表時間流逝，對甫上國中童心未泯的我們，激起了對數學的好奇！撕下的月曆是否有特別的玩法？月曆上的數字配上新學到的一元一次方程式，激起了數個遊戲的火花。在遊戲一中，月曆上圈出任何十字型的五個數字和有何規則。遊戲二中，在月曆上隨意選出一個 4×4 的區塊，在從這個 4×4 的區塊依序選一數後便將和此數字同行同列的數字刪除，直到 4×4 的表格僅留下四個數字，尋找留下的數字總和有何規律。遊戲三中，找出一個 4×4 的區塊中，並在表格上方及左方填入 4 個數，將遊戲二的規則運用到此表格中，尋找留下的數字總和有何規律。

國中三年級的習作題中，有一個題目是說在固定一個條件之下，兩個無限縮放的同心圓面積差居然會成定值。因此我們探討在同樣的條件之下三角形是否也存在一個作圖方式使得多邊形也能有此性質。所以我們使用GGB來繪製相關圖形，經由在GGB中圖形的可變動性與可被計算性來驗證面積差，並給予每個可變動圖形的面積差證明來說明不成定值的原因。 接著因為三角形無此性質，所以我們轉往探討橢圓是否也有此性質。最後做個統整性的討論與說明。

本作品旨在研究一道塗色問題:在一個m×n的棋盤中對任意格子塗上黑色，相鄰方格(有共同邊)不同時塗色的所有方法數。過程中，我們運用二維的城堡多項式的概念來進行研究。首先，我們推出1×n、2×n 單色及1×n多色的方法數及公式。再來，我們嘗試估計m×n 單色及多色著色方法數的上界及下界。接著，我們針對它的一些性質做討論。最後，我們用程式跑出答案，並印證我們的推論。

據Guarini騎士交換難題，我們設計出156個瘋狂騎士棋盤，並以對應之節點圖形特徵決定騎士擺放位置、最多騎士對與最少交換步數規則。 一、騎士對交錯擺放有利於找到最少交換步數。 二、單一節點圖最多騎士對得到最少步數關係如下： 1.「環圖」與騎士對關係為「騎士對數量」×2+1 2.「非環圖」與騎士對關係為「騎士對數量」×3 3.當Vf=2且Vt=2，則 nPmm=3n 4.當V_f=1且V_t=2，則 nPmm=2n+1 三、臨時停駐點決定環上點數與騎士對的關係如下： (一)若點環上有臨時停駐點，則最大環點數與騎士對關係為 2n 。 (二)若點環上無臨時停駐點，則最大環點數與騎士對關係為 2n+2。 四、度序列可作為判斷同構圖的有效工具，但需參考節點圖特徵將分岔點與臨時停駐點的距離予以比對確認。

生活中隨處可見數學的美與它的影響力！學校停車場地是我們每天上下學必經的場地，原本熟悉、平凡到無奇，想不到可以從一個簡單的問題中，透過不斷的追問、觀察、發現與驗證，進而確定其中數形的變化規則，而且我們還發現這些有規律的平面圖形結構，其間的（交點數＋單元凸多邊形面數－之間相鄰的邊數）竟然都等於定值1！想不到課堂上所學的數學知識，真的非常有用，幫助我們快速又準確解決看似複雜的趣味難題。

上學期,在學校的社團活動的課程中,我選擇了「數學研習社」；而在期末,指導老師要求我們每組繳交一份研究報告,研究報告的主題是---「過定點的直線如何平分三角形面積」。針對這個主題, 我們開始蒐集資料,並利用閒暇之餘展開研究,遇有問題,就隨時請教老師；以下內容,就是我們這組的研究過程與心得。

本研究旨在探討由0與1組成長度為n的二元字串中滿足000-子字串數和111-子字串數相同（稱為平衡）之排列方法數。我們從3個面向來探討：一、首先將直接推導出之算式，輸入python計算在各種n值下，觀察平衡與非平衡字串個數之規律性；二、接著我們發現非平衡字串個數在000-子字串和111-子字串之差值為一固定形式時，不同長度之字串符合個數會形成一階差數列，我們對此猜測提出證明並嘗試利用此性質推導出二元 3 平衡n字串個數之一般式；三、最後探討二元 3 平衡 n 字串個數之成長速度，推論當 n 值極大時，其個數會以趨近2倍速成長。同時，我們也將3平衡推廣至r平衡，提出一些相關的結果。