數學科

1.過平面上一幾何圖形上的二個點，作兩平行線而能把此圖形夾住，若夾住此圖形的任二平行線其距離皆相等，則稱此圖形為「常寬圖形」。這時，此距離就稱為常寬圖形的「寬度」。2.一般常見的幾何圖形只有「圓」是常寬圖形，其餘皆非。經反覆研究，得知由正奇數多邊形所造出的正奇數拱亦為常寬圖形。3.進一步，一個多邊形所造出的多角拱是否為常寬圖形，取決於一個充要條件。4.掌握上述充要條件的精髓，我們也能造出平滑封閉曲線（沒稜角）的常寬圖形。5.任何同寬度的常寬圖形都是等周長，其周長恰等於寬度*π。6.同寬度的常寬圖形中，以圓面積為最大，正三角拱的面積為最小。7.寬度為a 的所有常寬圖形和兩平行邊的距離亦為a 的正六邊形，二者的關係頗富趣味。

人類以兩性交配為生育方法，其子代性別比的理論值為 ，本研究旨在探討當性別數n大於2時，由n性染色體組合出第k性子代染色體的方法數Gkn，再進而探討各性別所占的比例之理論值。研究方法為藉由討論性染色體組合的方式，找出和{Gkn}對應的生成函數。接著，再藉由比較{Gkn}的生成函數和第一型斯特林數(Stirling Number of the 1st kind，以下簡稱斯特林數){s(n+1,k)}的生成函數，嘗試使用斯特林數表示出的Gkn一般式。對組合數Gkn有基礎認識後，本研究同樣地再接著嘗試Gkn使用表示斯特林數。最後再將Gkn的研究結果應用至遺傳疾病色盲發病比例討論上，討論在不同性別數的生物中所呈現的關係。

本研究係用「數列命名的方法」作為骨幹，解決或簡化多方塊(polyominoes,也稱作 連方圖形)的相關問題。「數列命名的方法」 係指將多方塊的邊長連續寫成數列。為解決使用「數列命名的方法」遇到的問題，目前建立了一套系統、技巧，可將Polygon，旋轉、鏡射、合併等等，在此專門用以處理多方塊相關問題。 研究發現此方法可以解一些多方塊的問題，例如多方塊的種類、任意的多個相同的多方塊是否可以填滿(嵌滿)矩形(平面)。對於計算多方塊數量問題，可分為兩部分探討，一是多方塊的形的個數，二是單一多方塊的形其中含有多少多方塊，本研究主要探討此二部分的特性，並簡化運算結構和找出個數範圍。

AIME2004 考題：一張長1024 單位、寬1 單位的細長紙條，將其分成1024 個單位正方形。將這紙條重複對摺。第一次對摺時，將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長512 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的兩倍。第二次對摺時，也將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長256 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的四倍。如此動作，再重複8 次。於完成最後的摺紙活動後，這張細長紙條已變成厚度為最初紙條1024 倍的單位正方形。試問在原來從左邊數起第942 個單位正方形的下面有多少個正方形？這種題目說實在真的很煩，但是到底怎麼算呢？本次的研究核心集中在折數、排序、紙條上的數值，以及許多迷人的結果及它們之間錯綜複雜的函數關係，並將嘗試進一步解開折數是5、6、7…等其他高次方與任意序數之數值。

本研究探討在n×n的方格表中，置入f(n)個地雷，f(n)代表在n×n的方格表中，依掃雷方式進行後，能確保至少剩下一個地雷，所要置放地雷的最少個數。我們透過觀察、尋找關係、猜測、檢驗、證明及公式的探究過程，發現方格表邊長為奇、偶數是討論的關鍵，我們運用抽屜原理找出在n×n的方格表中，所置入地雷最少個數的公式並加以證明，結果如下： (一)若n為偶數(n=2k，k≥1)，則f(n)=3k+1。 (二)若n為奇數(n=2k+1，k≥1)，則f(n)=3k+3。 此外，我們也找到了 × 的方格表中，置放地雷的快速完成法及快速檢查法。為了更多人能了解埋雷遊戲及體驗我們的研究歷程，我們則在老師的協助下著手設計flash教學遊戲，希望能推廣埋雷遊戲及展示研究發現。

對於平面上Q個圓，我們研究了下列三個有趣的課題：(一)各圓之間相交關係的結構性並作分類。(二)各圓相互交會成另一新圖形時，如何設置使各圓上的交點數相同。(三)若(二)中的圖形存在，如何在各交點上放入數字，使每個圓上的數字和皆相等。對這三個課題的探討我們獲得一些初步的結果。

本研究肇始於作者五年級弟弟因練習奧數求連續整數三次和而發問，引發作者對四次五次和六次求和的興趣，以簡單方式找出解法，並寫程式執行並分析比較，根據運算結果，數度來回優化算式，再依據新式子修改程式，最後終於找到方法，以降冪加上S3(三次和)轉換求S6，速度甚至快於未優化的S4。 此外應用二項式定理加上Telescope Sum以程式找出四次方到一百次方求和式子的所有係數進而求出其冪次和。最後更發展遞迴程式，又快又精確沒有誤差地找出ｎ次和。 本研究還以極為簡單易懂的方法，找到(證明)白努利數及其通式！因發現機械運算太多，故決定以程式證明通式，還因此意外發現白努利數b_k通式!最後用自己早期的式子取代Telescope Sum，並寫出另外三種遞迴求極數程式！

我們想研究三宅一生服裝設計是怎麼做出來的，一開始我們先摺奇美博物館提供的摺紙範例做研究，發現此服裝設計是由數個相似圖形拼組、層疊做出來的，我們將此圖形稱為「基本圖形」，我們改變基本圖形的角度與邊長，繪製成平面圖，再將圖形剪下按照摺痕摺疊，結果發現當∠2＋∠3＝ 360°/n時，可以摺出美麗的正n邊形，控制∠1與∠2、∠3與∠4、AD¯與BC¯之間的關係，可以變化摺出飛鏢型、靠邊型、內部型、全等型四種不同的正n邊形，當∠2＋∠3 ≠360°/n時，若設定∠B =∠1 =∠2 =36°時，可以摺出等分圓周的正五角星，而只要圖形摺疊後中間有洞或剛好沒洞，基本圖形都可以往上層疊，摺出螺旋狀的美麗圖形。

本研究旨在建立拓荒者遊戲之贏棋樣式策略導向模式，由觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，獲得結果如下： 一、確立3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲的研究方向為探討贏棋樣式策略導向模式。 二、找到3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲中贏棋所需棋子數量的最小值與最大值的樣式並提出公式。 三、找到3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲中符合贏棋所需棋子數量有效區間的樣式，並證明任何樣式皆可透過空格與棋子的移動還原成標準生成樣式。 四、確立3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲贏棋樣式的標準生成樣式，並能論證可快速構成四種標準生成樣式的三個特性。 五、建立贏棋樣式策略導向模式。

1. 若有a 個城市、b 間公司，每個城市至少有n 間公司，則每個城市的公\r 司數要如何分配才能使線路有最少條數。\r 2. 令有些城市有限定的公司數m，分配方式又將如何改變。\r 3. 兩城市之公司排成兩平行直線，從任一公司出發，恆可到達另一城市之\r 任意公司，欲找出最少之連線數及交點數的方法。\r 4. 在兩城市各有固定公司數量，在最少線路及交點數的情況下，求得一畫\r 法，使得從一公司到任一公司有最少或最多的轉接次數。\r 5. 如果公司數沒有「最多轉接次數等於交點數」的情形，我們試著找出最\r 多的轉接次數。\r 6. 探討兩個城市間的線路畫法中，哪一種畫法能使線路總長度有最小值。