一、由2006 年最初的「規則」來觀察其規律。 二、推導致2006 年以外其他年份的公式。 三、歸納是否有萬年曆的法則。 \r 1、延伸是否有不同的指法。 2、發展容易記憶的公式。 四、由「萬年曆」中可以找出哪些已經學過的數學特性。 \r \r

虧格是指4個正方形排在一起少1格，虧格填滿長方形區域分成3大類：完全填滿(有一邊長為3的倍數)、劃掉1格填滿(邊長為(3t+1)×(3k+1)或(3t+2)×(3k+2)，k為正整數)及劃掉2格填滿(邊長為(3t+1)×(3k+2)，k為正整數)。 前面兩個主題都可以找到文獻，最後一個沒有。於是我們針對前兩個主題作一些歸納討論後，利用這些結論推導出劃掉2格是否能被虧格填滿的問題。過程也很緊張刺激，因為我們推導時經歷過非常困難的部分。最後，我們得到非常不錯的結果：大部分的圖形擴展到無限大區域後，不能填滿的情形數趨近於一個定值。最困難的 5×n區域最後也歸納出非常有趣的結論。

在上數學第十一冊第5 單元時，教到了有關兩個骰子各種點數組合出現機率的問題，而老師示範了另一種「撲克牌」魔術，在經過精心設計後，某一張特定的牌，就會在老師的預測中出現。為瞭解其中的奧秘，我們就請老師教會我們這個魔術，並且加以深入研究。

我們從等腰直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形切割成長方形的過程中，找出切割方式的規則；並透過切割結果，從長方形的面積公式：「長×寬」，找出三角形的面積公式是：「底×高÷2」。

一、 我可以從K值判斷完成狀態的首卡奇偶性及是否可解，也可以判斷從某種牌卡 狀態能否經過有限次移動變成另一種牌卡狀態。當牌卡狀態的K值奇偶性相同，則可經有限次移動完成變換，若奇偶性不同，則需改變首卡奇偶性才能完成。 二、 我找到三階段(偶數張牌卡)及二階段(奇數張牌卡)標準解題流程(以6張卡為例)可將任何牌卡排成完成狀態。 三、 利用號碼平移的方式，在找到一組牌卡的移動最少步數後，一併找出其他組的最少步數，簡化牌卡情形。 四、 5張卡及6張卡的操作過程可作為奇數張牌卡及偶數張牌卡的基本模型，隨著牌卡數增加，只要不斷增加首卡連號數量即可，此兩 種牌卡數之餘卡則固定為3張及4張。

在遞迴方程式x2-ky2=c中，我們分成四個階段進行研究，首先由目的一找到其系統性解法後，接著適當代入k值或者是c值，得到的方程式運用在國中數學上，依目的二到目的四分成三個部分逐一探討。 一、探討遞迴方程式x2-ky2=1與x2-ky2=c解之間的關聯性。 二、利用遞迴方程式x2-ky2=1的解，探討無理數√k的近似值。 三、利用遞迴方程式x2-2y2=-d2，探討直角三角形畢氏數的繁衍。 四、利用遞迴方程式x2-10y2=-d2，探討中線垂直三角形三邊長的繁衍。 經過研究後，發現遞迴方程式x2-ky2=c的應用性及實用性比想像中的要好太多了，不只得到的結果，還與國中課本所教的的觀念是可互相呼應，且還更為精準與具備解的完備性，其推廣範圍真的非常廣大。

我們嘗試以初等數學綜合幾何的方法,以Geogebra為輔助工具,參考台灣師大陳昭地教授最近發表在科學教育月刊的文章,運用橢圓上一點到兩焦點距離和為定長的性質,找到任意凸四邊形邊上或形內一點到四頂點距離和最大值的方法,並提出證明.

本研究旨在建立拓荒者遊戲之贏棋樣式策略導向模式，由觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，獲得結果如下： 一、確立3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲的研究方向為探討贏棋樣式策略導向模式。 二、找到3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲中贏棋所需棋子數量的最小值與最大值的樣式並提出公式。 三、找到3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲中符合贏棋所需棋子數量有效區間的樣式，並證明任何樣式皆可透過空格與棋子的移動還原成標準生成樣式。 四、確立3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲贏棋樣式的標準生成樣式，並能論證可快速構成四種標準生成樣式的三個特性。 五、建立贏棋樣式策略導向模式。

看看我們現在使用的錢幣愈來愈精美，不難想像鑄造這些硬幣的成本，現在我國發行的硬幣有５種（１元、５元、１０元、２０元、５０元），大家也都用的很習慣，但是可曾想過，若改換這些錢幣的幣值，能否讓我們在付任何金額時，所需的硬幣數量減少，如此一來不但可以讓我們民眾的錢包減重，也能讓國家節省鑄造的成本，若可以改換錢幣幣值的話。這是一個突發奇想的構念，也是一個另類的思考與想像，在老師的帶領下，我們投入其研究。本研究的前提是在不找錢的情況下探討幣值組合問題，從中也發現了直覺式組合與非直覺式組合的規律，由大小幣值間的關係，我們可以預測出此組幣值組合的模式為何，抽絲剝繭中也找出了比我們現在使用的幣值更有效益的幣值組合，而且可以有相當多種的選擇呢！其中質數幣值亦是居於一個重要的角色。在分析了國內幣值外，我們也嘗試分析國外各種幣值的使用情形，並提出可能之建議。

1.過平面上一幾何圖形上的二個點，作兩平行線而能把此圖形夾住，若夾住此圖形的任二平行線其距離皆相等，則稱此圖形為「常寬圖形」。這時，此距離就稱為常寬圖形的「寬度」。2.一般常見的幾何圖形只有「圓」是常寬圖形，其餘皆非。經反覆研究，得知由正奇數多邊形所造出的正奇數拱亦為常寬圖形。3.進一步，一個多邊形所造出的多角拱是否為常寬圖形，取決於一個充要條件。4.掌握上述充要條件的精髓，我們也能造出平滑封閉曲線（沒稜角）的常寬圖形。5.任何同寬度的常寬圖形都是等周長，其周長恰等於寬度*π。6.同寬度的常寬圖形中，以圓面積為最大，正三角拱的面積為最小。7.寬度為a 的所有常寬圖形和兩平行邊的距離亦為a 的正六邊形，二者的關係頗富趣味。