數學科

在理化課老師介紹過巴克球，體育課踢過足球，兩者外型相同，但足球好圓，我們好奇這個多面體是否接近球體。 研究方法為選定正多面體及截角多面體，從十種多面體分別計算表面積、體積與其外接球表面積、體積的比值。 研究過程中，首先我們計算組成面正多邊形面積，其中以正五邊形及正十邊形，運用黃金比及複雜的根式計算，再計算多面體表面積。接著逐一推論多面體的外接球半徑、面心距，來計算多面體體積。最後數值分析這些多面體的覆蓋率與填充率，以數據為證，來說明巴克球確實相當接近球體。 本研究附加價值在於我們完全「沒有」使用三角函數，純粹以國中階段數學基礎進行研究。

對於平面上Q個圓，我們研究了下列三個有趣的課題：(一)各圓之間相交關係的結構性並作分類。(二)各圓相互交會成另一新圖形時，如何設置使各圓上的交點數相同。(三)若(二)中的圖形存在，如何在各交點上放入數字，使每個圓上的數字和皆相等。對這三個課題的探討我們獲得一些初步的結果。

研究立體密碼鎖的解及解與解之間的關係，利用立體幾何圖形探討。

1. 若有a 個城市、b 間公司，每個城市至少有n 間公司，則每個城市的公\r 司數要如何分配才能使線路有最少條數。\r 2. 令有些城市有限定的公司數m，分配方式又將如何改變。\r 3. 兩城市之公司排成兩平行直線，從任一公司出發，恆可到達另一城市之\r 任意公司，欲找出最少之連線數及交點數的方法。\r 4. 在兩城市各有固定公司數量，在最少線路及交點數的情況下，求得一畫\r 法，使得從一公司到任一公司有最少或最多的轉接次數。\r 5. 如果公司數沒有「最多轉接次數等於交點數」的情形，我們試著找出最\r 多的轉接次數。\r 6. 探討兩個城市間的線路畫法中，哪一種畫法能使線路總長度有最小值。

本研究旨在求得螞蟻在挖洞立體圖形之頂點間爬行的最短路徑。我們從一條通道的正方體開始研究，先後探討通道位置在中央、通道位置任意偏移、通道位置在中央旋轉時的最短路徑，同時研究了圓柱中央挖圓柱通道時的最短路徑，然後進一步探討正方體兩條中央通道與三條中央通道的情形，最後研究螞蟻在門格海棉之頂點間爬行的最短路徑。

我們想研究三宅一生服裝設計是怎麼做出來的，一開始我們先摺奇美博物館提供的摺紙範例做研究，發現此服裝設計是由數個相似圖形拼組、層疊做出來的，我們將此圖形稱為「基本圖形」，我們改變基本圖形的角度與邊長，繪製成平面圖，再將圖形剪下按照摺痕摺疊，結果發現當∠2＋∠3＝ 360°/n時，可以摺出美麗的正n邊形，控制∠1與∠2、∠3與∠4、AD¯與BC¯之間的關係，可以變化摺出飛鏢型、靠邊型、內部型、全等型四種不同的正n邊形，當∠2＋∠3 ≠360°/n時，若設定∠B =∠1 =∠2 =36°時，可以摺出等分圓周的正五角星，而只要圖形摺疊後中間有洞或剛好沒洞，基本圖形都可以往上層疊，摺出螺旋狀的美麗圖形。

給定一個mxn的棋盤，若沿著棋盤格線以捷徑走法從左下角走到右上角，且該路徑須將棋盤平分成面積相等的兩區域，則所有符合上述規定的走法數稱為w(m, n)。例：圖(一)為4x8的棋盤，從A到B符合條件的走法數為w(4, 8)=33(請參見研究過程)，其中粗線路徑為某一種走法。本文利用棋盤的中心點將路徑分為兩種互斥的情況，再藉由對稱性來探討幾類簡單的情形，如：w(1, n)、w(2, n)、w(3, n)、w(4, n)、w(5, n)，從中不難發現w(m, n)的遞迴關係式，藉此對於任意給定的m, n均可計算出w(m, n)的值。接著，我們發現在某限制條件下某類變形棋盤的走法數wk(m, n)可視為w(m, n+(m-1)k)。

我們主要是探討類似 273753135313+273753135314+......+788953135312+788953135313=273753135313788953135313 這種級數和等於將首尾數寫在一起所成的數。因為首、尾數就像一對情人一樣，原本相隔遙遠，但最後終於相會在一起，所以我們把這種數稱為情人數。首先我們先利用 Dev-c++找出一些情人數，後來發現情人數有漂亮的規律，因而引起我們高度的興趣。情人數主要跟生成因子 r 有關，它是一個有理分數，有一定的範圍，可以生成每一個族群第一個情人數，我們發現會有無數個族群，利用延伸方法就可以將每個族群無限延伸。而延伸方法可分成兩種，各有不同的延伸方式，此外，我們並將情人數由公差等於 1 推到公差等於 m，於是全部的情人數都可以找到了。

本研究旨在建立拓荒者遊戲之贏棋樣式策略導向模式，由觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，獲得結果如下： 一、確立3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲的研究方向為探討贏棋樣式策略導向模式。 二、找到3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲中贏棋所需棋子數量的最小值與最大值的樣式並提出公式。 三、找到3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲中符合贏棋所需棋子數量有效區間的樣式，並證明任何樣式皆可透過空格與棋子的移動還原成標準生成樣式。 四、確立3×3、4×4、5×5……n×n拓荒者遊戲贏棋樣式的標準生成樣式，並能論證可快速構成四種標準生成樣式的三個特性。 五、建立贏棋樣式策略導向模式。

本文是應用我們在國中所學的許多幾何知識，先討論並解決：一、模糊角的分角線作圖；二、模糊角內部一點指向模糊角頂點的直線作圖。然後藉著以上兩種基本作圖，設法直接在模糊三角形上作出如一般三角形的內接或內切幾何圖形。而已知條件設定為：儘管每個模糊三角形的模糊程度不一，但是等待完成的密室並未觸及模糊地帶。由以上的說明，我們瞭解到最簡單的作圖法不一定就是有效的解決方法，也就是說，我們的研究內容必須要找出更多的基本作圖法以及更富彈性的密室作圖方法。我們集思廣益想出許多種模糊角的分角線作圖法以及模糊角內部一點指向模糊角頂點的直線作圖法。對於國中數學問題中較為常見的三角形內接(或內切)圖形，我們發現：運用相似密室的「關鍵點作圖法」是一種實作較為簡易的密室作圖法；而以關鍵密室內部為作圖根據地的「關鍵密室作圖法」是一種可以有效迴避模糊地帶的密室作圖法，若延伸以上這些作圖法的觀念並靈活運用，則會成為一種高成功率的密室作圖法。