數學科

看看我們現在使用的錢幣愈來愈精美，不難想像鑄造這些硬幣的成本，現在我國發行的硬幣有５種（１元、５元、１０元、２０元、５０元），大家也都用的很習慣，但是可曾想過，若改換這些錢幣的幣值，能否讓我們在付任何金額時，所需的硬幣數量減少，如此一來不但可以讓我們民眾的錢包減重，也能讓國家節省鑄造的成本，若可以改換錢幣幣值的話。這是一個突發奇想的構念，也是一個另類的思考與想像，在老師的帶領下，我們投入其研究。本研究的前提是在不找錢的情況下探討幣值組合問題，從中也發現了直覺式組合與非直覺式組合的規律，由大小幣值間的關係，我們可以預測出此組幣值組合的模式為何，抽絲剝繭中也找出了比我們現在使用的幣值更有效益的幣值組合，而且可以有相當多種的選擇呢！其中質數幣值亦是居於一個重要的角色。在分析了國內幣值外，我們也嘗試分析國外各種幣值的使用情形，並提出可能之建議。

欲罷不能是一款與機率性質相關的桌遊，結合骰子的進行來完成遊戲，我們藉由遊戲體驗去發現到欲罷不能的問題，並設計實驗來尋求問題的解答，一步一步發現欲罷不能的小秘密。 從研究一、二的探討中，找出原規則各式各樣的機率情形，發現到與7越有關係的機率越大，而與2或12越相近的機率越小。但也在研究三中發現雖然7的機率最高，但若加上遊戲本身設定的方格數來闖關，所有數字機率都差不多。我們也在研究四、五的部分，將遊戲做兩種延伸（加入乘除、骰子面數），增加遊戲樂趣，也調整遊戲的難易度。也在研究六時進行策略分析，依據情況擬出該前進該停手的策略。最後，運用上述研究資料，設計Scratch版的「欲罷不能」桌遊。

本研究從堆集遊戲出發，探討n顆棋子移動到終點的最少步數以及行走方法之組合。研究發現當棋子數滿足特定條件時，最少移動步數恰好等於棋子數，並有其特定的走法組合。應用此發現，進一步延伸出更多不同類型的行走組合方法，並找到符合三種不同條件之系列的棋子數，其最少移動步數以及行走方法的組合存在特定的規律，並將棋子數與行走組合公式符號化。最後我們將遊戲規則延伸至可雙向移動，發現無論任何子數，皆能達到最少行走步數，且行走組合與反向行走的子數呈現一定規律。

本作品主要在討論給定一個n邊形，在移動一個邊或是兩個邊後可形成的幾何圖形，並設法找出其一般式。在此研究中的圖形經翻轉、旋轉或撓折後相同的圖形視為同一個，在此定義此種圖形稱為─幾何算數形，簡稱「算數形」。 我們觀察圖形之規律，進而發現經定義移動邊數後的幾何圖形內部必只會出現一個封閉多邊形，以此特殊性質為基礎推導公式的形式。得知n邊形中移動1個邊後，當n為奇數情況下，算數形總數的公式為(n-3)(n+1)/4 ；n為偶數情況下，算數形總數的公式為[n(n-2)-4]/4 。在研究移動兩邊時發現規律過於繁雜，因此將其分類為3種情況來討論，分別為在封閉多邊形上有 (1) 二分支 (2) 三分支 (3) 四分支，並加以分別討論，推導出上述情形之公式。

正方形，自古以來除了給予人們正正方方的感覺之外，就是那一個再迷人不過的正方形面積了。在這個研究裡，我們也同樣的為正方形的面積而?迷，因此，我們自行觀察並探討新的方法，針對沒有乘法基礎訓練的人們提供一項新的契機來學習並認識正方形面積的奧妙之處。我們由無到有，換句話說就是由 0 到無限大的正方形面積，皆由一個簡易觀念的轉化，將正方形面積由傳統的邊長×邊長加以拯救成簡單的面積加法運算。即是：下層正方形的面積數字＝上層正方形面積數字＋上層邊長數字 (n) ＋下層邊長數字 (n＋1)而它的物理意義則是：下層正方形的面積 ＝上層正方形面積(n×n)＋上層其中一邊向外延伸一個單位面積(n×1) ＋上層另一新邊長(n＋1)向外延伸一個單位面積((n＋1)×1)期望這個研究的結果可以提供科學界藉由此正方形面積由無到有的新求法中去思考、探求異次元世界的另類觀點，同時，利用這一個原則，或許可應用在追尋各種古代偉大遺跡早已失落的建築方法，使人類在未來的生活中，可以應用此基本原理來創造出更宏偉的建築或不可思議的太空飛行器(Space craft)。

本次研究的主題為曲率，且以高中所學的函數為主。雖然大學已有曲率公式，但我們將其表示成高中生較易了解的型式，並且以f(x)的方式呈現。我們在函數曲線上取不共線三點，構成一個三角形，並求出此三角形的外接圓半徑。再將所取三點逼近，所求之半徑即為特定點的密切圓，也就是曲率半徑。而此曲率半徑的倒數，就是所求的曲率，同時我們將公式帶入高中各常見函數，以導出函數上各點曲率。

在五年級接觸了五連塊之後，我們試著找出除了「拼湊」之外的五連塊解法。我們先針對五連塊的規律進行探討，並試著將五連塊數值化後使用數字計算將答案算出來。再透過「座標數值法」進行計算時，雖然覺得計算繁瑣，但可以從數值化的結果清楚看到連塊翻和轉產生的規律。另外「情況數值法」讓我們可以將解答過程放置於電腦程式中運算。我們還發現情塊數值法的每個數字可接受數值是有規律的。最後，我們發現情況數值法不只可以用在五連塊解答的計算上還可以利用在三角形和立方體的答案計算中。

一、本研究討論在正n邊形各邊上取等弧，其交點所形成圖形的各種情形，我發現搭配3個臨界角，可將所有可能情況分成7種情形來加以討論。 二、透過第一及第二臨界角所形成的六種情形，其新圖形的數量及出現規律不會因為邊數改變而受影響，且與原圖形面積的比例關係有關係式可求得。 三、當等弧的度數大於第三臨界角時，正n邊形內部會產生(n-2)層與原圖形相似的圖形，且這(n-2)層圖形的面積與原正n邊形的面積比例關係皆可透過解三角方程式求得，其中不同層的圖形面積會有旋轉固定角度的特性。

本作品討論的多項式均在F5[X]中。本研究的目的是在討論有哪些算法可以展開真分式，並試著去討論「最優的分解」問題及「固定項數的展開」問題。

本研究源自 Sejfried 與 Shelomovskii 於2012年提出的三角形與其內切圓的 Sejfried 定理。我們構造射影模型，從高觀點將 Sejfried 定理推廣至任意圓外切四邊形，研究結果獲得原作者的肯定！本研究發現為：（1）四邊形基礎 Sejfriedian 構圖之存在唯一性；（2）四邊形的 Sejfried 定理及其直觀圖形意義；（3）四邊形基礎 Sejfriedian 構圖中的八線共點性；（4）正多邊形的 Sejfried 定理及收斂性；（5）我們進一步以交比為參數，推廣出正則四邊形的 Sejfried 二次曲線族，發現該二次曲線族的兩個焦點與內切圓圓心、對角線交點，四點恆為「調和點列」。