數學科

最近在九章出版社的趣味幾何學看到了一道有趣的數學題目，使我聯想到多年以前的一部電影－「終極警探」，布魯斯威利在電影中利用可裝3公升水的容器，由已裝滿水的5公升容器中，把4公升水分出來，利用此重量而免除一場爆炸案，解決美國市中心所面臨空前絕後的災難。 \r 但如果遇到的情形如下述，又該如何解決呢？或許是我們都想當英雄吧!不過確實激起了我們高度的研究興趣與求知慾望。 \r

人類以兩性交配為生育方法，其子代性別比的理論值為 ，本研究旨在探討當性別數n大於2時，由n性染色體組合出第k性子代染色體的方法數Gkn，再進而探討各性別所占的比例之理論值。研究方法為藉由討論性染色體組合的方式，找出和{Gkn}對應的生成函數。接著，再藉由比較{Gkn}的生成函數和第一型斯特林數(Stirling Number of the 1st kind，以下簡稱斯特林數){s(n+1,k)}的生成函數，嘗試使用斯特林數表示出的Gkn一般式。對組合數Gkn有基礎認識後，本研究同樣地再接著嘗試Gkn使用表示斯特林數。最後再將Gkn的研究結果應用至遺傳疾病色盲發病比例討論上，討論在不同性別數的生物中所呈現的關係。

本篇作品旨在探討一個正三角形公園，內有一個邊長為公園邊長1/3的小正三角形綠地，公園和綠地兩者方向相同，而且中心重合。一位民眾從公園邊上的某一點出發，每次都朝著 綠地的頂點跑「切線」，跑到公園的另一邊上某一點。然後再從這個點出發，反覆一直跑下去。觀察這樣的規則模式，最後會有什麼結果？其次，如果公園和綠地都是一般的三角形，其結果與正三角形的情況是否相同？最後，再將公園和綠地的形狀推廣為正n邊形，其結果又會是如何？

研究拋物線的切線求法，發現拋物線切線的三個有趣定理，再從拋物線的切線求法中，重新思考多項式函數與切線之間的意義，引入切點代表重根的想法，算出切線方程式、極值與反曲點，以此替代微分方法求切線。 接著由切線延伸到弦，以此發展幾個問題，如：弦交角問題、中心轉弦問題 …。進行更深入的探討，求出問題的解答。 最後焦點放在拋物線的弧長上，希望利用以上探討，與阿基米德的窮盡法，進一步的求出或推估出拋物線的弧長。

2D與3D間的轉換一直以來都是重要的科學問題，其中從平面投影建構3D模型的方法及策略是其主要的研究方向。一般而言，會使用坐標系轉換的方法，需要仰賴電腦的運算能力來完成大量的計算。我們在想是否能夠找出更有效率的策略，希望以更少操作建立3D模型。此方法將根據當前的狀況來判定最佳的下一步。我們選擇凸多面體，尤其是柱、錐體，作為研究對象，並對各種情況進行分析。此研究中探討了完全還原立體所需之條件，以及還原柱、錐體下的最佳與最差狀況，最後提出對於特定情況下的還原策略。儘管並沒有找出方法來解決所有情況，但本文中已導出一部分的結論，希望未來能夠研究更複雜情況下的還原策略。

本研究係用「數列命名的方法」作為骨幹，解決或簡化多方塊(polyominoes,也稱作 連方圖形)的相關問題。「數列命名的方法」 係指將多方塊的邊長連續寫成數列。為解決使用「數列命名的方法」遇到的問題，目前建立了一套系統、技巧，可將Polygon，旋轉、鏡射、合併等等，在此專門用以處理多方塊相關問題。 研究發現此方法可以解一些多方塊的問題，例如多方塊的種類、任意的多個相同的多方塊是否可以填滿(嵌滿)矩形(平面)。對於計算多方塊數量問題，可分為兩部分探討，一是多方塊的形的個數，二是單一多方塊的形其中含有多少多方塊，本研究主要探討此二部分的特性，並簡化運算結構和找出個數範圍。

因為南投縣是淳樸、有人情味的縣市。大多縣民都以生產農作物為主。所以農民曆是許多人必備的字典。想探討中國古代如何紀年？並解決歷史課的年份問題。希望運用所學的正負數、絕對值、倍數與因數關係及一元一次式等觀念，並試圖找出一套規則來轉換年份的方式。

本研究重新探討分酒問題，將分酒規則改為利用任意三個不同容量的容器，把最大容器裝滿酒後分成二份，並分裝在其中二個容器內，結果發現判別容器容量組合是否能分出所有可能容量酒之簡易規則，並發現兩種分酒方法的差異及部分條件下分出所有可能容量的酒所需步驟數具有之規則。另外仿照分酒問題的模式，研究利用天平與砝碼要秤取所有可能的糖量時，砝碼的重量組合須具備的條件。最後設定砝碼數與一般砝碼組合同為九個，找出秤取所有可能的糖量之較佳的砝碼組合。

AIME2004 考題：一張長1024 單位、寬1 單位的細長紙條，將其分成1024 個單位正方形。將這紙條重複對摺。第一次對摺時，將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長512 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的兩倍。第二次對摺時，也將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長256 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的四倍。如此動作，再重複8 次。於完成最後的摺紙活動後，這張細長紙條已變成厚度為最初紙條1024 倍的單位正方形。試問在原來從左邊數起第942 個單位正方形的下面有多少個正方形？這種題目說實在真的很煩，但是到底怎麼算呢？本次的研究核心集中在折數、排序、紙條上的數值，以及許多迷人的結果及它們之間錯綜複雜的函數關係，並將嘗試進一步解開折數是5、6、7…等其他高次方與任意序數之數值。

進行這個研究，是希望配合在因數與倍數當中所學習到的知識，找出一個簡單的數學規則，來了解觸摸型燈泡遊戲當中，什麼樣的燈泡最後會是亮著的。這些亮著的燈泡有什麼特性？它們的燈泡編號與因數、倍數是否有關係？如果有，那麼這之間的關係是什麼樣子？如果我們能找出這個規則，那麼相信不論燈泡有多少個，我們都是稱職的「光明之神」，能百分之百的預測出哪些燈泡最後會是亮著的！