數學科

本次研究重點於探討數字華容道玩家的共同困境、兩種解題策略適用性、數序相反對數與有無解的關係。綜合研究發現概要如下： 一、受試者無法解出每一列的最後一個數字排列。 二、四格解法適用性：3×3的數字華容道分為四個顏色的範圍，該範圍內的四格，只要使目標數字至特定位置(左半邊B、C，或右半邊C、B)，就能解。 三、六格解法適用性：在目標六格範圍內移動，使每列最後的數字滑塊與前一個數字滑塊相鄰，即有解。 四、由3×3解題與六格解法過程中，初探一對數序相反無解。 五、由2×2數字華容道題型進行奇偶關係與有無解之證明，類推3×3、4×4數字華容道題型，皆符合奇數相反對數無解，偶數對數相反有解。

此篇研究主要探討正方形可以在單位格線上，透過最少片切割，經平移或旋轉，拼組成兩個較小的正方形。我們界定這三個正方形的三個邊長要符合畢氏定理且互質，將這三個邊長設為2mn、m2-n2、m2+n2，初始將其分成A類（2mn＞m2-n2）和B類（2mn＜m2-n2），再對正方形進行階梯狀切割，切成最少片，再透過平移、旋轉，組合成兩個小正方形。本研究成功找到A類中l大=l中+1四片解的通解（以下定義為A1）及B類中也找到l大=l中+2四片解的通解（以下定義為B1）；也針對A、B類中找不到四片解的畢氏數，找出最少片解的法則。

本篇是研究在矩形棋盤上主教的攻擊情形，藉由了解主教的攻擊性質，尋找攻擊滿矩形棋盤所需的主教最小值、最大值及其配置方法，接著經由證明來驗證其正確性，並發現其研究結果可應用於車禍預測。

一、由2006 年最初的「規則」來觀察其規律。 二、推導致2006 年以外其他年份的公式。 三、歸納是否有萬年曆的法則。 \r 1、延伸是否有不同的指法。 2、發展容易記憶的公式。 四、由「萬年曆」中可以找出哪些已經學過的數學特性。 \r \r

傳統尺規作圖除了明確的作法，更必須設法證明以強化其嚴謹性；本研究除了利用尺規作圖對「過一定點將三角形面積二等分」詳加探討外，並借重動態幾何軟體 GSP，藉由實測數據作直接驗證。

臺東縣占地面積351525公頃，農產耕地面積為47681公頃，稻作是本縣重要的農產品，種植面積約占12000公頃，前三大生產稻米鄉鎮市區為：關山鎮、池上鄉與臺東市。配合本校稻米種植課程，在觀察農業從業人員操作插秧、收割機具的行走路徑後，發現插秧與收割機具的行走路徑的不盡相同，因此想探討是受到哪些因素影響。 本研究以臺東市的稻田為研究場域，透過訪問農業從業人員、實際觀察與模擬後，分析在稻田內使用收割機、插秧機的行走路徑上的關係，找出影響行走路徑的因素，依據研究結果進行討論與提出建議。

從摺紙盒遊戲中，我們發現「數學」真的是無處不在呀！從中我們找到了一些好玩的數學關係，沒想到利用一些簡單的工具：廢紙、尺、計算機、筆、量角器就能找到隱藏在這些紙盒的數學規律，利用這些規律摺出更多不同邊形的多角盒（三角盒、四角盒、五角盒、六角盒、七角盒、八角盒…等），並找出多角盒與多角盒之間的秘密；從摺紙過程中更發現如何去節省更多的紙張來摺出相同大小的多角盒；採用相同大小的一張紙摺出最大容積的紙盒。希望藉由回收紙再摺紙盒，達到物盡其用的最大功效，節省資源，為地球盡一份心力。

本文主要探討的問題是「以多種不同錢幣來支付 n 元的方法數」。研究方式多半先以觀察與考察特例為主，再思考、証明並推廣至一般的情況。主要所涉及的數學概念與技巧是數列遞迴的概念與消去法，在化簡的過程中亦常會遭預到高斯函數與相關性質。

在遞迴方程式x2-ky2=c中，我們分成四個階段進行研究，首先由目的一找到其系統性解法後，接著適當代入k值或者是c值，得到的方程式運用在國中數學上，依目的二到目的四分成三個部分逐一探討。 一、探討遞迴方程式x2-ky2=1與x2-ky2=c解之間的關聯性。 二、利用遞迴方程式x2-ky2=1的解，探討無理數√k的近似值。 三、利用遞迴方程式x2-2y2=-d2，探討直角三角形畢氏數的繁衍。 四、利用遞迴方程式x2-10y2=-d2，探討中線垂直三角形三邊長的繁衍。 經過研究後，發現遞迴方程式x2-ky2=c的應用性及實用性比想像中的要好太多了，不只得到的結果，還與國中課本所教的的觀念是可互相呼應，且還更為精準與具備解的完備性，其推廣範圍真的非常廣大。

下述問題「有100顆全暗的燈泡,編號從1到100。每個燈泡都有一個開關，按下任意 編號的燈泡開關都會同時改變那些號碼為該編號倍數的燈泡的亮暗狀態。當所有編號的燈泡開關都被按一下後，哪些燈泡是亮的?」的答案廣為人知: 「亮著的燈泡號碼為完全平方數。」 我們被此饒富趣味的問題吸引。在嘗試進行了一些延伸探索後，在一個研習營的資料 中看到下述發展方向：「若選定某些特定的編號，而只有在按下這些編號的燈泡開關時，才會改變那些號碼為該編號倍數的燈泡的亮暗狀態。那麼，最後哪些燈泡是亮的？反之，若先指定操作後的結果，那麼原先的特定編號為何？」，這的確令人好奇而讓我們躍躍欲試，希望不但能找出答案還能以此為起點而加以推廣或深入，於是就展開我們這個研究。