本研究是將平面上正n邊形與其外接圓上一動點P之間的定值問題推廣到空間中。我們藉由Geogebra繪圖軟體發現以O為圓心，作同心圓C1、C2 且半徑分別為R1、R2，並作C1的內接正n邊形，再以圓C2上一動點P為圓心作圓C3且半徑為r，再作圓C3內接正n邊形。當反向時，連接兩兩頂點的n條線段會共點。除此之外，O與P和連線的交點亦會共線，而這性質在空間中也會成立。

本研究從堆集遊戲出發，探討n顆棋子移動到終點的最少步數以及行走方法之組合。研究發現當棋子數滿足特定條件時，最少移動步數恰好等於棋子數，並有其特定的走法組合。應用此發現，進一步延伸出更多不同類型的行走組合方法，並找到符合三種不同條件之系列的棋子數，其最少移動步數以及行走方法的組合存在特定的規律，並將棋子數與行走組合公式符號化。最後我們將遊戲規則延伸至可雙向移動，發現無論任何子數，皆能達到最少行走步數，且行走組合與反向行走的子數呈現一定規律。

本研究主要探討將多塊長、寬不同的矩形拼成一塊大的正方形的情形。在圖形結構為 5 塊矩形時，我們分別討論了用等差數列、等比數列、費氏數列作為五塊矩形的長、寬的情況。在討論完圖形結構為 5 塊矩形的情形後，繼續去探討圖形結構為 1~4 塊矩形以及圖形結構為 6 塊矩形甚至是結構為 7 塊和 8 塊矩形的情形。

在n×n的平面方格內討論邊長、形狀不同的正方形個數，研究過程中將觀察到的規律歸納成一般式。

本研究旨在求得螞蟻在挖洞立體圖形之頂點間爬行的最短路徑。我們從一條通道的正方體開始研究，先後探討通道位置在中央、通道位置任意偏移、通道位置在中央旋轉時的最短路徑，同時研究了圓柱中央挖圓柱通道時的最短路徑，然後進一步探討正方體兩條中央通道與三條中央通道的情形，最後研究螞蟻在門格海棉之頂點間爬行的最短路徑。

從摺紙盒遊戲中，我們發現「數學」真的是無處不在呀！從中我們找到了一些好玩的數學關係，沒想到利用一些簡單的工具：廢紙、尺、計算機、筆、量角器就能找到隱藏在這些紙盒的數學規律，利用這些規律摺出更多不同邊形的多角盒（三角盒、四角盒、五角盒、六角盒、七角盒、八角盒…等），並找出多角盒與多角盒之間的秘密；從摺紙過程中更發現如何去節省更多的紙張來摺出相同大小的多角盒；採用相同大小的一張紙摺出最大容積的紙盒。希望藉由回收紙再摺紙盒，達到物盡其用的最大功效，節省資源，為地球盡一份心力。

選修數學第五冊曾討論到相交兩點的兩圓，如圖(1)，證得兩弦 AC、 BD互相平行，於是，我們試著改變兩圓上的點 A、B 或 C、D 的位置，觀察改變後的圖形，並一一推證 BD//AC是否仍然成立。進一步移動兩圓的位置(外切、外離、內切)，當 AB、CD 通過外切、內切時的兩圓切點或外離時兩條內(外)公切線的交點時，經觀察後，我們將逐一證得 BD//AC 以及 BD:AC 等於兩圓的半徑比。反過來求證逆命題：當兩圓外切、外離或內切時，兩圓上的兩弦 AC、BD若互相平行且兩弦的比恰等於兩圓的半徑比，則AB、CD 必將通過外切、內切時兩圓的切點或外離時兩條內(外)公切線的交點。最後，將以上結果繼續推廣：當兩圓外切或內切時，兩圓上的兩弦 AC、BD若互相平行但兩弦的比不等於兩圓的半徑比時，則AB、CD 的交點會是另作兩個外接圓的切點，且AC比BD會等於此兩外接圓的半徑比。

在一次展覽中，擁有了台灣菸酒公賣局所贈送的【彩虹六角拼圖】，引發我們對色卡的濃厚興趣，於是我們開始了一連串的研究。我們從三色卡開始著手，因為排三色卡很簡單，很快就完成了，接著我們就展開四色卡的研究。我們先定義了 A、B、C、D、E、F 六種樣式，A 和 F，B 和 D，C 和 E 互為三組搭檔。取 8 張相同的樣式加上另 1 其他的樣式，我們發現只有四個角落有解，這四個角落跟往後的研究有很大的關係。剛開始我們都很快地找出了規則；不過，取 4 張相同加上另 5 張其他樣式的情況裡，情況太多了，因此我們另尋思路。我們將九宮格看成四個田字型，中間的位置要正放，定義出右上、右下、左上、左下四個田字型，我們找出了田字無解的規則。雖未能找出有解的規則，但是我們利用整理出來的田字表格去分析，任給九張牌是否有解？最後我們發現了一個類似拉丁方陣的表格，分析出共有 47808 種不同的解答。

跳脫傳統的算法，利用新的算法來加密解密，並希望藉由費氏數的特性來提高密碼的安全性，也希望能藉此和幾何連結在一起 主要的想法是，一般數字→費氏數→密碼的圖形

正方形，自古以來除了給予人們正正方方的感覺之外，就是那一個再迷人不過的正方形面積了。在這個研究裡，我們也同樣的為正方形的面積而?迷，因此，我們自行觀察並探討新的方法，針對沒有乘法基礎訓練的人們提供一項新的契機來學習並認識正方形面積的奧妙之處。我們由無到有，換句話說就是由 0 到無限大的正方形面積，皆由一個簡易觀念的轉化，將正方形面積由傳統的邊長×邊長加以拯救成簡單的面積加法運算。即是：下層正方形的面積數字＝上層正方形面積數字＋上層邊長數字 (n) ＋下層邊長數字 (n＋1)而它的物理意義則是：下層正方形的面積 ＝上層正方形面積(n×n)＋上層其中一邊向外延伸一個單位面積(n×1) ＋上層另一新邊長(n＋1)向外延伸一個單位面積((n＋1)×1)期望這個研究的結果可以提供科學界藉由此正方形面積由無到有的新求法中去思考、探求異次元世界的另類觀點，同時，利用這一個原則，或許可應用在追尋各種古代偉大遺跡早已失落的建築方法，使人類在未來的生活中，可以應用此基本原理來創造出更宏偉的建築或不可思議的太空飛行器(Space craft)。