數學科

在現實生活中，經常有許多隱私，小從兩人之間的通訊，大到國家之間的戰爭機密，都是不能讓其他不相干的人知道的；一般資料的保密，皆是妥善保存重要資料，諸如鎖在保險箱內；即使是如此，還是有被偷的可能。因此，就需要第二道關卡：將資料保密。這時，就要藉助加密的動作了。這樣一來，即使資料被偷了，別人所得到的，也只是一堆亂碼而已。由此可見密碼學的重要。 \r 寒假中，無意接觸到「數學小魔女」這本書，於是對密碼學產生濃厚的興趣。因此決定做篇有關密碼學的專題報告。 \r 我同時對書中的文字加密運算過程（參考資料）感到很大的興趣，認為此法的難度和安全性仍可再向上提升，所以想用簡單的數學計算來讓文字保密。 \r 在許多書中，有關密碼的記載，皆是以英文加密為主。幾乎沒有以中文加密的範例或方法的記載（就目前而言，我尚未找到。）因此，想研究如何用中文來進行加密的動作，讓加密時，不必再翻成英文，進行加密。這樣一來，當對方要破解密碼時，必需先考慮到我方是用中文或英文來加密，在安全性上，自然比原先糸統高出許多。 \r

在本次的研究中，主要在探討Google面試問題。我們將題目的「快速」明確定義為平均次數最少，並用總樓層10為例推出通式，透過平均與隔層數之函數求出固定隔層數的最佳解。再透過觀察圖形表格，移動表格後建立數格圖的概念，尋找更佳結果，找出更理想的解答方法並與Google解答比較。之後，將題目的兩顆球延伸至三顆球，利用之前推導次數的概念，將二維數格圖擴增至三維立體數格圖，並找到適合所有樓層的最佳解法。

我們使用GGB製作動態圖形觀察「九點圓」，並利用３Ｄ立體圖視功能將九點圓進而推廣至三維空間。首先，我們會先介紹何謂九點圓，並證明這些由三角形建構出的這特殊九點確實共圓。其次，我們將平面推廣至空間，同樣利用GGB的操作觀察在三維空間中九點圓形成的尤拉球，並且延伸至不同圖形尤拉球的探討；在研究過程中我們發現了【第七屆旺宏科學獎：空間中的九點圓與尤拉線】也有探討類似主題，但是我們採取不同觀點卻發現不同的結果，最後我們也用數學式證明了我們的發現，過程中我們證明四面體、八面體、十面體、十二面體中的尤拉球，並藉由觀察進一步推導出多面體與尤拉球的邊與點的關係式。

本研究主要在探討三角錐的性質。我們採用了三平角的三角錐展開圖來做以下的討論。(定義∠1＋∠2＋∠3＝180° 1＋∠2＋∠3即為平角。 )∠我們首先探討三角錐之折法，並討論是否任意三角形(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)皆能折成三角錐。再者，我們更進一步的研究三角錐的相關性質，如：三角錐四個頂點所相鄰三個角之角度、三角錐的兩面角和三角錐的體積…等。本研究發現如下1.三角錐之折法：取三邊中點，延兩兩中點之連線對折，即可折成三角錐。2.並非任意三角形皆可折成三角錐，但任意銳角三角形皆可折成三角錐。3.此三角錐四個頂點各所相鄰三個角角度和皆180°。4.△ABC面積固定，當△ABC為正三角形時，所折成的三角錐其體積為最大。根據以上的發現，我們發現了三角錐的其它的特性。

象棋和國際象棋都是由正方格所組成的棋盤，而棋盤覆蓋的研究也大多以正方形為主，那是不是只有正方形才可以當成棋盤的基本圖形呢？事實上，如果只採用一種圖形，那正三角形、正方形、正六邊形都可以舖滿平面，而達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」，各蜂窩的六個側面緊連其他六個蜂窩，這是自然界中所能找到最節省空間及建材的建築設計。本篇研究主要是利用實際操作的過程中來找尋四格六邊形覆蓋平行四邊形、三角形、六邊形，再將發現的結果做歸納分析並深入探討，找出其規則。

紙條是一個日常生活都會隨處可得的東西，在這裡我們討論他們的性質，一方面是想要看看一個直線組成的圖形是否有任何的組合關係，當我們把一些數字化的資料整理過了以後，這個題目也已經有些成果了。

本研究主要在探討正n邊形包圍任意三角形時，會出現三線共點或多線共點的情形。研究中發現，其交點位置分別會受到內部任意三角形及外圍正n邊形的內角影響。另外，如果只移動內部任意三角形的其中一個頂點，可以發現其三線或多線共點之交點的軌跡為一個圓。而正n邊形包圍任意三角形的性質也可推廣至正n邊形包圍任意m邊形，且其三線或多線共點之線數與組數會隨著外圍正n邊形和內部任意m邊形邊數的增加而增加。

最近幾個月開始，桌上遊戲瘋迷全台灣，除了遊戲性外，還富含了許多教育意義，有語文相關如妙語說書人、數學相關如七吃九，甚至於自然科學類也有演化論遊戲等，非常多元。所以此研究將探詢哆寶這款反應類桌上遊戲中的數學相關規則。歸納統計後發現幾項有趣的結果： 1.若每張卡牌上的圖案不重複出現且任意兩張卡牌中的圖案恰有一個圖案相同。當固定每張卡牌的圖案個數與每種圖案出現次數一樣時，則卡牌中的圖案種類與卡牌總張數會相等。 2.歸納整理後發現卡牌總張數為(n-1)×n+1，其中n為每張卡牌的圖案個數。 3.最後突發奇想，試著製作簡單版之哆寶，驗證我們所得到的結果，並期望能利用哆寶帶入課程進行學習。

我們整理了拈的最基本問題。並對拈的變形問題「k倍拈」(有n顆子，n>1，A、B輪流拈子，A先，A首次不可全拈，之後兩人每次拈最多為對手前次拈的k倍，拈最後一子勝)，得到了完全解答，令a1=2,a2=3,…,ak=k+1，且(對於n>k，令an=an-1+am(k,n)，其中am(k,n)是a1,a2,…an-1中最小的滿足≥[an-1/k]的項，此處[x]是x的天花板函數，亦即，不小於x的最小整數)，則當開始時的全部子數為a1,a2,…an中的任何一項時，後拈者有必勝策略，否則先拈者有必勝策略。特別地，當k=2,3,4,5時，的遞迴式相當簡單。

『畢氏定理』，ㄧ個在國中數學裡幾乎每日必見的定理，原稱『畢達哥拉斯定理』、簡稱『畢氏定理』，文獻中亦有人稱『勾股定理』、『商高定理』，好多好多的名稱，但卻都掩飾不了『畢氏定理』在數學上的重要性，而關於此定理的討論與延伸出去的美，真的數都數不盡，如果這時候的你已被我們吸引了，不要猶豫，跟我們一起進入『畢氏』的世界裏吧！