數學科

「多方塊」(Polyminoes)是指一些將數個同樣單位數量之正方塊以面與面相連接而成，並扣除圖形變換（旋轉、鏡射、翻轉）下，所有形成之不同形狀的幾何平面圖形。 曾經風靡一時的「俄羅斯方塊」遊戲就是將5種四方連塊加以旋轉使其緊密堆疊，若無法形成一整列，則使空間愈來愈小，最後將塞滿整個空間而宣告Game Over；而六方連塊共有35種組合，透過「拼排和重組」，可加強對矩形圖形之認識，並對六方連塊之矩形拼圖遊戲的組合變化作等積變換初探。運用切割重組，可深入理解矩形的面積公式。

研究目的有三：（一）探討平行四邊形n切等分點的數量。（二）探討梯形n切等分點的數量。（三）探討任意凸四邊形n切等分點的數量。結果如下： （一）平行四邊形之2n切等分點共有(n+1)2個， （二）若將梯形切成n等分三角形，則令上下兩塊三角形共可切成(αi+βi) 塊，並利用梯形之性質代入後求出其n切等分點為Σ(n-αi-βi+1) 個。 （三）若將任意凸四邊形ABCD切成n等分三角形，則將頂點坐標化並分三種情形： 1. 若X點在四邊形內部時，即p+q+r+s=n，其中p, q, r, s ϵN，若交點(x1, y1)與(x2, y2)相同，則比例成立； 2. 若X點在頂點上時，即AE=CG或BF=DH，由克拉瑪公式可知，若△=△x=△y=0 ，則比例成立； 3. 若X點在邊上時，即q+s+r=n、p+q+s=n、p+q+r=n、p+r+s=n，其中p, q, r, s ϵN，由三點共線可知，若行列式為0時比例成立。

當學到在圓上畫弦時，試著玩一個遊戲：甲乙兩人分別以藍筆、紅筆，先後在圓上固定點連線段，看誰能最先連出單色三角形為勝。如果改畫四邊形、五邊形，結果又如何? 一、 在單位圓上10個點藍紅兩色連線比賽，探討以下各種情形： (一) 甲先連出一個藍色三角形，或乙先連出一個紅色三角形 (二) 甲先連出一個藍色四邊形，或乙先連出一個紅色四邊形 (三) 甲先連出三個藍色三角形，或乙先連出兩個紅色四邊形 (四) 甲先連出三個藍色四邊形，或乙先連出四個紅色三角形 (五) 甲先連出四個藍色三角形，或乙先連出三個紅色四邊形 (六) 甲先連出一個藍色五邊形，或乙先連出一個紅色五邊形 二、 探討畫n條線段能產生最多的單色N邊形之潛在線數的規律性。

此篇作品旨在探討兩動點P、Q同時由原點O出發，沿直角△OAB 的邊界運動，Q點以每秒1單位的速率順時針方向運動，P點以每秒v(≧1)單位的速率逆時針方向運動時，在P、Q兩點相遇之前，△OPQ面積的最大值為何？當面積達最大時，P、Q兩點的位置是否有特殊現象或性質。更進一步，將其推廣到一般三角形，當△OPQ面積達最大時，P、Q兩點的位置是否也有這樣的現象或性質。再者，探討在任意三角形中，以速率v為變數時，△OPQ的最大面積函數F(v)的圖形。最後，則將其推廣到正n邊形，其中n=4，5，6，8。

Huzita-Hatori公理和Morley三角形都如同黑暗中的一盞明燈，讓我們很想一見其廬山真面目！更想了解他們相會後會激盪出甚麼火花？ 我們利用描圖紙摺紙、GGB作圖，再配合推理論證，終於知道三條Huzita公理6分別三等分的角、度數、位置、以及與始邊的夾角度數；另外，更奇妙的是，我們發現兩個特別的三角形：第一，任意角的三條Huzita公理6的摺痕，會圍成三角形，而且此三角形必是完美的正三角形。第二，任意三角形各角的三條Huzita公理6的摺痕，各會圍成三角形，且此三個三角形彼此相似，他們和原三角形之間還有角度成等差和等腰的關係。 本研究實在見證隨意到完美的奇蹟，驚奇之處俯拾即是！

本研究將從七圓定理出發，試圖改變切圓個數，探討共點的存在性；更進一步推廣「六個與兩內離圓分別均外切與內切的環切圓」之雙心六圓，探討其共點、共線、共圓及共錐等性質；研究有驚人的發現「當六個環切圓轉動時，其各類對應點連線之共點必為定點，且在連心線上。」推廣至不同個數的環切圓時亦成立；當兩內離圓甚至推廣至兩外離圓或是圓與直線時，亦發現其諸線共點、諸點共線、諸點共圓、諸點共錐等性質必成立。

雙三角終結者是一種兩人對戰遊戲，兩人輪流在數個點之間連線 ，直到其中一方畫出終止圖形 、 (兩個三角形共邊)，此人即成為輸家。在進行這個遊戲時，依照不同的型態進行排列組合及歸納，發展出不同的公式，經由公式我們可以預先知道最終條數。若結果不利我方，可以利用一些應對的方法來改變最後結果，進而取得勝利。也就是說從公式的角度出發，我們不用再一條一條的試畫便能直接找到最終連線數。不只便利更能迅速算出結果，甚至有些只要用看的就能得到答案。當點數過大時，用公式算比自已畫來得準確。 除此之外我們還發現了另一種簡便的『三角形觀察法』，此種方式就不需要分成上下來討論，在畫的時候也比較容易畫線，而且可以避免終止圖形的產生。

本研究是從正多面體的點線面出發，探尋由二種或兩種以上的多邊形所組的多面立體模型。首先，認識五個正多面體的模型架構，並從正多面體的點線面個數找到了關係式，這就是有名的尤拉公式。 嘗試將正多面體經過重複性截角平切的操作，推演出一個新的多面體，進而演算建立半正多面體的推算模組。在兩次截角的過程中，共產生了21個由兩種或兩種以上的多邊形所組的多面體。其中有十一個柏拉圖截角後的新多面體與阿基米德立體很相似。 從操作中觀察討論，歸納出大截角時，因頂點相鄰有三面，故會形成一個三角形，且原來的面的形狀不變；小截角時，其原來的面邊數會增為兩倍。進而推測出簡單且容易了解的多面體模組，從而認識到各種多面體的組成形式。

本研究主題是要在一個直線(或平面、立體)陣列中，填入若干數字，找出一條路徑使所有通過的數字總和等於指定值s。我們得到下列結果： 第一部份直線列迷宮 一、路徑的一般解與唯一性。 第二部份平面陣列迷宮 一、目前對總和s 值可以判斷有無解的統計表。 第三部份立體陣列迷宮 一、一條路徑所有通過數字的個數只能是11、15、19。 二、用VLOOKUP指令將序對(a0,a2,a1)組數由40組刪減為28組。 三、計算餘數0、2、1層這三層進出的可能方法數，列出進出組合及對應圖形。 四、計算餘數0～8根這九根的進出組合。 五、將目前找到的路徑解列表，共24個。 另外，這個研究在「身分認證」是可以應用的。

由一道數學習題的啟發，讓我們聯想到由一定點與兩圖形上動點作正三角形的問題。為了方便問題的解決，不妨就定點與兩圖形的位置關係逐一討論，我們發現了過定點作正三角形的各種可能，其解包括四解、三解、二解、一解或無解。而從這一系列問題所研究出來作正三角形的方法，並利用判別「直線與圓、圓與圓」交點數的式子，正可以解決「定點落在哪些區域可作的正三角形會有多少解」的問題。