本研究探討在n×n的方格表中，8種五連方格之 fi(n)值，其中fi(n)表示要使第i種五連方格無法置入時，最少要挖去1×1方格的個數。研究結果發現： 一、除了f5(n)與f8(n)之值外，其餘fi(n)均可得到公式。（公式詳見表6-1） 二、雖然f5(n)與f8(n)之值無法得到公式，但可得到上下界。（上下界詳見表6-1）

楊氏矩陣(Young tableau)是一個每列格子數遞減的表格，要把數字依照右大於左及下大於上填入，而歪斜矩陣(Skew tableau)是楊氏矩陣的變形，是將楊氏矩陣再以另一個楊氏矩陣的形狀挖空，但每列必須相接，填入規則也是一樣。但不同的是，楊氏矩陣的排列方法數公式已被解出，但歪斜矩陣多了許多的變數所以還沒有像勾值公式(Hook fomula)的通式出來。我舉了某些特殊形狀的歪斜矩陣做討論，歸納一些共通的性質，也推導可行的通式，讓這些形狀的歪斜矩陣計算上不需要再使用窮舉，讓計算時間更加縮短。

我們延伸、拓展研究「方轉」摺紙，發現能摺出「N轉」的條件為：1.∠φ＋∠θi＝180°，2. 0<θ_i<α，∑i=1^n ai sinθi ≤2A，3.虛線要朝同一方向。我們也將實、虛線全平行的n個翼做線狀與網狀拼組，若1.翼的實、虛線共用，2.連接的實線長度夠兩個正n邊形可壓平旋轉 的空間，則能拼組「N轉」，其樣貌取決於正n邊形的形狀、大小、θi角度、連接的實線長度，我們可以依此設計製作，呈現具有規律性的數學之美應用於生活中。

對於一張非線對稱的色紙，該怎麼摺使其重疊面積為最大呢？我們研究對於任意非等腰三角形的特定折法，並嘗試找出最佳折線。文中給出過頂點折線的重疊面積最大值、三邊平行線的重疊面積最大值、三邊垂線的重疊面積最大值。在過程中我們可發現：雖然無法明確找出最佳折線，但上述的特殊折法非常接近最佳折法，因此如果能給出已知三邊長度的三角形，我們即可逼近最佳折線的重疊面積。文末對於非對稱平行四邊形亦作如上分析，並期望能夠掌握三角形、四邊形到非對稱n邊形之最佳折線，對其特殊折法做更深入的剖析。

在本研究中，我們探討n個小方塊可組成多少種一排至三排的多方塊。多方塊是一些將數個單位正方形以邊相連接而成的幾何形狀。而其中一項至今還未有人提出通式之性質、同時也為最重要的多方塊之數目，卻少人深入研究，或是以錯誤的方法求之。基於此原因，我們想探討和前人方法不同的多方塊組成求法：先由單排多方塊開始探討組合，再由組合公式、歸納法、賦值法、填補法、費氏數列等基本數學概念推導2、3排的多方塊組合。研究結果顯示多方塊組成確實可用組合及費氏數列表示，並由此方法探尋出每一排方塊的通式。我們希望不單只是探尋出通式、一般化多方塊組合數目，並由此更深入探討離散數學之概念。另外透過探討過程中，深入了解一些組合恆等式。

本研究探討在m×n的棋盤中，任意放入兩個不相鄰棋子放法之最大值。我們透過觀察、尋找關係、猜測、檢驗、證明以及公式的探究過程而得到計數公式，得到研究結論如下： 一、在不同大小的棋盤中，要尋找放入2個不相鄰棋子的放法之最大值時，發現圖形樣式法比階差法較快速，且可以由觀察圖形樣式的變化，而明顯的觀察到數量的變化。 二、在3×6~3×9、4×6~4×9、5×6~5×9、6×6~6×9的棋盤中，找到放入2個不相鄰棋子的放法之最大值，如表6-1-1、表6-1-2、表6-1-3、表6-1-4。 三、在不同大小的棋盤中，找到放入2個不相鄰棋子的放法之最大值與邊長的關係，其關係如陸-二-(一)與陸-二-(二)。 四、在m×n的棋盤中，找到任意放入兩個不相鄰棋子放法之最大值的計數公式，如表6-3-1，且加以證明。

這次研究從平常網路上使用的雲端硬碟符號開始發想，同時我們想研究莫比烏斯環但想要做和別人不一樣的東西。所以兩者結合之後就形成了我們沒看過的莫比烏斯盤。莫比烏斯盤保有某些莫比烏斯環的特性，但又可以透過「翻開」將隱藏在其中的面翻出來。而我們透過假設與觀察規律之後再進行實作，找出了很方便的莫比烏斯盤展開圖製作方法。之後我們還知道了莫比烏斯盤的結構與原理，對莫比烏斯盤有了更深入的討論與理解。

在方格紙上的方格點是否可連成正三角形是一道蠻有趣的問題;這個問題牽扯到有理數與無理數的關係,藉由兩種正三角形面積的算式,可以很清楚看出矛盾之處,並從代數中驗証幾何性質,幾何上的直觀不見得代表其正確性,更須以客觀精準的數據來輔助；除此之外，將正三角形條件放寬,以代數的基礎逐一探討其可能的情況。

本研究首先發現在n×n棋盤的所有和平排列(每行每列各放一個棋子)中，皆可找到不包含棋子的k×k正方形，同時得到n和k的關係：k的最大值為⌊√(n-1)⌋。 接著延伸這個題目，從找k×k正方形變成找(k×k-m×m)的缺角正方形。並在程式的輔助下，除了得到fa(k,m)和fb(k,m)的值，也可以知道n=fa(k,m)和fb(k,m)時放不下缺角正方形的和平排列，而基本上，報告的整體架構就分為兩個部分，證明每個(n+1)×(n+1)的和平排列都找的到，以及構造n×n的和平排列找不到(缺角)正方形。 f(k,0)=k2 fα (k,1)=k2–k fβ (k,1)=k2-1 fβ (k,k-1)=2k-1 fα (k,k/2)=k2/2

本研究主要探討平面上給定三角形ABC及一點P，所連出三個三角形PAB、PBC、PCA與ABC的外接圓半徑之關聯性。 首先，P為ABC外接圓上異於頂點之點或垂心時，三個連出的三角形的外接圓半徑與ABC的外接圓半徑相等。 接著，延長ABC的三邊分平面為七區，討論三個半徑和的最小值及此時P點的位置，並證明出： 1.非正三角形三徑和的最小值僅會發生在兩區。 2.若ABC為非正三角形的銳角或直角三角形時，在ABC的內、外部各有一點P，使得三徑和最小。 3.若ABC是以A為頂角的等腰三角形，當A114度，使得三徑和有最小值的兩個P點皆在ABC的外部。