數學科

此篇作品旨在探討兩動點P、Q同時由原點O出發，沿直角△OAB 的邊界運動，Q點以每秒1單位的速率順時針方向運動，P點以每秒v(≧1)單位的速率逆時針方向運動時，在P、Q兩點相遇之前，△OPQ面積的最大值為何？當面積達最大時，P、Q兩點的位置是否有特殊現象或性質。更進一步，將其推廣到一般三角形，當△OPQ面積達最大時，P、Q兩點的位置是否也有這樣的現象或性質。再者，探討在任意三角形中，以速率v為變數時，△OPQ的最大面積函數F(v)的圖形。最後，則將其推廣到正n邊形，其中n=4，5，6，8。

本研究第一部分從尋找牌組設計法出發，以不同的數學結構製造出牌組，再分析牌組結構中變數的關係，並寫下其關係式及特性。 第二部分進一步改變規則，研究在不同規則下牌組變數的關係及特性。 第三部份引入區組設計理論，將牌組的設計矩陣化後，可以透過定理來檢驗任一牌組是否符合哆寶規則，還能再將矩陣擴張，得到旋轉法的一般化設計法。另外也可以透過0、1之間的互換，得到新的設計方法以及適用條件。

本研究主要目的是要用快速的方法算出正三角形或特殊菱形中的菱形總數，我們參考過去科展優勝作品專輯，發現全國第五十一屆科展國中數學組有類似的內容，他們是以共頂點分層計算法找出其規律性，經觀察後發現每一層與層之間的和會形成公差為(-2)的等差數列，然後再利用等差級數求和及推導通式。我們的研究比較複雜，雖然採用了他們共頂點的算法，但我們的結果卻無法形成等差數列，因此，我們運用「拆解共頂點」的方式推導出正三角形和特殊菱形中菱形總數的通式，再進一步把圖形加上橫槓，並推出加上橫槓後的通式，但在菱形中的菱形(加橫槓)的研究中，因無法使用「拆解共頂點」的方式，所以只好尋求其他的方式來計算。

本研究探討並推廣「改頭換面」的移位遊戲 一、2n型 (一) 在原來遊戲只有二列的情況，最少的移動步數為2n+1 *n是直行數 (二) 將棋子由符號變成數字，發現各列的編號在移動後的順序不變時，最少步數為3n 二、3n型 (一) 3n向上輪換型 1. 最少步數為4n+3，順序不變則最少步數為4n+4 (二) 3n向下輪換型 1. 最少步數為4n+5，順序不變則最少步數為4n+6 (三) 3n上下列交換型 1. 最少步數為6n+1，順序不變則最少步數為7n 三、mn型 (一) mn向上輪換型 1. mn向上輪換型最少步數一般公式為2(m-1)n+2m-3 2.順序不變時一般公式為2(m-1)n+2m-2 (二) mn向下輪換型 1. mn向下輪換型最少步數一般公式為2(m-1)n+2m-1 2.順序不變時一般公式為2(m-1)n+2m (三) mn上下列交換型 mn上下列交換型在m>3時，最少步數一般公式為2(2m-3)n+2(m-3)

本研究主題是要在一個直線(或平面、立體)陣列中，填入若干數字，找出一條路徑使所有通過的數字總和等於指定值s。我們得到下列結果： 第一部份直線列迷宮 一、路徑的一般解與唯一性。 第二部份平面陣列迷宮 一、目前對總和s 值可以判斷有無解的統計表。 第三部份立體陣列迷宮 一、一條路徑所有通過數字的個數只能是11、15、19。 二、用VLOOKUP指令將序對(a0,a2,a1)組數由40組刪減為28組。 三、計算餘數0、2、1層這三層進出的可能方法數，列出進出組合及對應圖形。 四、計算餘數0～8根這九根的進出組合。 五、將目前找到的路徑解列表，共24個。 另外，這個研究在「身分認證」是可以應用的。

由一道數學習題的啟發，讓我們聯想到由一定點與兩圖形上動點作正三角形的問題。為了方便問題的解決，不妨就定點與兩圖形的位置關係逐一討論，我們發現了過定點作正三角形的各種可能，其解包括四解、三解、二解、一解或無解。而從這一系列問題所研究出來作正三角形的方法，並利用判別「直線與圓、圓與圓」交點數的式子，正可以解決「定點落在哪些區域可作的正三角形會有多少解」的問題。

雙三角終結者是一種兩人對戰遊戲，兩人輪流在數個點之間連線 ，直到其中一方畫出終止圖形 、 (兩個三角形共邊)，此人即成為輸家。在進行這個遊戲時，依照不同的型態進行排列組合及歸納，發展出不同的公式，經由公式我們可以預先知道最終條數。若結果不利我方，可以利用一些應對的方法來改變最後結果，進而取得勝利。也就是說從公式的角度出發，我們不用再一條一條的試畫便能直接找到最終連線數。不只便利更能迅速算出結果，甚至有些只要用看的就能得到答案。當點數過大時，用公式算比自已畫來得準確。 除此之外我們還發現了另一種簡便的『三角形觀察法』，此種方式就不需要分成上下來討論，在畫的時候也比較容易畫線，而且可以避免終止圖形的產生。

本研究是探討數學競賽中的題目，透過一疊卡片，先丟一張，再把下一張卡片放在最下面，反覆操做，求出剩餘牌。在過程中，我們先定義操作方式，並改變數量及丟放的順序，故本研究總共分成八個部分，分別為：丟X放一、放一丟X、丟一放Y、放Y丟一、丟X放X、放X丟X、丟X放Y、放Y丟X，反覆操作驗證，從大量數據中探討相關性質，發現算出剩餘牌共同特點：先算出有多少個間隔，再乘以丟放的張數和，減掉上一輪最後總張數與最後剩餘牌的差，最後判斷「先放」還是「先丟」，遇到「先放」時要減放的張數。

圓內接四邊形有一個幾何定理：若圓內接四邊形的兩對角線相互垂直，則連接對角線交點與一邊中點的連線垂直於對邊，稱為婆羅摩笈多定理。 本作品將圓內接四邊形推廣至圓或橢圓內接多邊形的情形，定義其多邊形中若滿足「連接兩垂直對角線交點與一邊中點的連線垂直於對邊，同時連接同一邊垂足點的連線過對邊的中點」，則稱此多邊形為婆羅摩笈多多邊形。 先由兩圓相交關係來建構婆羅摩笈多四邊形，接著從圓內接正多邊形來探討婆羅摩笈多多邊形的建構原則，推導出其邊數及共圓性質，進一步推導出圓內接多邊形的情形。最後探討橢圓內接菱形、鳶形及正方形是否存在婆羅摩笈多定理及其幾何性質，再推廣至橢圓內接多邊形的情形。

本研究是因在網站上看到的一個問題引起研究動機，我們研究1/18=1/甲 +1/乙，甲≧乙的整數解，有多少組不一樣的解答，並觀察解題過程，找出解題的規律，再經過驗證後得到1/丙=1/甲 +1/乙，甲≧乙的整數解，有多少組不一樣的解答，這類問題的簡單、完整的方法。 研究中還發現，求出來的解答組數和上面式子中丙的因數個數有關係：當丙為質數時，所能得到的不一樣的解答只有2組。