本研究從『連續的立方和等於某一個數的平方』的推導過程開始，藉由學生不同的解題方式，而發現許多奇妙的事情。學生們用其對數學的直覺採用『立方體』轉換成『平面的L型面積』來解題。而後有學生發現此題與費馬定理的關聯性，加以進行研究與討論，最後與老師們的一同努力研究，嘗試證明這百年來的難題。

第一冊習作介紹了 N2 = 1 + 2 + 3 + 4 … + N + ( N - 1 ）+ … + 3 + 2 + 1 ，老師藉由圖形面積法，幫助我們更了解其原由，引發我們繼續研究的興趣。

給定簡單圖G，令V(G)、E(G)分別為G的頂點與邊所形成的集合，|V(G)|與|E(G)|分別代表G的頂點集合與邊集合的元素個數。若u, v∈V(G)且u, v有邊相連，則將此邊記為uv∈E(G)。給定函數f：V(G)∪E(G)→{1,2,3,…,m}，其中m=|V(G)|+|E(G)|，若函數f滿足： (1)f為1-1函數； (2)對於每個邊uv∈E(G)，f(u)+f(v)+f(uv)恆為定值； 則稱函數f為圖G的一個『邏輯函數』。給定圖G，若G存在一個邏輯函數f，則稱G為一個『邏輯圖』。對於長度為n的圈Cn(n≧3)、路徑圖Pn(n≧2)與星狀圖 Sn(n≧2)，我們探討了建構邏輯函數f的策略。

本研究旨在延伸傳統的三階索瑪立方塊至四階立方塊(即其方塊數為4×4×4)，在不違背原先遊戲的精神之下，定義連方的組件並建立圖譜，透過探討組件可能的組成，意圖找尋能夠快速完成正方形造型的方式。研究過程中，透過不斷的探索、編碼、分類、整理與討論，我們分類出6種不同的成功組合類型，並找出此6種類型皆為有解。進一步分析後發現，這些解當中重複的組件，是能夠完成解法的重要關鍵。本研究不僅發現到關鍵性的組合要素，也為探尋索瑪立方塊在系統性的成功組合方法上，提供了可能且重要的基礎。

從原始的題目「正三角形和正五邊形的兩個性質」出發，發現「這兩個性質」的橋樑其實是「直角三角形內切圓定理」，換句話說，「這兩個性質」是等價的，只要性質一成立，性質二必同時成立，若考慮其它奇數邊(2n＋1)正多邊形，我們進一步發現，性質一的代數意義是cosπ/2n+1 + cos3π/2n+1 +cos5π/2n+1 +...+ cos(2n-1)π/2n+1 = 1/2(n∈N)。又cosπ/2n+1 + cos2π/2n+1 + cos3π/2n+1 + cos4π/2n+1 + cos5π/2n+1 +...+ cos(2n-1)π/2n+1 =0，因此原式等價於cos2π/2n+1 + cos4π/2n+1 + cos6π/2n+1 +...+ cos2nπ/2n+1 =-1/2(n∈N)，又因為此式為三角恆等式，所以「這兩個性質」適用於任意奇數邊正多邊形。接著考慮偶數邊(2n＋2)正多邊形，處理方法分成兩類：(1)邊數2(2k)；(2)邊數2(2k＋1)，第一類「這兩個性質」源自於「各組對邊中點連線兩側的線段會兩兩對稱相等」。第二類「這兩個性質」源自於「各對角線兩側的線段會兩兩對稱相等」。因為任意偶數邊正多邊形均具備上述特性，所以「這兩個性質」同樣適用於任意偶數邊正多邊形。

本研究即欲探討完整的餘弦定理。首先，透過在平面上利用面積關係證明餘弦定理的方式，推廣至在空間中的餘弦定理，接著猜想在N維中的餘弦定理，並利用數學軟體Geogebra進行數值檢驗。將空間中的餘弦定理結果，推廣至五種正多面體，最後考慮到在N維空間中外接正N維球體是否具有相同或類似的公式。

設Γ為一平面曲線而 P 為一定點 ， 自 P 向γ所有的切線作對稱點，則所有對稱點所成的圖形Γ1 稱為曲線Γ對定點 P 的切線對稱作圖 ， Γ1 對定點 P 的切線對稱作圖 Γ2 稱為曲線Γ對定點P的2-th 切線對稱作圖 ， Γ2對定點 P的切線對稱作圖 Γ3稱為曲線Γ對定點 P的 3-th切線對稱作圖 ，…… 。以下是本文主要的結果：結論 A：當Γ為一圓形而 P 為圓上一點時 ， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。結論 B：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為任意一點時 ， Γ的切線對稱作圖的切線 性質。結論 C：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為(0，0)時， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。英文摘要：Given a plane curve Γand a fixed point P ,the locus of the reflection of P about the tangent to the curveΓis called the reflection to tangent line of Γwith respect to P.We denote Γ1 as the reflection to tangent line of Γwith respect to P, Γ2 as the reflection to tangent line of Γ1 with respect to P , Γ3 as the reflection to tangent line of Γ2 with respect to P ,and so on , we call Γn the n-th reflection to tangent line of Γwith respect to P. If Γ is a circle, and P is a point on the circle, we got the parametric equation of the nth reflection to tangent line of Γ with respect to P. And, for any parametric plane curve Γ; we got the method to draw the tangent of the reflection to tangent line of Γ.

欲罷不能是一款與機率性質相關的桌遊，結合骰子的進行來完成遊戲，我們藉由遊戲體驗去發現到欲罷不能的問題，並設計實驗來尋求問題的解答，一步一步發現欲罷不能的小秘密。 從研究一、二的探討中，找出原規則各式各樣的機率情形，發現到與7越有關係的機率越大，而與2或12越相近的機率越小。但也在研究三中發現雖然7的機率最高，但若加上遊戲本身設定的方格數來闖關，所有數字機率都差不多。我們也在研究四、五的部分，將遊戲做兩種延伸（加入乘除、骰子面數），增加遊戲樂趣，也調整遊戲的難易度。也在研究六時進行策略分析，依據情況擬出該前進該停手的策略。最後，運用上述研究資料，設計Scratch版的「欲罷不能」桌遊。

本作品是研究手機平板遊戲WrapSlide的遊戲規則與滑動技巧，針對遊戲的動作，觀察其滑動過程與動作的結果，探討其連續滑動之動作並建立相關的數學公式，定義出旗標方格與軌跡，探討方陣與旗標軌跡的旋轉對稱性，並建構一個數學的估算方法，去計算完成遊戲中各種難度或層次所需的最多滑動次數，並將上述探討之滑動方塊的性質，擴充與應用至無限大之方陣。

本研究針對M&m 數列在未穩定前有一半的中位數是來自於兩數相加除以2，致使數列在穩定性上不易有明確的規律，在不改變數列的運算規則下，我們改以每一次加入偶數個或更多個相同數的做法，探討能否加快M&m數列的穩定速度？並利用已知的原數列數字間的差距比例來找出穩定次數及穩定值的數學規律性。當原數列為2k+1項，每一次加入N個相同數，我們得出研究結果： 若N為偶數（N2k+1 中位數與左、右兩邊數字差距和相等，則穩定次數=1，穩定值為原數列中位數。 中位數與左、右兩邊數字差距和不相等，則穩定次數=3，穩定值為數列所加入的第一組相同數字。