數學科

市面上常看到琳瑯滿目的棋類遊戲，嚮往著自己也能夠創造出一個嶄新的可行遊戲，我們決定開始行動。 新遊戲規則: 1.使用使用四種不同形狀棋子，以不同排序來進行遊戲。 2.遊戲雙方各佔棋盤上的左右或上下方，盤中佈滿6×6個正六邊形，雙方輪流下一次棋子，誰先完成連接左右或上下方，就贏得此遊戲。 3.輪到的一方無法落棋即輸。 根據我們實驗結果，新遊戲有24種不同之變化排列，我們認為任何棋子排序皆能適用四種提升勝率的法則---預留法、空洞法、雙通道法、關鍵點法，不管是先手或後手在此遊戲規則下都是「公平條件」做競爭，每回的遊戲時間不冗長，讓不懂數學概念的人也可以輕鬆上手，所以我們認為這個新遊戲的創造是成功的。

此篇研究主要探討正方形可以在單位格線上，透過最少片切割，經平移或旋轉，拼組成兩個較小的正方形。我們界定這三個正方形的三個邊長要符合畢氏定理且互質，將這三個邊長設為2mn、m2-n2、m2+n2，初始將其分成A類（2mn＞m2-n2）和B類（2mn＜m2-n2），再對正方形進行階梯狀切割，切成最少片，再透過平移、旋轉，組合成兩個小正方形。本研究成功找到A類中l大=l中+1四片解的通解（以下定義為A1）及B類中也找到l大=l中+2四片解的通解（以下定義為B1）；也針對A、B類中找不到四片解的畢氏數，找出最少片解的法則。

『多邊形每一邊所寫的數字，與頂點之間的四則運算，居然有著奇妙的關係！你相信嗎？』。我們以聯立方程式或應用參數 t 的方法解出頂點，並找出簡單的規則，進一步將它一般化到多邊形；在減法、除法運算中，我們應用了樹狀圖來分析所有解，以解決?對值的聯立方程式，並歸納出簡易且快速的方法求出答案；最後我們研究更多點和邊的排列方法的形式。

看看我們現在使用的錢幣愈來愈精美，不難想像鑄造這些硬幣的成本，現在我國發行的硬幣有５種（１元、５元、１０元、２０元、５０元），大家也都用的很習慣，但是可曾想過，若改換這些錢幣的幣值，能否讓我們在付任何金額時，所需的硬幣數量減少，如此一來不但可以讓我們民眾的錢包減重，也能讓國家節省鑄造的成本，若可以改換錢幣幣值的話。這是一個突發奇想的構念，也是一個另類的思考與想像，在老師的帶領下，我們投入其研究。本研究的前提是在不找錢的情況下探討幣值組合問題，從中也發現了直覺式組合與非直覺式組合的規律，由大小幣值間的關係，我們可以預測出此組幣值組合的模式為何，抽絲剝繭中也找出了比我們現在使用的幣值更有效益的幣值組合，而且可以有相當多種的選擇呢！其中質數幣值亦是居於一個重要的角色。在分析了國內幣值外，我們也嘗試分析國外各種幣值的使用情形，並提出可能之建議。

選修數學第五冊曾討論到相交兩點的兩圓，如圖(1)，證得兩弦 AC、 BD互相平行，於是，我們試著改變兩圓上的點 A、B 或 C、D 的位置，觀察改變後的圖形，並一一推證 BD//AC是否仍然成立。進一步移動兩圓的位置(外切、外離、內切)，當 AB、CD 通過外切、內切時的兩圓切點或外離時兩條內(外)公切線的交點時，經觀察後，我們將逐一證得 BD//AC 以及 BD:AC 等於兩圓的半徑比。反過來求證逆命題：當兩圓外切、外離或內切時，兩圓上的兩弦 AC、BD若互相平行且兩弦的比恰等於兩圓的半徑比，則AB、CD 必將通過外切、內切時兩圓的切點或外離時兩條內(外)公切線的交點。最後，將以上結果繼續推廣：當兩圓外切或內切時，兩圓上的兩弦 AC、BD若互相平行但兩弦的比不等於兩圓的半徑比時，則AB、CD 的交點會是另作兩個外接圓的切點，且AC比BD會等於此兩外接圓的半徑比。

本篇是研究在矩形棋盤上主教的攻擊情形，藉由了解主教的攻擊性質，尋找攻擊滿矩形棋盤所需的主教最小值、最大值及其配置方法，接著經由證明來驗證其正確性，並發現其研究結果可應用於車禍預測。

在遞迴方程式x2-ky2=c中，我們分成四個階段進行研究，首先由目的一找到其系統性解法後，接著適當代入k值或者是c值，得到的方程式運用在國中數學上，依目的二到目的四分成三個部分逐一探討。 一、探討遞迴方程式x2-ky2=1與x2-ky2=c解之間的關聯性。 二、利用遞迴方程式x2-ky2=1的解，探討無理數√k的近似值。 三、利用遞迴方程式x2-2y2=-d2，探討直角三角形畢氏數的繁衍。 四、利用遞迴方程式x2-10y2=-d2，探討中線垂直三角形三邊長的繁衍。 經過研究後，發現遞迴方程式x2-ky2=c的應用性及實用性比想像中的要好太多了，不只得到的結果，還與國中課本所教的的觀念是可互相呼應，且還更為精準與具備解的完備性，其推廣範圍真的非常廣大。

本次研究的主題為曲率，且以高中所學的函數為主。雖然大學已有曲率公式，但我們將其表示成高中生較易了解的型式，並且以f(x)的方式呈現。我們在函數曲線上取不共線三點，構成一個三角形，並求出此三角形的外接圓半徑。再將所取三點逼近，所求之半徑即為特定點的密切圓，也就是曲率半徑。而此曲率半徑的倒數，就是所求的曲率，同時我們將公式帶入高中各常見函數，以導出函數上各點曲率。

傳統尺規作圖除了明確的作法，更必須設法證明以強化其嚴謹性；本研究除了利用尺規作圖對「過一定點將三角形面積二等分」詳加探討外，並借重動態幾何軟體 GSP，藉由實測數據作直接驗證。

本研究從堆集遊戲出發，探討n顆棋子移動到終點的最少步數以及行走方法之組合。研究發現當棋子數滿足特定條件時，最少移動步數恰好等於棋子數，並有其特定的走法組合。應用此發現，進一步延伸出更多不同類型的行走組合方法，並找到符合三種不同條件之系列的棋子數，其最少移動步數以及行走方法的組合存在特定的規律，並將棋子數與行走組合公式符號化。最後我們將遊戲規則延伸至可雙向移動，發現無論任何子數，皆能達到最少行走步數，且行走組合與反向行走的子數呈現一定規律。