本研究主要是研究將任意一個數字的每個位數數字分別求一次方和、二次方和、三次方和、……，觀察其是否具有特殊的性質。我們得出以下的結論： 一、任意一個數字經過數次求一次方和（即數字和）的動作後，一定會得到「1」、「2」、「3」、…、「9」等9 個數的其中一個數。 二、任意一個數字經過數次求二次方和的動作後，一定會得到「1」或者落到「16→37→58→89→145→42→20→4→16」的循環中。 三、任意一個數字經過數次求三次方和的動作後，一定會得到「1」、「153」、「370」、「371」、「407」或落到「136→244→136」、「1459→991→1459」、「217→352→160→217」、「133→55→250→133」的循環中。 四、四次方和至十二次方和的上界 1.任意數字經過數次求四次方和的上界為22605。 2.任意數字經過數次求五次方和的上界為295246。 3.任意數字經過數次求六次方和的上界為3188710。 4.任意數字經過數次求七次方和的上界為33480911。 5.任意數字經過數次求八次方和的上界為344374024。 6.任意數字經過數次求九次方和的上界為3486784913。 7.任意數字經過數次求十次方和的上界為34867845034。 8.任意數字經過數次求十一次方和的上界為345191657747。 9.任意數字經過數次求十二次方和的上界為3389154441868。 五、m次方和的上界：任意數字的m次方和的上界為m×9m + bm，其中b 為介於1 至9 的整數 。

去年我們經過一連串的探索，解開了神奇驗算法驗算的謎底，原來是利用等式兩邊除以9 會有相同的餘數的原理來進行簡易驗算的！我們很好奇是否還有比9 還厲害的數字可以幫助驗算，原來不只是「9」可以用來快速驗算，其實每一個數字都可以，只是在轉化的過程有的比較方便有的複雜，而且不是所有的數都可以找到轉化的原則，就不是很方便計算。經過這些探索，我們發現「11」驗算的準確度比「9」高，能克服9 不能檢驗出對位錯誤的困難，而且轉化也很方便，所以我們建議改用11 的方式來進行「超級」神奇驗算。

在一個廣場的邊界上有許多家流動攤販(動點)，假設顧客均勻分布在廣場內，而顧客只因與攤販位置距離的遠近決定消費行為，所有攤販皆想盡一切辦法獲得最多的客源，我們討論當攤販在廣場上移動時，在哪個位置能找到其獲利之局部最大值，若每家攤販獲利皆在局部最大值的位置時，向兩旁移動獲利皆不會增加，故不會選擇移動，稱之為＂均衡＂。 本篇報告討論各種不同的形狀的廣場下均衡點位置問題，成功地做出了多邊形、圓形、橢圓形等平面圖形的均衡點結論，以及最後給出至簡單封閉凸形的解決想法，並在多邊形的情況中，成功證明出均衡點的存在性以及唯一性。

起因於一次想搭公車回家的經驗，卻問不到可以返家的路線，在一切只能依賴網路、手機等3C用品來解決問題外，似乎很難找到一條回家的公車路線。 為了有效應用大眾運輸交通工具，搭乘公車需要更好的查詢和規畫用品，因此我們嚐試製作出一張圖來了解臺中市公車連接的情形，再運用代碼的方式整理出一份表格，用來確認起點和目的地，藉由同停靠站視為等值的想法進行站間的換算，用以規畫出一條真正可以實施的公車路線。 本研究除了提供一個公車路線規畫工具外，仍有許多值得及可改善之處，因此文末除了說明應用的方式，更提出幾項改善的想法，以讓工具的應用更佳便利，符合並接近生活的情境。

我們從圓繞圓的萬花尺出發，先熟練傳統萬花尺的數學原理，並自製一些特殊的狀態，例如畫橢圓的萬花尺等。接著是圓繞橢圓，這部分要注意橢圓的周長要改以齒數對應到內圓的周長齒數。另外我們延伸出兩個主題，橢圓繞圓、橢圓繞橢圓，這兩種一定要結合我們學校的3D列印設備創作新的萬花尺模型，並進一步的推導橢圓繞圓和橢圓繞橢圓的擺線方程式，最後我們也歸納出筆插位置不同、起始點不同所畫出的圖形差異。

一、本年度高中數學參展作品不僅件數增加且品質都很整齊，應該是各高中老師鼓勵學生參加得成效，也可見到透過科展活動提昇高中生對研究數學興趣的效果。 二、往年參展的數學作品，國中學生部分一直是最弱的，今年國中學生作品的品質有顯著的提高。 三、高小數學參展作品今年呈現兩極化，且部分作品可發現指導老師過份參與的現象。 四、數學科作品對於參考資料的引用大部分都未能很恰當的引用，建議應加強此部份。

針對一般人在等公車時，常會遇到的問題：1.等很久都等不到車；2.雖然車來了，可是卻同時來兩、三班車。這樣的情況下，一方面浪費許多乘客的時間；另一方面也顯得客運公司的營運沒有效率。因此我們將公車發車的間隔時間、乘客上下車所花費的時間、前後兩班公車到達同一候車站的間隔時間、每班公車在各個候車站可能上下車的人數……等設為變數，推導出公車在路線上行進的規律式，利用Microsoft Excel 應用軟體計算出公車最可能集結的地點，進而發展出客運公司及乘客解決問題的策略。

本研究主要提出新的圓錐曲線製造方法。首先，若B0B1B2B3B4為三梯五點形，則其頂點必落在一拋物線Γ上，且B0、B1、B2、B3、B4也會落在與拋物線Γ的軸平行的五條等距平行線上，當固定其中四點而改變其中一點在平行線上的位置時，則會出現橢圓、雙曲線、二相交直線與二平行直線。第二，由一個點列l(Ak)k=14 往平面上一點B0投射，滿足→BkB0=k→B0Ak得Bk，k=1,2,3,4，依→A1A2:→A2A3:→A3A4的不同比例，{Bk}k=04會落於不同二次曲線上。第三，我們分別分類兩個線束基線夾角與線束中心在平面上的相對位置、兩個基圓上點與點的角度與圓心的相對位置，用以製造各式的二次曲線。最後，我們定義了三個線束特定的對應方式，得到六個對應點共橢圓的性質。未來，我們希望能探討更多個線束的對應結果。

光射向光滑平面會遵從反射定律，入射角等於反射角。在數學課中我們學到，圓錐曲線具有光學性質---將光從圓錐曲線的任一焦點射出，至曲線上反射，反射線或其延長線必通過另一個焦點。根據高一建立起來的邏輯觀念，我們不禁好奇，這個命題是否滿足充要條件？除了圓錐曲線外，平面上還有其他曲線具有「光學性質」嗎？推廣至空間中，具有光學性質的曲面又有哪些？再推廣至 N 維空間中，又有怎樣的結果？本文將利用極座標、球面座標及簡單的微分討論以上的疑問，發現結論非常符合我們的預期---平面上具有「光學性質」的曲線為圓錐曲線（含圓及直線），而空間中具有「光學性質」的曲面則為旋轉圓錐曲面（含平面、球面），而這個結論在 N 維空間中亦成立。

本文將斐波納契數列中可無限繁殖的兔子改成加上繁殖一定數量後，母兔會死亡的變因，這形成了新的Di數列，Di數列和盧卡斯數列一樣具有斐氏數列的核心概念，不過比起盧卡斯數列和斐氏數列的線性關係來說，Di數列和斐氏數列有著更複雜的非線性關係。本文利用作者獨創的『自走砲車，交互運算』模式建立了各Di數列和斐氏數列之間的關係式，並經由各Di數列及Ci修正值數列間的比較，找到一個相較起來較為精簡的公式，利用這精簡的公式可迅速的從F(巨大項)的值算出F(兩倍巨大項)的值，遠遠縮短了從前計算F(兩倍巨大項)之值的時間。註：Di表示一隻兔子繁殖i次後死亡。Ci表示各Di與F之交互運算式之修正值。