本文先證明任意n邊形從平面上一定點對各邊連續外翻n次後，所得最後n邊形和原n邊形必相似，但不一定有相似中心。假設那個定點又恰好是兩者的相似中心，本文稱此點為一個自守點。若外翻n次後要保持成為相似中心，則同側分角和需為(n-2)×90°。在一般△中，文中用尺規作圖找出22個自守點，透過這22點可大約勾勒出此△的自守點軌跡。緊接著利用相似中心的特性求出軌跡方程式，並畫出軌跡。n邊形的自守點曲線有n條，對稱軸必為其中一條。 在正n邊多邊形上，本文利用對應邊長比值函數式畫出邊長比值曲線，並求出最大比值倍數，文中發現n≥4的正多邊形都在中心點產生最大比值，但△例外，它是在外部且比值最大為3倍。

由EdouArd LuCAs 提出的「河內塔問題」:一平面上豎著A、B、C 三根木樁，其中的木樁A 由上而下套著由小而大的N 個相異的圓盤，如下圖： 假設我們想要將這幾個圓環由木樁A\r 搬到木樁C，而且搬動過程受到以下三項限制：一、一次只能搬動一個圓環。二、每次搬動都須由某根木樁搬到另一根木樁，圓環不能被暫時放到其他地方。三、對任何木樁上的任意兩個相疊的圓環而言，上面的圓環一定要比下面的圓環小。藉由這個基本的模型問題來推論出不同的變形問題，所以在下面的本文中介紹了四種推廣類型，而在推廣討論四的部分，由於時間的匆促，我們並沒有做出完整的推論，這是比較遺憾的部分，也希望藉此能引發更多的人對其餘不同的變形問題能做更深入的探討。

本研究根據「騎士巡邏」的數學問題做出延伸，主要探討在連方塊 (polyomino) 棋盤上 擺放黑白各兩顆棋子，以西洋棋中的騎士走法，進行位置互換，並透過圖論工具，分析移動騎士的一般策略。在後續研究裡，進一步推廣原先探討的問題，例如考慮其他形狀的自由連方塊，並嘗試歸納出由連方塊所引出路徑圖的連通性。最後我們將原來問題化縮為圖同構問題 (graph isomorphism problem)。

本研究從「三角形的面積是其旁心三角形面積與內切圓切點三角形面積的等比中項」出發，我們發現圓外切多邊形如果也有外接圓時(雙心多邊形)，會有相對應的結果。其中的關鍵因素是雙心多邊形的旁心多邊形和內切圓切點多邊形會相似。設雙心n(n≥3)邊形為A1A2A3⋯An，其旁心n邊形為B1B2B3⋯Bn，內切圓切點n邊形為C1C2C3⋯Cn，則A1A2A3⋯An 面積=√(B1B2B3⋯Bn 面積×C1C2C3⋯Cn面積)。也就是說，這三個多邊形的面積會形成一個等比數列，等比中項正好是雙心多邊形的面積，且此等比數列的公比為(sin⁡((A1+A3)/2))/(sin A1/2 sin A3/2 sinA2 )。 此外，雙心n(n≥3)邊形的外心O正好是內切圓切點n邊形的外心O1和旁心n邊形的外心O2的中點。且任意三角形的外接圓正好是其旁心三角形的九點圓，而其它雙心n(n≥4)邊形也有相對應的結果，其外接圓正好是其旁心n邊形的2n點圓。

此篇研究主要探討正方形可以在單位格線上，透過最少片切割，經平移或旋轉，拼組成兩個較小的正方形。我們界定這三個正方形的三個邊長要符合畢氏定理且互質，將這三個邊長設為2mn、m2-n2、m2+n2，初始將其分成A類（2mn＞m2-n2）和B類（2mn＜m2-n2），再對正方形進行階梯狀切割，切成最少片，再透過平移、旋轉，組合成兩個小正方形。本研究成功找到A類中l大=l中+1四片解的通解（以下定義為A1）及B類中也找到l大=l中+2四片解的通解（以下定義為B1）；也針對A、B類中找不到四片解的畢氏數，找出最少片解的法則。

人類以兩性交配為生育方法，其子代性別比的理論值為 ，本研究旨在探討當性別數n大於2時，由n性染色體組合出第k性子代染色體的方法數Gkn，再進而探討各性別所占的比例之理論值。研究方法為藉由討論性染色體組合的方式，找出和{Gkn}對應的生成函數。接著，再藉由比較{Gkn}的生成函數和第一型斯特林數(Stirling Number of the 1st kind，以下簡稱斯特林數){s(n+1,k)}的生成函數，嘗試使用斯特林數表示出的Gkn一般式。對組合數Gkn有基礎認識後，本研究同樣地再接著嘗試Gkn使用表示斯特林數。最後再將Gkn的研究結果應用至遺傳疾病色盲發病比例討論上，討論在不同性別數的生物中所呈現的關係。

從魔方陣的變形，引伸到正魔多邊形的研究，由原先採用試誤的方法，看出解答的非唯一性，以及經由旋轉、翻轉在解答上的重複性；希望能在解決問題以前先有部分的預測，於是分析這些可能解答的性質，以及找出解答的一種方法，也請老師幫忙就這一部分做些證明，而部分的努力也使我們在使用電腦處理時獲得一些益處。在分析、使用電腦協助解決問題以後，我們也不再滿足於原來設定的問題，試著分析出可能的解答個數，那是多到無法想像的；我們也增減每邊的數目，看如何尋找解答；一些資料也指出，每邊三個數字也能構成正魔多邊形，於是每邊三個數字正魔多邊形的尋找，也變成我們研究的方向，因為這和我們原來的問題有很大的相似性，於是把以前的基礎應用在這裡。我們的研究是一個開始，也是一些方向，希望以後有更多人的努力……。

題目:美國的特種部隊，必須在伊拉克橫越一片完全沒有食物及水的沙漠，到沙漠的另一頭進行機密任務，橫越沙漠要花五天。一個人只能帶足夠三天的乾糧及水，可以多人幫忙進行，請問至少要多少人，才能使一個人橫越沙漠完成任務？ 如果橫越沙漠要花六天，至少要多少人，才能完成任務？註1：不能有人餓肚子或餓死。註2：乾糧和水可以放在沙漠等需要的人取用，不會變壞。結論得到兩個數字關係（一）增加的人數順序1、3、9、27 2＝1＋1 5＝2＋3 14＝5＋9 41＝14＋27（七天任務人數）122＝41＋81（八天任務人數）（二）N 天人數＝3 倍N－1 天人數－1 2＝3×1－1 5＝3×2－1 14＝3×5－1 41＝3×14－1（七天任務人數） 122＝3×41－1（八天任務人數） （三）依次類推，我們得到任務完成的數字關係式。

本篇是研究在矩形棋盤上主教的攻擊情形，藉由了解主教的攻擊性質，尋找攻擊滿矩形棋盤所需的主教最小值、最大值及其配置方法，接著經由證明來驗證其正確性，並發現其研究結果可應用於車禍預測。

本研究主要在探討農曆在經過幾年要置閏，是否有一定的規律，過程是收集近百年的數據，整理後加以觀察，找出其規律。再研究天文方面的置閏規則，找出較好的置閏法，最後將兩者做比較統整。在生活上則引入探討幾年後農曆的生日會和國曆的生日在同一天的問題。