數學科

欲罷不能是一款與機率性質相關的桌遊，結合骰子的進行來完成遊戲，我們藉由遊戲體驗去發現到欲罷不能的問題，並設計實驗來尋求問題的解答，一步一步發現欲罷不能的小秘密。 從研究一、二的探討中，找出原規則各式各樣的機率情形，發現到與7越有關係的機率越大，而與2或12越相近的機率越小。但也在研究三中發現雖然7的機率最高，但若加上遊戲本身設定的方格數來闖關，所有數字機率都差不多。我們也在研究四、五的部分，將遊戲做兩種延伸（加入乘除、骰子面數），增加遊戲樂趣，也調整遊戲的難易度。也在研究六時進行策略分析，依據情況擬出該前進該停手的策略。最後，運用上述研究資料，設計Scratch版的「欲罷不能」桌遊。

初看題目：「任給一個五邊形，標定五個邊的中點後，擦掉這個五邊形，請利用這五個中點，畫出原來的五邊形」，令人有無從下手的感覺。只好從三角形開始研究，想不到研究四邊形時，就發現有「無解」與「無限多解」的兩種情形。這時，反而提昇我們對這個題目的興趣，促使我們更進一步想要了解它的究竟。五邊形的研究所花的時間最長，當發現到可以結合三角形與四邊形的作圖方法，來解決五邊形的問題時，才有了突破性的進展。一直研究到八邊形後，一般性的結論自然就呈現了。上述的研究發展都是利用尺規作圖來完成，當多邊形的邊數愈多時，痛苦指數也愈增高，因為作圖誤差會隨著邊數增多而累加，在七邊形以上時，就快樂不起來了。雖然有正確的理論，實際操作上卻不容易掌握其精確性。何況把這些「中點」改成「分點」時，研究就觸礁了。經過老師指點，尺規作圖不容易精確，何不想辦法改用電腦來繪圖。可是要請電腦工作，自己得先把運算的公式找到，電腦才幫得上忙。我們先定義平面上兩點坐標的運算規則，推導出給定各邊「中點」求作n 邊形的公式後，也一併驗證了尺規作圖理論的正確性。接著企圖把「中點」改成「分點」時，公式推導就比較困難了，這需要十足的「細心」+「耐心」來計算導出，完成給定各邊「分點」求作n 邊形的公式後，「中點」公式就只是其中一個特殊情形罷了。電腦繪圖程式設計完成後，使我們對這項研究有更清楚的認識。當多邊形無限多解時，可藉著移動所求多邊形的「頂點」來觀察圖形的凹凸如何變動。當多邊形有唯一解時，也可藉著移動「分點」的位置，來觀察所求多邊形的圖形如何變化。甚至於多邊形無解時，也可請電腦計算，來改變分點位置，使多邊形有解。以上所述，我們都做到了。

本次研究重點於探討數字華容道玩家的共同困境、兩種解題策略適用性、數序相反對數與有無解的關係。綜合研究發現概要如下： 一、受試者無法解出每一列的最後一個數字排列。 二、四格解法適用性：3×3的數字華容道分為四個顏色的範圍，該範圍內的四格，只要使目標數字至特定位置(左半邊B、C，或右半邊C、B)，就能解。 三、六格解法適用性：在目標六格範圍內移動，使每列最後的數字滑塊與前一個數字滑塊相鄰，即有解。 四、由3×3解題與六格解法過程中，初探一對數序相反無解。 五、由2×2數字華容道題型進行奇偶關係與有無解之證明，類推3×3、4×4數字華容道題型，皆符合奇數相反對數無解，偶數對數相反有解。

本研究主要探討將多塊長、寬不同的矩形拼成一塊大的正方形的情形。在圖形結構為 5 塊矩形時，我們分別討論了用等差數列、等比數列、費氏數列作為五塊矩形的長、寬的情況。在討論完圖形結構為 5 塊矩形的情形後，繼續去探討圖形結構為 1~4 塊矩形以及圖形結構為 6 塊矩形甚至是結構為 7 塊和 8 塊矩形的情形。

本研究是將平面上正n邊形與其外接圓上一動點P之間的定值問題推廣到空間中。我們藉由Geogebra繪圖軟體發現以O為圓心，作同心圓C1、C2 且半徑分別為R1、R2，並作C1的內接正n邊形，再以圓C2上一動點P為圓心作圓C3且半徑為r，再作圓C3內接正n邊形。當反向時，連接兩兩頂點的n條線段會共點。除此之外，O與P和連線的交點亦會共線，而這性質在空間中也會成立。

一、階梯算法 更改庫恩植物栽培法的限制，使方程式的根形如走階梯般向上攀升，且不下降。 二、牛頓算法的限制 1. 牛頓算法一次只能算一個根，算出多項方程式f(z)=0的一個根ζ以後，用(x-ζ)除原來的多項式，得到一個階數降１的多項式，再用牛頓算法求這個新的多項式根，這樣一次一次降階，可以把全部的根算出來。 2.牛頓算法有時很難控制，且計算是否成功，是沒有保證的。要使牛頓算法成功，重要的是找到一個足夠好的迭代出發點z0。 三、比較各個求解方法，結合牛頓算法與階梯算法 階梯算法的優點是保證成功，牛頓算法的長處是進入快速收斂區後收斂極快；將兩種算法的長處結合起來：先使用階梯算法把迅速收斂區域的位置確定，再改用牛頓算法迅速向方程式的根靠近。

一、 我可以從K值判斷完成狀態的首卡奇偶性及是否可解，也可以判斷從某種牌卡 狀態能否經過有限次移動變成另一種牌卡狀態。當牌卡狀態的K值奇偶性相同，則可經有限次移動完成變換，若奇偶性不同，則需改變首卡奇偶性才能完成。 二、 我找到三階段(偶數張牌卡)及二階段(奇數張牌卡)標準解題流程(以6張卡為例)可將任何牌卡排成完成狀態。 三、 利用號碼平移的方式，在找到一組牌卡的移動最少步數後，一併找出其他組的最少步數，簡化牌卡情形。 四、 5張卡及6張卡的操作過程可作為奇數張牌卡及偶數張牌卡的基本模型，隨著牌卡數增加，只要不斷增加首卡連號數量即可，此兩 種牌卡數之餘卡則固定為3張及4張。

本文先證明任意n邊形從平面上一定點對各邊連續外翻n次後，所得最後n邊形和原n邊形必相似，但不一定有相似中心。假設那個定點又恰好是兩者的相似中心，本文稱此點為一個自守點。若外翻n次後要保持成為相似中心，則同側分角和需為(n-2)×90°。在一般△中，文中用尺規作圖找出22個自守點，透過這22點可大約勾勒出此△的自守點軌跡。緊接著利用相似中心的特性求出軌跡方程式，並畫出軌跡。n邊形的自守點曲線有n條，對稱軸必為其中一條。 在正n邊多邊形上，本文利用對應邊長比值函數式畫出邊長比值曲線，並求出最大比值倍數，文中發現n≥4的正多邊形都在中心點產生最大比值，但△例外，它是在外部且比值最大為3倍。

老師所介紹的「三面視圖」引起了我們極大的興趣，因此決定更深入的研究。經過這次科展後，我們能以國中現階段的解題的方法，角度計算，像「彈道」等實際應用題目，皆可迎刃而解，實是一大收穫。

一、由2006 年最初的「規則」來觀察其規律。 二、推導致2006 年以外其他年份的公式。 三、歸納是否有萬年曆的法則。 \r 1、延伸是否有不同的指法。 2、發展容易記憶的公式。 四、由「萬年曆」中可以找出哪些已經學過的數學特性。 \r \r