數學科

本研究即欲探討完整的餘弦定理。首先，透過在平面上利用面積關係證明餘弦定理的方式，推廣至在空間中的餘弦定理，接著猜想在N維中的餘弦定理，並利用數學軟體Geogebra進行數值檢驗。將空間中的餘弦定理結果，推廣至五種正多面體，最後考慮到在N維空間中外接正N維球體是否具有相同或類似的公式。

光射向光滑平面會遵從反射定律，入射角等於反射角。在數學課中我們學到，圓錐曲線具有光學性質---將光從圓錐曲線的任一焦點射出，至曲線上反射，反射線或其延長線必通過另一個焦點。根據高一建立起來的邏輯觀念，我們不禁好奇，這個命題是否滿足充要條件？除了圓錐曲線外，平面上還有其他曲線具有「光學性質」嗎？推廣至空間中，具有光學性質的曲面又有哪些？再推廣至 N 維空間中，又有怎樣的結果？本文將利用極座標、球面座標及簡單的微分討論以上的疑問，發現結論非常符合我們的預期---平面上具有「光學性質」的曲線為圓錐曲線（含圓及直線），而空間中具有「光學性質」的曲面則為旋轉圓錐曲面（含平面、球面），而這個結論在 N 維空間中亦成立。

在此次的科展中，利用了高中所學的知識，來進行有關推銷員路徑問題之探討。透過所學的基本原理[2][3][4]，來找出解決推銷員路徑問題，並提出一套可供電腦演算的路徑規劃演算法，並結合計概程式設計概念，實際開發一套程式作驗證。研究結果：\r 一. 理論分析：\r 引用高中數學所學的原理，並利用高二學的數學概念，來量測最短相對路徑，再配\r 合定義出的維度遞減矩陣運算方式，及數學上常用的歐幾里德距離量測方法，來推\r 算並分析路徑問題，最後找出其關係式以進行電腦模擬演算。\r 二. 演算法內容：參考內文第13 頁\r 三. 經模擬後我們發現所提的方法可以順利解決推銷員問題（TSP），且透過電腦運算可\r 以更快速地算出「路徑組合」，免去辛苦的人力規劃配對運算。\r 貳、

從1到5的連續正整數中，我們需要至少兩列才能做到任兩數之和不在同一列，分別是1、3、5與2、4；如果題目改成從1到8的連續正整數也要至少兩列，分別是1、2、4、8與3、5、6、7為任兩數之和不在同一列(Bezuszka & Kenney [7], 1983)。因此我們定義如下：在n橫列m直行中，第1直行放入1到n的連續正整數，第2直行放入(n+1)到2n的連續正整數，第3直行放入(2n+1)到3n的連續正整數，依此類推到第m直行放入(nm-n+1)到nm的連續正整數，但任兩個數字之和不在同一橫列，這樣的排列組合是否有技巧可以造的出來呢？ 先從2列3行算到3列5行，再用數學的觀念研究n列任意兩行加法規律，然後使用等差數列的技巧逐步完成6列14行，最後用4列做例子完整呈現造法技巧。

本研究主要在探討農曆在經過幾年要置閏，是否有一定的規律，過程是收集近百年的數據，整理後加以觀察，找出其規律。再研究天文方面的置閏規則，找出較好的置閏法，最後將兩者做比較統整。在生活上則引入探討幾年後農曆的生日會和國曆的生日在同一天的問題。

我們在數學課本中看到一個題目，是有關在階梯上貼磁磚的等差級數問題，因為同學問了一個問題，我們開始討論長方形左上內折的方塊有幾個？之後延伸到左上與右下皆可內折的方塊有幾個，驚人的是結果竟然與卡特蘭數(Catalan number)相同，非常神奇！而後我們開始利用左上與右下皆內折的方塊來進行拼合，竟發現在同一條件下的方塊可以拼成正方形以及其他一些結果，這樣的神秘連結，讓我們強烈體會到數學帶來的樂趣。

本研究主要是研究將任意一個數字的每個位數數字分別求一次方和、二次方和、三次方和、……，觀察其是否具有特殊的性質。我們得出以下的結論： 一、任意一個數字經過數次求一次方和（即數字和）的動作後，一定會得到「1」、「2」、「3」、…、「9」等9 個數的其中一個數。 二、任意一個數字經過數次求二次方和的動作後，一定會得到「1」或者落到「16→37→58→89→145→42→20→4→16」的循環中。 三、任意一個數字經過數次求三次方和的動作後，一定會得到「1」、「153」、「370」、「371」、「407」或落到「136→244→136」、「1459→991→1459」、「217→352→160→217」、「133→55→250→133」的循環中。 四、四次方和至十二次方和的上界 1.任意數字經過數次求四次方和的上界為22605。 2.任意數字經過數次求五次方和的上界為295246。 3.任意數字經過數次求六次方和的上界為3188710。 4.任意數字經過數次求七次方和的上界為33480911。 5.任意數字經過數次求八次方和的上界為344374024。 6.任意數字經過數次求九次方和的上界為3486784913。 7.任意數字經過數次求十次方和的上界為34867845034。 8.任意數字經過數次求十一次方和的上界為345191657747。 9.任意數字經過數次求十二次方和的上界為3389154441868。 五、m次方和的上界：任意數字的m次方和的上界為m×9m + bm，其中b 為介於1 至9 的整數 。

本研究考慮的主要問題： 若非常數之連續函數f滿足∀m∈N,∃P(x)∈C[x] s.t.f(mx)=P(f(x))，其形式應為何？ (一)、若考慮函數範圍為解析函數，則f(x)的形式必為下列三者之一： (1).axn+b (2).akxn +b (3).acos⁡(kxn)+b，其中a,b,k∈C、n∈N (二)、若將考慮函數範圍改為：連續函數f:[0,∞)→C，則f(x)之形式必為下列三者之一： (1).axk+b (2).akxn +b (3). acos⁡(kxn)+b，其中a,b,k∈C、n∈N

在上數學第十一冊第5 單元時，教到了有關兩個骰子各種點數組合出現機率的問題，而老師示範了另一種「撲克牌」魔術，在經過精心設計後，某一張特定的牌，就會在老師的預測中出現。為瞭解其中的奧秘，我們就請老師教會我們這個魔術，並且加以深入研究。

去年我們經過一連串的探索，解開了神奇驗算法驗算的謎底，原來是利用等式兩邊除以9 會有相同的餘數的原理來進行簡易驗算的！我們很好奇是否還有比9 還厲害的數字可以幫助驗算，原來不只是「9」可以用來快速驗算，其實每一個數字都可以，只是在轉化的過程有的比較方便有的複雜，而且不是所有的數都可以找到轉化的原則，就不是很方便計算。經過這些探索，我們發現「11」驗算的準確度比「9」高，能克服9 不能檢驗出對位錯誤的困難，而且轉化也很方便，所以我們建議改用11 的方式來進行「超級」神奇驗算。