數學科

上課中曾聽過老師舉了一個有趣的題目：「將二位數28的二個位數中，由大到小排列與由小到大排列的差，得一新數。新數的二個位數中，由大到小排列與由小到大排列的差，會再得一新數，??以此類推，可得到一個數列，且最後一定落在一組循環數或“終結”於某一數中。」好奇妙哦！此點論述，引起我們幾位莫大的好奇，因此我們就利用閒暇之餘,著手探討二位數最後會落在於何處呢？而三位數、四位數、??、至p位數又如何呢？

我們從圓繞圓的萬花尺出發，先熟練傳統萬花尺的數學原理，並自製一些特殊的狀態，例如畫橢圓的萬花尺等。接著是圓繞橢圓，這部分要注意橢圓的周長要改以齒數對應到內圓的周長齒數。另外我們延伸出兩個主題，橢圓繞圓、橢圓繞橢圓，這兩種一定要結合我們學校的3D列印設備創作新的萬花尺模型，並進一步的推導橢圓繞圓和橢圓繞橢圓的擺線方程式，最後我們也歸納出筆插位置不同、起始點不同所畫出的圖形差異。

針對一般人在等公車時，常會遇到的問題：1.等很久都等不到車；2.雖然車來了，可是卻同時來兩、三班車。這樣的情況下，一方面浪費許多乘客的時間；另一方面也顯得客運公司的營運沒有效率。因此我們將公車發車的間隔時間、乘客上下車所花費的時間、前後兩班公車到達同一候車站的間隔時間、每班公車在各個候車站可能上下車的人數……等設為變數，推導出公車在路線上行進的規律式，利用Microsoft Excel 應用軟體計算出公車最可能集結的地點，進而發展出客運公司及乘客解決問題的策略。

本科展起源於2014年亞太數奧初試的題目，是關於在一個給定的方陣（正方形）中填入長條，求最後所剩的空格（稱之為虧格）。本作品主要討論平面上任一方陣填入長條是否會出現虧格，和其虧格位置的問題。當中我們先從一個想法切入解出原題目，但發現還有美中不足之處（預測出來的虧格未必實際可行），進而去探討方陣邊長和長條之間的關係。接著透過寫程式找到一個極為重要的猜想，最後在原本的想法上有了突破，因而順利解釋所謂美中不足之處。之後順便將長條延伸到小長方形，並給出一般化的公式。

(一)對於M×N平方單位的長方形，以1×2或2×1的長方形填入並拼滿，所具有的組合方法數。 (二)討論對於以拼滿L，M，N為三邊長且三組對邊平行且各組對邊相等的六邊形的所有組合方法數。

本研究針對M&m 數列在未穩定前有一半的中位數是來自於兩數相加除以2，致使數列在穩定性上不易有明確的規律，在不改變數列的運算規則下，我們改以每一次加入偶數個或更多個相同數的做法，探討能否加快M&m數列的穩定速度？並利用已知的原數列數字間的差距比例來找出穩定次數及穩定值的數學規律性。當原數列為2k+1項，每一次加入N個相同數，我們得出研究結果： 若N為偶數（N2k+1 中位數與左、右兩邊數字差距和相等，則穩定次數=1，穩定值為原數列中位數。 中位數與左、右兩邊數字差距和不相等，則穩定次數=3，穩定值為數列所加入的第一組相同數字。

本科展目的在於研究一個點對多邊形各邊做對稱點，並將對稱點依對稱順序依序連起來所構成的多邊形有向面積，並探討其等面積線的圖形形狀。經研究發現對於多邊形僅可能出現圓形，直線及平面等三種情形。最後，我們想要找出構造等面積線為直線的方法，並得到一種可行的構造多邊形方法。

我們在數學課本中看到一個題目，是有關在階梯上貼磁磚的等差級數問題，因為同學問了一個問題，我們開始討論長方形左上內折的方塊有幾個？之後延伸到左上與右下皆可內折的方塊有幾個，驚人的是結果竟然與卡特蘭數(Catalan number)相同，非常神奇！而後我們開始利用左上與右下皆內折的方塊來進行拼合，竟發現在同一條件下的方塊可以拼成正方形以及其他一些結果，這樣的神秘連結，讓我們強烈體會到數學帶來的樂趣。

Torus，一種益智拼圖難題。希求：其所有的拼法及構型樣式→進而設計新的拼圖難題 簡介Torus 這款遊戲： 基本拼塊 (可由報告封面看出)： 每塊正方形積木，沿對角線區分成4 個區域後，這4 個區域中，放置3 種不一樣的高度，而每種高度皆至少出現一次。因此有9 種可能的積木。但由於，積木形狀過於複雜，因此為了簡化它，我們將最低處設1，中位置用2，最高處用3，讓它成為一個平面的正方形拼塊。 拼法：以這9 種相異拼塊，同數字相接，拼成3 x 3 正方形。 (可旋轉不能翻轉)

起因於一次想搭公車回家的經驗，卻問不到可以返家的路線，在一切只能依賴網路、手機等3C用品來解決問題外，似乎很難找到一條回家的公車路線。 為了有效應用大眾運輸交通工具，搭乘公車需要更好的查詢和規畫用品，因此我們嚐試製作出一張圖來了解臺中市公車連接的情形，再運用代碼的方式整理出一份表格，用來確認起點和目的地，藉由同停靠站視為等值的想法進行站間的換算，用以規畫出一條真正可以實施的公車路線。 本研究除了提供一個公車路線規畫工具外，仍有許多值得及可改善之處，因此文末除了說明應用的方式，更提出幾項改善的想法，以讓工具的應用更佳便利，符合並接近生活的情境。