數學科

一、本年度高中數學參展作品不僅件數增加且品質都很整齊，應該是各高中老師鼓勵學生參加得成效，也可見到透過科展活動提昇高中生對研究數學興趣的效果。 二、往年參展的數學作品，國中學生部分一直是最弱的，今年國中學生作品的品質有顯著的提高。 三、高小數學參展作品今年呈現兩極化，且部分作品可發現指導老師過份參與的現象。 四、數學科作品對於參考資料的引用大部分都未能很恰當的引用，建議應加強此部份。

在一次的數學專題中，老師提出了以下的題目：「有一隻若干人的軍隊，在戰敗中決定集體自殺，此軍隊圍成一圓圈依序從1號開始自盡，接著跳過2號由3號自殺?一直到全部的人都死光為止。此時，若有一人欲獨活，則他應位於何處？」在老師的深入淺出的講解之下，我們很容易用數學歸納法尋求並證明出其結果。但我在參加去年的全國網路數學競試時，發現有一題目竟與此題目相似，不同處是前兩人自盡，跳過下一人?依序下去。這便引起了我的極大的興趣，便想了解其中條件的變化對其結果有什麼關聯性，便深入的探討此題目。

在接觸了Qwirkle之後，我們開始研究如何列舉出形色九連塊。我們發現不管是科展歷屆作品或是網路上的論文資料，大部分都夠過圖文操作來窮舉所有多連塊組合，而且也沒有人將多連塊加上Qwirkle的規則限制，因此開始了這次的研究。研究過程中，我們發現形狀背圖和顏色背圖的列舉是找出形色九連塊所有組合的關鍵。透過背圖和外接長方形的利用，我們發展了3種方法來列舉所有的組合。最後，我們找出了所有形色九連塊並統整了可連接數字與不可連接數字的變化。

設Γ為一平面曲線而 P 為一定點 ， 自 P 向γ所有的切線作對稱點，則所有對稱點所成的圖形Γ1 稱為曲線Γ對定點 P 的切線對稱作圖 ， Γ1 對定點 P 的切線對稱作圖 Γ2 稱為曲線Γ對定點P的2-th 切線對稱作圖 ， Γ2對定點 P的切線對稱作圖 Γ3稱為曲線Γ對定點 P的 3-th切線對稱作圖 ，…… 。以下是本文主要的結果：結論 A：當Γ為一圓形而 P 為圓上一點時 ， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。結論 B：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為任意一點時 ， Γ的切線對稱作圖的切線 性質。結論 C：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為(0，0)時， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。英文摘要：Given a plane curve Γand a fixed point P ,the locus of the reflection of P about the tangent to the curveΓis called the reflection to tangent line of Γwith respect to P.We denote Γ1 as the reflection to tangent line of Γwith respect to P, Γ2 as the reflection to tangent line of Γ1 with respect to P , Γ3 as the reflection to tangent line of Γ2 with respect to P ,and so on , we call Γn the n-th reflection to tangent line of Γwith respect to P. If Γ is a circle, and P is a point on the circle, we got the parametric equation of the nth reflection to tangent line of Γ with respect to P. And, for any parametric plane curve Γ; we got the method to draw the tangent of the reflection to tangent line of Γ.

Torus，一種益智拼圖難題。希求：其所有的拼法及構型樣式→進而設計新的拼圖難題 簡介Torus 這款遊戲： 基本拼塊 (可由報告封面看出)： 每塊正方形積木，沿對角線區分成4 個區域後，這4 個區域中，放置3 種不一樣的高度，而每種高度皆至少出現一次。因此有9 種可能的積木。但由於，積木形狀過於複雜，因此為了簡化它，我們將最低處設1，中位置用2，最高處用3，讓它成為一個平面的正方形拼塊。 拼法：以這9 種相異拼塊，同數字相接，拼成3 x 3 正方形。 (可旋轉不能翻轉)

此作品研究「若有M個杯子且全部朝上，每次翻轉N個杯子，討論M、N在何種條件下，可將M個杯子翻成全部朝下，讓每個0到M之間的朝上杯數，都翻過一次且不得重複出現(即為漢米爾頓路徑Hamiltonian path)？同時探討在符合某些條件的情況下，必會有Hamiltonian path並證明之。」我們以總杯數及翻杯數的奇偶性將其分成四類，以及初始向上杯數不等於總杯數，使用我們所研發的倒金字塔式轉化成Hamiltonian path，並找出其中一組共同的規律，以這樣的方式說明這些Hamiltonian path必有解。而當Hamiltonian path共有2的次方組解(包含唯一)時，其所有Hamiltonian path都會符合首尾相加現象。我們找出其中的規律並證明其唯一性，再將這些規律運用數學邏輯並加入排列組合因素，使用Visual C#寫出程式並執行，以圖形使用者介面呈現。

下棋時，將棋一顆顆排上棋盤，這時我想：是否能用各種棋子的走法排滿棋盤。但發現：馬的走法最有趣，於是想研究排滿 m × n 的可能，並推想在立體空間是否也如此？

我們透過一個有趣的「答錯倒扣」題目，深入去分析所有可能的得分，找到其中的規律性，並改變其中的得分和扣分。接著，我們透過「基準分」和「關鍵分」，找到題目的一般性，並整理為公式，透過這個公式，我們只要輸入題數N、得分a和扣分b，就可以馬上知道總共有幾種不同的總分。最後，透過這樣的研究結果，我們還可以與猜題策略做結合。 不同總分個數=∑k=1n（N+2-k）

本研究是探討如何在座標平面上，利用直線方程式，尋求多邊形之內部封閉迴路，其迴路之線段都要平行周圍的邊，並探討其幾何性質。 我們先從三角形邊上著手,利用相似形性質推論相關結果，然後推廣至梯形,最後利用直線方程式推導任意四邊形(兩兩邊互不平行)之封閉迴路存在性與其斜率的關係。

一個多邊形經由一條直線切割可以形成兩個什麼圖形呢？這兩個圖形的組合可以有多少種呢？是否具有規律呢？經過實際切割後，以通過兩邊、通過一頂點一邊及通過兩頂點的切割方式來探討，發現當多邊形的邊數為奇數時，通過兩邊可以形成：（n－1）÷2種；通過一頂點一邊可形成：（n－3）÷2＋1種；通過兩頂點可形成：（n－3）÷2 種，因此共可切割出（3n-5）÷2種圖形組合。而邊數為偶數時，通過兩邊可以形成：n÷2種；通過一頂點一邊可形成：（n－2）÷2種；通過兩頂點可形成：（n－2）÷2 種，因此共可切割出（3n-4）÷2種。