在學幾何證明時，發現許多繁複的圖形包含不少有趣的元素，而且那種了解性質、關鍵、層遞推論的解題方式引起了我們很大的興趣。\r 在偶然機會中，我們欣賞到第24屆科展的作品，恰好當時正在學習多解篇，所以對它的圖形和解法激起許多新的想法。「可不可能有新的解法?」「其中是否含有規律?」\r 於是，我們便著手思考，以期能以更簡單的解法，更多元的應用，將我們的想法呈獻大家。

我最近和同學在玩益智遊戲時，突然發現棋盤上的格子，四個角落部是同色的，而在生活上我們經常也可以看到不同顏色的小正方形磁磚中有許多這種四個角落同色的大正方形。這樣的發現引起了我的好奇，因此展開我的研究之旅…。

簡單的說，我們是要在三角形、四邊形或凸多邊形的內部找一點P，使得P 連接到各邊上給定的點後，即可等分面積。概念如下圖： 不過由於多邊形難度較高，因此我們從三角形或四邊形開始。而邊上找的點則先由中點開始。

將N個正面朝上的硬幣，每次固定翻動M個硬幣，直到將全部硬幣翻成反面，稱為全翻位。在觀摩全國科展第四十三屆國小組優勝作品中，發現了部分公式的錯誤，我們的目的是要修正此錯誤，並簡化公式。除此之外，我們也將遊戲規則改變，延伸出環狀排列與連續數翻動兩種推廣研究。

本研究是探討如何在座標平面上，利用直線方程式，尋求多邊形之內部封閉迴路，其迴路之線段都要平行周圍的邊，並探討其幾何性質。 我們先從三角形邊上著手,利用相似形性質推論相關結果，然後推廣至梯形,最後利用直線方程式推導任意四邊形(兩兩邊互不平行)之封閉迴路存在性與其斜率的關係。

本科展目的在於研究一個點對多邊形各邊做對稱點，並將對稱點依對稱順序依序連起來所構成的多邊形有向面積，並探討其等面積線的圖形形狀。經研究發現對於多邊形僅可能出現圓形，直線及平面等三種情形。最後，我們想要找出構造等面積線為直線的方法，並得到一種可行的構造多邊形方法。

這次科展是觀察地板磁磚的拼貼方式而得到的靈感：是否存在一種方法可將磁磚封閉區域內的正方形數量算出？先簡化題目，從最小的封閉區域－對角線算起，發現對角線經過的格子數與長方形的長、寬和長、寬的最大公因數有關。再把封閉區域變大，為找出規律，將區域內的格子分紅、藍、黃三部份討論，並把這三部份格子數相加所得的算式，整理成簡潔公式。隨著封閉區域變大，我們用同樣方式觀察，推導出許多類似的公式，巧妙的是公式間也有規律，可彙整成一個完整公式。最後運用逆向思考推導出適合任何情況的T公式，讓研究結果從特殊化變為一般化，適用範圍更廣泛。將此公式帶入長方形的長寬以及封閉區域起點終點移動的距離，就能算出封閉區域的格子數。

談到畢氏定理時，大家都會想到：如果一個直角三角形的2股為a和b，斜邊為c，則這3個邊長具有a2＋b2＝c2的關係；而且，以這3個邊為邊長，所畫出來的3個正方形，斜邊上的正方形面積等於2股上的正方形面積之和。然而，不只正方形如此而已，有很多形狀的幾何圖形，也都具有這樣的性質：以直角三角形的3個邊長為其中一邊或直徑（半徑），在其斜邊和2股上所畫出來的3個相似幾何圖形，斜邊上的圖形面積也會等於2股上的圖形面積之和，就如同以直角三角形為中心，開出了千變萬化不同的花瓣一樣。

將一個正五邊形的每一個邊延長，就可以圍成一個五角星行（Ｐｅｎｔａｇｒａｍ）。如果在五角星形的十個點上，把它填入十個整數，使得一條邊上的四個數字總和等於一個定數，則符合這樣規則的圖形，我們把它稱作幻五角星形（Ｍａｇｉｃ Ｐｅｎｔａｇｒａｍｓ）或五階魔星陣（Ｏｒｄｅｒ－５ Ｍａｇｉｃ Ｓｔａｒｓ）。本研究主要在探索五階魔星陣之各種變形的規律及尋找最佳的解答，並提出新的建構方法改進趙文敏教授所提供之五階魔星陣的建構方法。

在 n 維空間中，若已知 m 個向量的坐標表示法，則可輕易地計算出這些向量兩兩之間的內積並寫成 m 階內積方陣。但反過來說，若已知一個 m 階的內積方陣，該如何建構其所對應之 m 個 n 維空間向量呢？本文將利用 m 階對稱行列式的特殊降階展開之方式，擬定其元素與若干子行列式間的恆等關係，並利用此恆等關係與內積方陣之特性，完整模擬其所對應之各向量。