數學科

n條直線最多可把平面分割成n2+n+2/2個區域，如果這些直線有平行或共點的情況，其區域數會比n2+n+2/2還少，且減少的區域數剛好為三角形數的總和。畫了許多分割的圖和推導區域數的過程，發現圖形中的「交點數」和「區域數」息息相關，所以往下探討圖形中的交點個數，得知n條直線最多有n2-n/2個交點，如果這些直線有平行或共點的情況，其交點數會比n2-n/2還少，平行直線所減少的交點數剛好為三角形數的總和，直線共點的情況，所減少的交點數為三角形數總和與共點組數的差。由於有交點數的結果，我們想解決傅立葉提出的17線問題，運用平行的結論，用電腦程式去運算可找到四組解法。徜徉在交點數、直線、區域數這趟的「點‧線‧面」之旅，沒想到竟有如此讓人驚艷的簡潔結果！

影響樂透彩券買氣的主要原因究竟為何？為了解決這個問題，我們首先假設主要影響原因為頭彩累計獎金多寡，並以大樂透（Big Lottery）為對象，根據北銀所公布的數據，挑選適當的資料，以上一期頭獎獎金的累計獎金為Ｘ軸，當期投注金額為Ｙ軸，畫出散佈圖，發覺所呈現的是曲線相關，而且很像平移後的指數函數，所以，利用最小平方法求其近似函數。另外，推導出頭獎均沒人中獎的機率公式，二獎以後的獎項也均可套用此公式，再利用此公式引申出頭獎連k 槓之機率。接著，由北銀所提供的獎金分配比例可推得頭獎預估金額，進一步推出期望值公式。最後，為了印證我們假設是否正確，我們設計了問卷，經由所回收的問卷解釋結果。

探討m對男女舞者分別穿著m種不同顏色的衣服，圍成內、外兩圈跳舞。每當他們跳完一小節後，只有內圈的舞者會以順時針方向移動一個位置來交換舞伴，如果女生排在內圈(如圖1)，那麼外圈的男生該怎麼排，才能使得排定跳舞位置及交換d次舞伴後，恰巧都有d對男女舞者穿著同顏色的衣服。我們以間隔排法探討3對、4對、5對、……、12對男女舞者跳舞時，交換舞伴的情形。最後歸納得到： (一)若(m,n)=1，則可以排出內、外圈「一對一對應」的跳舞位置。 (二)若(m,n)=1且(m,n-1)=d，則在排定跳舞位置及每交換d次舞伴後，恰好都有d對男女舞者穿著同顏色的衣服。(註：n為間隔數)

(一)對於M×N平方單位的長方形，以1×2或2×1的長方形填入並拼滿，所具有的組合方法數。 (二)討論對於以拼滿L，M，N為三邊長且三組對邊平行且各組對邊相等的六邊形的所有組合方法數。

我們從圓繞圓的萬花尺出發，先熟練傳統萬花尺的數學原理，並自製一些特殊的狀態，例如畫橢圓的萬花尺等。接著是圓繞橢圓，這部分要注意橢圓的周長要改以齒數對應到內圓的周長齒數。另外我們延伸出兩個主題，橢圓繞圓、橢圓繞橢圓，這兩種一定要結合我們學校的3D列印設備創作新的萬花尺模型，並進一步的推導橢圓繞圓和橢圓繞橢圓的擺線方程式，最後我們也歸納出筆插位置不同、起始點不同所畫出的圖形差異。

本科展目的在於研究一個點對多邊形各邊做對稱點，並將對稱點依對稱順序依序連起來所構成的多邊形有向面積，並探討其等面積線的圖形形狀。經研究發現對於多邊形僅可能出現圓形，直線及平面等三種情形。最後，我們想要找出構造等面積線為直線的方法，並得到一種可行的構造多邊形方法。

本文將斐波納契數列中可無限繁殖的兔子改成加上繁殖一定數量後，母兔會死亡的變因，這形成了新的Di數列，Di數列和盧卡斯數列一樣具有斐氏數列的核心概念，不過比起盧卡斯數列和斐氏數列的線性關係來說，Di數列和斐氏數列有著更複雜的非線性關係。本文利用作者獨創的『自走砲車，交互運算』模式建立了各Di數列和斐氏數列之間的關係式，並經由各Di數列及Ci修正值數列間的比較，找到一個相較起來較為精簡的公式，利用這精簡的公式可迅速的從F(巨大項)的值算出F(兩倍巨大項)的值，遠遠縮短了從前計算F(兩倍巨大項)之值的時間。註：Di表示一隻兔子繁殖i次後死亡。Ci表示各Di與F之交互運算式之修正值。

第一冊習作介紹了 N2 = 1 + 2 + 3 + 4 … + N + ( N - 1 ）+ … + 3 + 2 + 1 ，老師藉由圖形面積法，幫助我們更了解其原由，引發我們繼續研究的興趣。

針對一般人在等公車時，常會遇到的問題：1.等很久都等不到車；2.雖然車來了，可是卻同時來兩、三班車。這樣的情況下，一方面浪費許多乘客的時間；另一方面也顯得客運公司的營運沒有效率。因此我們將公車發車的間隔時間、乘客上下車所花費的時間、前後兩班公車到達同一候車站的間隔時間、每班公車在各個候車站可能上下車的人數……等設為變數，推導出公車在路線上行進的規律式，利用Microsoft Excel 應用軟體計算出公車最可能集結的地點，進而發展出客運公司及乘客解決問題的策略。

將N個正面朝上的硬幣，每次固定翻動M個硬幣，直到將全部硬幣翻成反面，稱為全翻位。在觀摩全國科展第四十三屆國小組優勝作品中，發現了部分公式的錯誤，我們的目的是要修正此錯誤，並簡化公式。除此之外，我們也將遊戲規則改變，延伸出環狀排列與連續數翻動兩種推廣研究。