所謂的「費馬點」是指三角形內到三頂點距離和最小的點。換言之，「費馬點」就是到平面上不共線三點距離和最小的點。因此，我們可定義，廣義的「費馬點」即是n 多邊形內到各頂點距離和最小的點，亦即到平面上不共線n 點距離和最小的點，但若平面上n 點不能恰為n 多邊形的頂點呢？這就是我們所要討論的。由於我們的靈感來自一份關於「費馬點」的科展作品，所以我們想到，當平面上n 點不能恰為n 凸多邊形的頂點，甚或其中有一部分的點共線時，將不能以n邊形的方法來探討，但我們可以將之化為m 邊形內（n-m）個點來討論。而更重要的是，我們增加了另一個限制，重複的線段將不被我們列入計算。亦即當所求點落在某一多點共線的線段上時，我們只計算該線段的總長，而不計其中重複的較短線段。根據這個原則，我們試行證明平面上三點、四點、五點及六點的可能情況，期望能從中找出足以推廣至平面上n 點的一般性。結果雖不完美，但我們總算差強人意的歸納出了下列結論：1.若n 點共線段，所求點可為所共線段上任一點。2.若（n-1）點共線段，則由該不共線點引一線與共線段垂直，其交點即為所求。3.若（n+m）個點中有m 個點為一m 多邊形的頂點，另外n 個點落在該m 多邊形內，則由兩個外頂點引直線盡可能通過最多點，該兩直線的交點即為所求。

在一個偶然的機會裡，知道了一個流傳於同學間的益智趣味數學難題。題目是「國王想為聰明漂亮的女兒，選位夫婿，他必須是全國最有智慧的人；所以國王拿出十二枚金幣，其中有一枚是假的，但不知是較輕或較重，誰能用“天平”秤三次，把那枚假的秤出來，誰就能娶得公主 … … 」我和幾位好朋友，以不服輸的精神，突破難題。在研究的過程中，我們也發現許多有關「十二枚金幣的奧妙」。

去年，我們以《女生來做數學》一書中的拓荒遊戲分析致勝的關鍵；今年，老師又教大家研究另一個題目--線條遊戲，當線條數目一樣時，會有各種的選擇方式；當線條數目不一樣，會有不同的輸贏結果。要如何從繁雜的過程中找到相同點呢?先下手為強?還是禮讓對方呢?這些疑問引起大家熱烈地討論，決定要再次攜手合作進行這項任務。

筆者將2005亞太數學奧林匹亞(APMO)試題第四題，延伸題幹情境，將「一個在邊界上之起火點」的條件推廣至「任意位置之多個起火點」，並討論單位時間內搶救數大於1、改變棋盤條件及改變火勢蔓延方式等情況的燃燒數，再推廣至空間系統。在每一種情境下，試著找出最佳的搶救方法、歸納最小燃燒數的規律並證明其皆為最佳的策略，而後發現當起火點數(f)為s個，單位時間內搶救數(d)為1時，燃燒總數b=k(n-k)+(n+1)(h+s)；d為2時，火勢被三面包圍之燃燒總數為b=k(k+s)+(4s+1-⌈k/2⌉)⌈k/2⌉+(2s-⌈k/2⌉)⌈(k+1)/2-⌈k/2⌉⌉+(s2-s)/2；而其他條件下，最佳搶救方法的燃燒規律、燃燒數皆有相關性。

這篇作品源自學校模擬考的題目，題目中所探討的是如何將正多邊形兩兩相鄰排列，圍繞在一圓上且每個正多邊形和圓恰好有一個接觸點（相切），我們除透了過排列和計算的方式找出這一題的圖形，也試著針對其他的正多邊形與圓相切，還有圓與圓相切找出彼此間的關係。並且我們發現正多邊形圍繞圓形的一般化結果：即 4/n+2/m=1 ，其中ｎ為正多邊形的邊數，m 為環繞的該正多邊形個數！！

給定正立方體，執行以下動作：（1）把正立方體平均分割為27個小正立方體；（2）把每一面的中間的小正立方體刪除掉，亦將最中心的小正立方體刪除掉；（3）把遺留下來的小正立方體都依序重複步驟（1）、（2）。重複以上步驟，若操作n回後，則將殘存形體稱為第n階的『門格海綿Menger sponge』，並記為Mn 。本文將第n階的門格海綿Mn視為由『true vertices、true edges、true faces』所組合而成的幾何形體，分析結構並建立遞迴關係式來計算出Mn中三者的數量，進一步分別運用『Total Angular Defect Formula』和『遞迴堆疊的結構關係』計算出門格海綿的虧格數。

本文透過翻書籤問題，觀察改變黑色面朝上書籤數1張及2張(含改變中間間隔白色面朝上書籤數各種類型)時，探討書籤總張數及達成翻開所需步數之間的關係，發現到初步判別方法及彼此間呈現等差數列的規律情形。

正如本研究作品名稱「道同」互相為「蒙」，本研究以三圓蒙日定理「平面上三個圓，彼此的外公切線交點共線（蒙日線），彼此的內公切線交點與另一圓圓心的連線共點（蒙日點）」以及相關共點共線為基礎，推廣至n個圓、球、多邊形與多面體等，發現只要圖形互相「位似」，均可作出代表它們的「蒙日點」、「蒙日圓」，及一般位似圖形的「蒙日形」。同時，也透過其位置與各圓半徑、圓心座標的關係，進一步發現更多共點共線及共圓的性質，其中最令人驚豔的是圓分堆的蒙日點共線性質：「平面上 n 個外離圓，任意 k 圓的蒙日點與另 n-k 圓的蒙日點，必與此 n 圓的蒙日點共線」，推廣至空間中 n 球的蒙日點依然成立，又 n 圓（球）分堆亦具有蒙日圓（球）重合性質。

研究在一三角形上，要分配P、Q、R三點分別在頂點或三邊上(不可在同一邊，在同一邊則未能達到最好分工效率)，P、Q、R三點所負責的區域為「距離最近則劃分給誰」，要如何定位才能使P、Q、R三點負責的面積一樣大。我們先依序從正三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、直角三角形以及特殊角度的順序做起。我們在交點上設幾個參數，找出重要交點作標，在計算的過程中用Mathematica找出參數解，最後再用多邊形面積公式計算區域面積找出解，並利用GSP作圖模擬。

在方格紙上的方格點是否可連成正三角形是一道蠻有趣的問題;這個問題藉由兩種正三角形面積的算式，可以很清楚看出答案是否定的，幾何上的直觀不見得代表其正確性，更須以客觀精準的數據來輔助；除此之外，我們將正三角形條件放寬，以代數的基礎逐一探討各種可能的情況。