數學科

在觀察一些幾何圖形的過程中，引發了研究的興趣，從中得到了一些領悟很想把它發表出來。

給定正立方體，執行以下動作：（1）把正立方體平均分割為27個小正立方體；（2）把每一面的中間的小正立方體刪除掉，亦將最中心的小正立方體刪除掉；（3）把遺留下來的小正立方體都依序重複步驟（1）、（2）。重複以上步驟，若操作n回後，則將殘存形體稱為第n階的『門格海綿Menger sponge』，並記為Mn 。本文將第n階的門格海綿Mn視為由『true vertices、true edges、true faces』所組合而成的幾何形體，分析結構並建立遞迴關係式來計算出Mn中三者的數量，進一步分別運用『Total Angular Defect Formula』和『遞迴堆疊的結構關係』計算出門格海綿的虧格數。

上課中曾聽過老師舉了一個有趣的題目：「將二位數28的二個位數中，由大到小排列與由小到大排列的差，得一新數。新數的二個位數中，由大到小排列與由小到大排列的差，會再得一新數，??以此類推，可得到一個數列，且最後一定落在一組循環數或“終結”於某一數中。」好奇妙哦！此點論述，引起我們幾位莫大的好奇，因此我們就利用閒暇之餘,著手探討二位數最後會落在於何處呢？而三位數、四位數、??、至p位數又如何呢？

本研究針對M&m 數列在未穩定前有一半的中位數是來自於兩數相加除以2，致使數列在穩定性上不易有明確的規律，在不改變數列的運算規則下，我們改以每一次加入偶數個或更多個相同數的做法，探討能否加快M&m數列的穩定速度？並利用已知的原數列數字間的差距比例來找出穩定次數及穩定值的數學規律性。當原數列為2k+1項，每一次加入N個相同數，我們得出研究結果： 若N為偶數（N2k+1 中位數與左、右兩邊數字差距和相等，則穩定次數=1，穩定值為原數列中位數。 中位數與左、右兩邊數字差距和不相等，則穩定次數=3，穩定值為數列所加入的第一組相同數字。

起因於一次想搭公車回家的經驗，卻問不到可以返家的路線，在一切只能依賴網路、手機等3C用品來解決問題外，似乎很難找到一條回家的公車路線。 為了有效應用大眾運輸交通工具，搭乘公車需要更好的查詢和規畫用品，因此我們嚐試製作出一張圖來了解臺中市公車連接的情形，再運用代碼的方式整理出一份表格，用來確認起點和目的地，藉由同停靠站視為等值的想法進行站間的換算，用以規畫出一條真正可以實施的公車路線。 本研究除了提供一個公車路線規畫工具外，仍有許多值得及可改善之處，因此文末除了說明應用的方式，更提出幾項改善的想法，以讓工具的應用更佳便利，符合並接近生活的情境。

本研究主要在求證班上同學有關『正方體（形）頂點數字謎』之解是否為真，並進一步延伸探究本研究小組有關『母子正方體頂點數字關係之玄機』的猜測。這段研究期間要感謝老師辛苦的指導，希望我們用心完成的作品，能作為對這有興趣的同學參考依據。

在生死一「數」間的研究中，假設有x人排成環狀，順時針編號1到x號，從頭開始，以保留→殺掉、保留→殺掉…的方式，找出最後的存活者。首先，我們探討在沒有免死金牌的情況下，總人數x與最後一個存活者F(x)有線型分布之關聯性。第二步，我們尋找擁有免死金牌的人為第y號時，總人數x與最後一個存活者F(x, y)之規律性。第三步，在y的變化下，我們討論F(x, y)與F(x+n, y+2n)之間的關聯性。最後，我們將總人數x固定，尋找最後一個存活者F(x, y)出現的次數及機率，並加以討論與研究。

本篇文章主要是利用”半對數法則”及”黃金比率法則”來分析數列的收斂及發散的極佳值，並由此法則而製作出一個電腦EXCEL程式.文中所利用的極佳值係數是由費波南西數列的數值轉換而來，即是常用的黃金分割係數0.382，0.618以及黃金比率係數2.618，4.236，5.236，6.854.並以此EXCEL程式來驗證金融商品數列發展的分析模式，在運用程式分析數值時，會持續用到數值的試誤法(Try＆ErrorMethod)，能讓分析模型取得高度的穩定度。

虧格是指4個正方形排在一起少1格，虧格填滿長方形區域分成3大類：完全填滿(有一邊長為3的倍數)、劃掉1格填滿(邊長為(3t+1)×(3k+1)或(3t+2)×(3k+2)，k為正整數)及劃掉2格填滿(邊長為(3t+1)×(3k+2)，k為正整數)。 前面兩個主題都可以找到文獻，最後一個沒有。於是我們針對前兩個主題作一些歸納討論後，利用這些結論推導出劃掉2格是否能被虧格填滿的問題。過程也很緊張刺激，因為我們推導時經歷過非常困難的部分。最後，我們得到非常不錯的結果：大部分的圖形擴展到無限大區域後，不能填滿的情形數趨近於一個定值。最困難的 5×n區域最後也歸納出非常有趣的結論。

在一個廣場的邊界上有許多家流動攤販(動點)，假設顧客均勻分布在廣場內，而顧客只因與攤販位置距離的遠近決定消費行為，所有攤販皆想盡一切辦法獲得最多的客源，我們討論當攤販在廣場上移動時，在哪個位置能找到其獲利之局部最大值，若每家攤販獲利皆在局部最大值的位置時，向兩旁移動獲利皆不會增加，故不會選擇移動，稱之為＂均衡＂。 本篇報告討論各種不同的形狀的廣場下均衡點位置問題，成功地做出了多邊形、圓形、橢圓形等平面圖形的均衡點結論，以及最後給出至簡單封閉凸形的解決想法，並在多邊形的情況中，成功證明出均衡點的存在性以及唯一性。