數學科

本研究是以楊輝幻圓引發聯想，進而深入探討幻圓的性質。在研究過程中是以矩陣的形式呈現幻圓，利用微調的方式依同心圓數循序研究，並證明幻圓C2Rn的存在性，進一步運用排列組合的概念求出相異幻圓總數；在幻圓C3Rn方面，我們加入Max有序排列法尋找幻圓。同時，我們也將較為特殊的構造方法整理，使得尋找幻圓更為快速。我們接著探討幻圓的性質及圓心的規律，也找到可以將幻圓推廣的方法。在本研究中得出許多幻圓的特性與數種構造幻圓的方法。

此作品研究「若有M個杯子且全部朝上，每次翻轉N個杯子，討論M、N在何種條件下，可將M個杯子翻成全部朝下，讓每個0到M之間的朝上杯數，都翻過一次且不得重複出現(即為漢米爾頓路徑Hamiltonian path)？同時探討在符合某些條件的情況下，必會有Hamiltonian path並證明之。」我們以總杯數及翻杯數的奇偶性將其分成四類，以及初始向上杯數不等於總杯數，使用我們所研發的倒金字塔式轉化成Hamiltonian path，並找出其中一組共同的規律，以這樣的方式說明這些Hamiltonian path必有解。而當Hamiltonian path共有2的次方組解(包含唯一)時，其所有Hamiltonian path都會符合首尾相加現象。我們找出其中的規律並證明其唯一性，再將這些規律運用數學邏輯並加入排列組合因素，使用Visual C#寫出程式並執行，以圖形使用者介面呈現。

本研究是探討如何在座標平面上，利用直線方程式，尋求多邊形之內部封閉迴路，其迴路之線段都要平行周圍的邊，並探討其幾何性質。 我們先從三角形邊上著手,利用相似形性質推論相關結果，然後推廣至梯形,最後利用直線方程式推導任意四邊形(兩兩邊互不平行)之封閉迴路存在性與其斜率的關係。

我最近和同學在玩益智遊戲時，突然發現棋盤上的格子，四個角落部是同色的，而在生活上我們經常也可以看到不同顏色的小正方形磁磚中有許多這種四個角落同色的大正方形。這樣的發現引起了我的好奇，因此展開我的研究之旅…。

n條直線最多可把平面分割成n2+n+2/2個區域，如果這些直線有平行或共點的情況，其區域數會比n2+n+2/2還少，且減少的區域數剛好為三角形數的總和。畫了許多分割的圖和推導區域數的過程，發現圖形中的「交點數」和「區域數」息息相關，所以往下探討圖形中的交點個數，得知n條直線最多有n2-n/2個交點，如果這些直線有平行或共點的情況，其交點數會比n2-n/2還少，平行直線所減少的交點數剛好為三角形數的總和，直線共點的情況，所減少的交點數為三角形數總和與共點組數的差。由於有交點數的結果，我們想解決傅立葉提出的17線問題，運用平行的結論，用電腦程式去運算可找到四組解法。徜徉在交點數、直線、區域數這趟的「點‧線‧面」之旅，沒想到竟有如此讓人驚艷的簡潔結果！

西蒙思對戰遊戲是兩人輪流在凸多邊形頂點畫一條線連接兩點，當某一方自己畫的線形成三角形時就輸了。本研究主要探討在不同點數遊戲中，雙方適用的致勝策略。發現到： 1.n點時，雙方最多可畫直線總數為n×(n-1)÷2。 2.4點時，若先者成功使用同點連線法則必勝；後者須阻擋先者同點連線法才能平手。 3.5點的適用策略為沙漏法和梯形法；6點(含)以上適用的策略為沙漏法、梯形法、無限法和外圍連線法。這些策略為等價圖形，可互相轉化，均具有「畫出偶數頂點的封閉圖形」和「連接異奇偶點」等共同特徵。本研究並討論了上述策略的適用理由。 4.找出N點以「連接異奇偶點」策略可連出供玩家選擇的直線數計算公式。 5.建議雙方對戰時的最佳策略與互動調整原則。

下棋時，將棋一顆顆排上棋盤，這時我想：是否能用各種棋子的走法排滿棋盤。但發現：馬的走法最有趣，於是想研究排滿 m × n 的可能，並推想在立體空間是否也如此？

設Γ為一平面曲線而 P 為一定點 ， 自 P 向γ所有的切線作對稱點，則所有對稱點所成的圖形Γ1 稱為曲線Γ對定點 P 的切線對稱作圖 ， Γ1 對定點 P 的切線對稱作圖 Γ2 稱為曲線Γ對定點P的2-th 切線對稱作圖 ， Γ2對定點 P的切線對稱作圖 Γ3稱為曲線Γ對定點 P的 3-th切線對稱作圖 ，…… 。以下是本文主要的結果：結論 A：當Γ為一圓形而 P 為圓上一點時 ， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。結論 B：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為任意一點時 ， Γ的切線對稱作圖的切線 性質。結論 C：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為(0，0)時， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。英文摘要：Given a plane curve Γand a fixed point P ,the locus of the reflection of P about the tangent to the curveΓis called the reflection to tangent line of Γwith respect to P.We denote Γ1 as the reflection to tangent line of Γwith respect to P, Γ2 as the reflection to tangent line of Γ1 with respect to P , Γ3 as the reflection to tangent line of Γ2 with respect to P ,and so on , we call Γn the n-th reflection to tangent line of Γwith respect to P. If Γ is a circle, and P is a point on the circle, we got the parametric equation of the nth reflection to tangent line of Γ with respect to P. And, for any parametric plane curve Γ; we got the method to draw the tangent of the reflection to tangent line of Γ.

影響樂透彩券買氣的主要原因究竟為何？為了解決這個問題，我們首先假設主要影響原因為頭彩累計獎金多寡，並以大樂透（Big Lottery）為對象，根據北銀所公布的數據，挑選適當的資料，以上一期頭獎獎金的累計獎金為Ｘ軸，當期投注金額為Ｙ軸，畫出散佈圖，發覺所呈現的是曲線相關，而且很像平移後的指數函數，所以，利用最小平方法求其近似函數。另外，推導出頭獎均沒人中獎的機率公式，二獎以後的獎項也均可套用此公式，再利用此公式引申出頭獎連k 槓之機率。接著，由北銀所提供的獎金分配比例可推得頭獎預估金額，進一步推出期望值公式。最後，為了印證我們假設是否正確，我們設計了問卷，經由所回收的問卷解釋結果。

本研究主要在求證班上同學有關『正方體（形）頂點數字謎』之解是否為真，並進一步延伸探究本研究小組有關『母子正方體頂點數字關係之玄機』的猜測。這段研究期間要感謝老師辛苦的指導，希望我們用心完成的作品，能作為對這有興趣的同學參考依據。