一、本研究探討正方形內有一個同中心的正方形，由外部正方形邊上的一個點出發，反覆對內部正方形的頂點作連頂線註一所產生的圖形。 二、我們發現原正多邊形和其內部同中心的正多邊形的邊長比例會有一個臨界值，若小於等於這個臨界值，反覆作連頂線的結果會產生原正多邊形的內接正多邊形，若大於臨界值，則在一定的條件下會產生多角星。 三、原正n邊形與其內部的正n邊形會產生內接正n邊形的邊長比值臨界值為{csc[(n-2)×90°÷n]}2。 四、整理出Xn、外部正方形邊長a及內部正方形邊長b與繪製出來圖形三者之間的關係。

所謂的Dragon Curve即是在座標平面上從原點畫一線段，以此線段的另一端點為支點轉動一個角度後，再以新圖形的另一端點為支點，轉動相同角度，重複多次所得到的圖形。 我們以環繞係數概念為基礎，推導出能計算Dragon Curve上每個節點的公式，經探討所有平面上Dragon Curve，發現只有60°、90°、120°、240°、270°、300°的Dragon Curve具研究價值。其中，60°和300°等價，90°和270°等價，120°和240°等價，三組性質各異。我們主要探討60°、300°和120°、240°兩組，其中又以120°、240°為重。 為了探討Dragon Curve 的行進狀況，我們引進一種新的位移向量數列。由此我們發現60°和300°的Dragon Curve將會緩慢繞過平面上所有三角形網格，並通過每個格子點無數次。而120°和240°的Dragon Curve不會通過平面上每個格子點，同時也不會有通過同一個點兩次的情形發生。

Torus，一種益智拼圖難題。希求：其所有的拼法及構型樣式→進而設計新的拼圖難題 簡介Torus 這款遊戲： 基本拼塊 (可由報告封面看出)： 每塊正方形積木，沿對角線區分成4 個區域後，這4 個區域中，放置3 種不一樣的高度，而每種高度皆至少出現一次。因此有9 種可能的積木。但由於，積木形狀過於複雜，因此為了簡化它，我們將最低處設1，中位置用2，最高處用3，讓它成為一個平面的正方形拼塊。 拼法：以這9 種相異拼塊，同數字相接，拼成3 x 3 正方形。 (可旋轉不能翻轉)

在研究過程中，我們首先針對最基本的問題：給定一正整數 p ，如何分解成公差為 1 的等差級數。利用求和公式中奇偶性的關係導出結論，包括哪些數不能分解及分解法數。推廣到任意公差後，我們發現在公差大於等於 3 時，就算首項為負數也不一定會相消，遂將先前首項為正整數的限制放寬至整數。再來改為限制項數。上面的結論除了以代數推導出來以外，亦使用幾何圖形作直觀的解釋。最後是階差級數，在一階階差的範圍作討論。

本研究的主要目的是探討瓢蟲在空間中行走的軌跡是否存在著某些性質。我們定義瓢蟲分別繞y軸和z軸旋轉θ和 Φ，我們發現當旋轉次數n→∞ ，各收斂點P均位於球面S:(x-1/1-r2)2+y2+z2=(r/1-r2)2 上。接著我們探討當瓢蟲的仰角θ=cos-1r與-cos-1r時，不論轉向角Φ為幾度，瓢蟲分別收斂於固定點A(1, 0, r√1-r2/1-r2) 與B(1, 0, -r√1-r2/1-r2)。透過幾何證明，我們發現直線AB與y軸恰為球面S的配極直線。透過基底變換後，每個轉向點均位於一圓錐面x2+y2=a2(c-z/c)2 上，且繞行的原點O及轉向點Pn均位在一等角螺線G上，G:{x=artcostα y=artsintα(t∈R) z=c(1-rt) 。從高觀點來看，各轉向點是經過一個收縮的仿射變換而來，而收斂點 就是瓢蟲行走軌跡的點吸子(attractor)。最後，我們將軌跡呈現的圖形與自然現象連結。

看到書上介紹內、外角及幾何圖形之後，我們就想，如果從一個點出發移動一段長度再轉動某個角度，再這樣重複下去，會形成怎樣的圖形？會不會回到原出發點？若換成數種長度或數種角度，又會如何？我們針對此問題作研究。我們發現，只走一種長度且只走一種角度時，所有的轉折點皆會落在同一個圓上，因此只要角度為有理數，必定回到原出發點。而兩種長度以上(包括角度改變時)只要轉的度數是有理數，大部分圖形皆可以用線段平移的方式將其圍成數個一種長度，轉一種角度的多邊形(或多角星形)推論會回到原點。只有當一個循環所轉的度數和為 360 的倍數時，才會有特例:可能是回到原點，也可能是朝某一方向不斷延展出去而更遠離原點。

在一款「世紀爭霸」的電玩遊戲裏，我們常常為了要派多少士兵傷腦筋。我們利用Excel模擬戰鬥的過程，整理最少士兵數的數型，本來想藉著數型的研究，找出最少士兵數的規律，沒想到最少士兵數卻極不規律。在最初的觀察例中，雖然似乎有一些週期性，但是模擬更多的觀察例後，週期性卻總有例外，挫折之餘，一度放棄這個研究。後來在學校數理資優實驗的課程中，老師替我們介紹許多的遞迴數列的例子和相關的知識，我們發現我們的問題和遞迴數列有些關聯，便重新研究這個問題。我們從最簡單的情形（即敵我雙方的攻擊力和生命值皆為1）開始，推導各回合敵我所剩士兵數的遞迴關係式，竟意外的發現這些遞迴關係式的係數形成費氏（Fibonacci）數列，透過費氏數列的性質，我們找到了這個最簡單情形的解答。我們將問題一般化，也成功的找出一些性質，並替我們的問題完整的解答，並且找到戰鬥所需回合與敵我士兵數的關係。最後，在老師的協助下，我們完成了我們所研究結果之證明。

本研究是以楊輝幻圓引發聯想，進而深入探討幻圓的性質。在研究過程中是以矩陣的形式呈現幻圓，利用微調的方式依同心圓數循序研究，並證明幻圓C2Rn的存在性，進一步運用排列組合的概念求出相異幻圓總數；在幻圓C3Rn方面，我們加入Max有序排列法尋找幻圓。同時，我們也將較為特殊的構造方法整理，使得尋找幻圓更為快速。我們接著探討幻圓的性質及圓心的規律，也找到可以將幻圓推廣的方法。在本研究中得出許多幻圓的特性與數種構造幻圓的方法。

本研究為了探討摺紙成疊五連塊的最佳解題策略，依序從連塊的連接面與數字的排列中尋找關聯性。我發現以下幾點重要結論：一、會影響順利摺疊地圖的因素包含方塊數量、方塊配對方式、方塊連接面和連塊形狀。二、摺紙遊戲四、五連塊連接面間互有影響，可從四連塊方塊配對是否能順利成疊的組型來推斷五連塊方塊配對的順利成疊類型。三、從數字設計的觀點來分析摺紙遊戲五連塊，最佳解題策略有分退位法和五P型、五U型、五N型等特殊解法。四、正三角形摺疊地圖中三、四連塊I型全部皆可順利成疊，五連塊I型只有80種能夠順利成疊、正六邊形的三I型、四I型、五I型成疊情形等同正方形三I型、四I型、五I型。摺疊地圖是一個需動腦思考、分析許多影響研究變項的有趣主題，日後我會持續努力，繼續探討六連塊35種方塊配對類型的最佳解題策略。

我們發現推方塊遊戲中，將方塊推到定點的方法有一字型、階梯型、階梯與ㄇ字複合型、9字型，歸納後可發先只需以ㄇ字型、二排法或兩者之複合就可達到想要的目標。要找到最佳的行走法時需考慮塗色方格行走的先後順序，選擇離起點所需的步數最少的塗色方格，若所需步數相同，則考慮下一步所需的步數，接下來都以所需步數較少的塗色格先走即可。因方塊的翻轉出六個面的圖形恰為正方體展開圖，所以此遊戲可利用正方體展開圖設計關卡。