數學科

在學幾何證明時，發現許多繁複的圖形包含不少有趣的元素，而且那種了解性質、關鍵、層遞推論的解題方式引起了我們很大的興趣。\r 在偶然機會中，我們欣賞到第24屆科展的作品，恰好當時正在學習多解篇，所以對它的圖形和解法激起許多新的想法。「可不可能有新的解法?」「其中是否含有規律?」\r 於是，我們便著手思考，以期能以更簡單的解法，更多元的應用，將我們的想法呈獻大家。

此作品是針對孟氏定理比例線段形式之逆定理，角元形式和它的逆定理的探討，嘗試將其推廣到凸 n 邊形。把角元形式推廣到凸 n 邊形，我們用三角形面積公式及比例線段形式，解決此問題。為了使研究更完備，探討其逆定理時，意即當滿足比例線段形式或角元形式時，n 點能否共線？但我們發現它未必成立，而且我們也在奧林匹克數學的幾何問題一書中所提到三角形之孟氏逆定理發現它的證明錯誤，我們給了反例，並且加上條件，運用相似形及三角函數的基本性質證明出兩種不同形式之孟氏逆定理。對於本作品，也給了一些應用，如著名幾何問題─斯坦納(Jakob Steiner, 瑞士)定理，運用角元形式之結果給了一種新證法，而且也用比例線段和角元形式來解決幾何競賽題及角度問題。

這次科展是觀察地板磁磚的拼貼方式而得到的靈感：是否存在一種方法可將磁磚封閉區域內的正方形數量算出？先簡化題目，從最小的封閉區域－對角線算起，發現對角線經過的格子數與長方形的長、寬和長、寬的最大公因數有關。再把封閉區域變大，為找出規律，將區域內的格子分紅、藍、黃三部份討論，並把這三部份格子數相加所得的算式，整理成簡潔公式。隨著封閉區域變大，我們用同樣方式觀察，推導出許多類似的公式，巧妙的是公式間也有規律，可彙整成一個完整公式。最後運用逆向思考推導出適合任何情況的T公式，讓研究結果從特殊化變為一般化，適用範圍更廣泛。將此公式帶入長方形的長寬以及封閉區域起點終點移動的距離，就能算出封閉區域的格子數。

本研究旨在創造一全新的domino質數接龍遊戲，並探索遊戲背後的數學規律及遊玩的策略，研究發現: 1.1是最好用來防守的數字，接著是0、3、5，再來是2，最後是4、6。 2.研究發現上家的牌組數字a+b等於4、6、8、9、10、12時比較有效可以攻擊下家。 3.從修正分析的表格中，研究者把a和b重複的應對牌組數字刪除後，可以發現第一、二、三名都是奇數牌組數字，分別為第一(4，5)、第二(1，2)、第三(0，5)、(3，6)。 4.研究也依據實際驗證發現一簡單牌組數字攻略：[(偶，偶)、(奇，奇)、(偶，奇)的牌組數字的應用]。 5.規則修正後可有效避免運氣的干擾，並發現下家（ｃ，ｄ）牌組數字防守率較佳的條件有二：c或d >1和c或d< 3。

本作品是研究手機平板遊戲WrapSlide的遊戲規則與滑動技巧，針對遊戲的動作，觀察其滑動過程與動作的結果，探討其連續滑動之動作並建立相關的數學公式，定義出旗標方格與軌跡，探討方陣與旗標軌跡的旋轉對稱性，並建構一個數學的估算方法，去計算完成遊戲中各種難度或層次所需的最多滑動次數，並將上述探討之滑動方塊的性質，擴充與應用至無限大之方陣。

題目:美國的特種部隊，必須在伊拉克橫越一片完全沒有食物及水的沙漠，到沙漠的另一頭進行機密任務，橫越沙漠要花五天。一個人只能帶足夠三天的乾糧及水，可以多人幫忙進行，請問至少要多少人，才能使一個人橫越沙漠完成任務？ 如果橫越沙漠要花六天，至少要多少人，才能完成任務？註1：不能有人餓肚子或餓死。註2：乾糧和水可以放在沙漠等需要的人取用，不會變壞。結論得到兩個數字關係（一）增加的人數順序1、3、9、27 2＝1＋1 5＝2＋3 14＝5＋9 41＝14＋27（七天任務人數）122＝41＋81（八天任務人數）（二）N 天人數＝3 倍N－1 天人數－1 2＝3×1－1 5＝3×2－1 14＝3×5－1 41＝3×14－1（七天任務人數） 122＝3×41－1（八天任務人數） （三）依次類推，我們得到任務完成的數字關係式。

由EdouArd LuCAs 提出的「河內塔問題」:一平面上豎著A、B、C 三根木樁，其中的木樁A 由上而下套著由小而大的N 個相異的圓盤，如下圖： 假設我們想要將這幾個圓環由木樁A\r 搬到木樁C，而且搬動過程受到以下三項限制：一、一次只能搬動一個圓環。二、每次搬動都須由某根木樁搬到另一根木樁，圓環不能被暫時放到其他地方。三、對任何木樁上的任意兩個相疊的圓環而言，上面的圓環一定要比下面的圓環小。藉由這個基本的模型問題來推論出不同的變形問題，所以在下面的本文中介紹了四種推廣類型，而在推廣討論四的部分，由於時間的匆促，我們並沒有做出完整的推論，這是比較遺憾的部分，也希望藉此能引發更多的人對其餘不同的變形問題能做更深入的探討。

我們利用進位分解的方法，將組合數對一質數做同餘。並探討巴斯卡三角形其中一列對一質數同餘後，各個餘數數量的關係。

我們推廣九十五年國中基測數學試題，給定三角形 ABC 與其西瓦線AD，在直線AD上取一動點P，分別討論四種函數 |PB-PC |、PB+PC、PB/PC 與PB×PC的數值變化，並求出四種函數的極大值與極小值，其中相除與相乘的難度很高。本研究特色是分別以雙曲線、橢圓、阿波羅尼奧斯圓、等腰梯形刻劃四種函數的極大（小）值，並特殊化到高、中線與角平分線。有趣的是，在三角形 ABC 的中線上滿足PB⁄PC 的極大（小）值點，是以 BC 為直徑的圓與中線的兩個交點，而角平分線上滿足 PB⁄PC 的極大（小）值點分別是內（旁）心。另外，角平分線上滿足PB×PC 的極小值點落在內心與角平分線截點的線段上。

在方格紙上的方格點是否可連成正三角形是一道蠻有趣的問題;這個問題藉由兩種正三角形面積的算式，可以很清楚看出答案是否定的，幾何上的直觀不見得代表其正確性，更須以客觀精準的數據來輔助；除此之外，我們將正三角形條件放寬，以代數的基礎逐一探討各種可能的情況。