數學科

莫忘初衷–競賽圖中的環形多邊形之個數探討」是一件在圖論領域中嶄新的作品。研究過程中，首先使用了不等式求出極值所在；再利用組合學作為研究工具；更自行定義了名詞，讓推導過程更順暢；最後也成功得出了許多結論和公式。研究中使用了許多高中生便能理解的方法，解開了一道看似複雜的題目。為再次驗證研究的正確性，更親手使用C語言，設計、撰寫了一套程式，用深度優先搜索(Depth First Search)求出任意競賽圖中環形多邊形的個數，而經過無數次重複驗證後，更再次證明研究最後得出的結論和公式的無誤。

在學幾何證明時，發現許多繁複的圖形包含不少有趣的元素，而且那種了解性質、關鍵、層遞推論的解題方式引起了我們很大的興趣。\r 在偶然機會中，我們欣賞到第24屆科展的作品，恰好當時正在學習多解篇，所以對它的圖形和解法激起許多新的想法。「可不可能有新的解法?」「其中是否含有規律?」\r 於是，我們便著手思考，以期能以更簡單的解法，更多元的應用，將我們的想法呈獻大家。

談到畢氏定理時，大家都會想到：如果一個直角三角形的2股為a和b，斜邊為c，則這3個邊長具有a2＋b2＝c2的關係；而且，以這3個邊為邊長，所畫出來的3個正方形，斜邊上的正方形面積等於2股上的正方形面積之和。然而，不只正方形如此而已，有很多形狀的幾何圖形，也都具有這樣的性質：以直角三角形的3個邊長為其中一邊或直徑（半徑），在其斜邊和2股上所畫出來的3個相似幾何圖形，斜邊上的圖形面積也會等於2股上的圖形面積之和，就如同以直角三角形為中心，開出了千變萬化不同的花瓣一樣。

某日數學課時，老師提到了一些有關多面體之公式，如歐拉定理等，另外亦提出一些有關多面體的角度問題，例如多面體之面角和，因而引起大家的注意，也開啟此次作品的開端。

兩堆數目不一樣的糖果公平分配，每次移動時，都從數量多的那一堆拿出當下少數量那堆的個數，將其放到數量少的那堆，反覆進行此動作，最後兩堆糖果數目會相等嗎？移動了幾次才會相等？研究結果發現： 一、成功情行 (一) A+B=4n是成功的先決條件。 (二)當A+B≠2k，A+B=n×4(n為奇數)時，必定只有一組數對(3n，n)能成功。 (n為偶數)時，(A，B)必須符合(qa，qb)→q(a，b)才能成功。 二、移動次數 (一)A+B=2k A、B同為奇數，數對(2k -p，p)次數為k-1次。 A、B同為偶數 1、數對(2k -2m，2m)次數為k-1-m次。 2、數對(2k -2p，2p)次數為k-2次。 3、數對(2k -2p，2p)次數為k-3次。 (二)A+B≠2k，A+B=n×4 (n為奇數)時，次數為1次。 (n為偶數)時，(A，B)必須符合(qa，qb)→q(a，b)，次數與(a，b)相同。

本研究旨在創造一全新的domino質數接龍遊戲，並探索遊戲背後的數學規律及遊玩的策略，研究發現: 1.1是最好用來防守的數字，接著是0、3、5，再來是2，最後是4、6。 2.研究發現上家的牌組數字a+b等於4、6、8、9、10、12時比較有效可以攻擊下家。 3.從修正分析的表格中，研究者把a和b重複的應對牌組數字刪除後，可以發現第一、二、三名都是奇數牌組數字，分別為第一(4，5)、第二(1，2)、第三(0，5)、(3，6)。 4.研究也依據實際驗證發現一簡單牌組數字攻略：[(偶，偶)、(奇，奇)、(偶，奇)的牌組數字的應用]。 5.規則修正後可有效避免運氣的干擾，並發現下家（ｃ，ｄ）牌組數字防守率較佳的條件有二：c或d >1和c或d< 3。

本研究先在正n邊形邊上取任意點P、Q，將Q以P為中心旋轉正n 邊形內角度數θ得到Q’，P、Q進行移動，觀察Q’變化的關係與規律性；接續，將P、Q放在「複合正n邊形」進行探討。發現: 在某一範圍時，P、Q在正n邊形上移動時會形成特殊軌跡中空圖形，邊數分別為n與2n等兩類之多邊形，其邊長比一般化公式為l_1+l_2及l_1 、l_2；還有許多有趣的關係，像：1.軌跡圖形內角公式；2.當Q在頂點A上，移動P點，形成Q’之軌跡在｢正n邊形外角平分線｣上；3.Q在任意點上，則Q’之軌跡與對角線¯BD平行且等長…等，並證明之。 最後推出軌跡圖形參數式為 {xQ'=xP+rcos(θ水平夾角-θ) yQ'=yP+rsin(θ水平夾角-θ)，其中tanθ水平夾角=(yQ-yP)/(xQ-xP )，r=√((yQ-yP)2+(xQ-xP)2)，P(xP,yP )、Q(xQ,yQ )之通式詳見作品，結果可應用在掃地機器人及防盜系統上。

一、 本研究的最初來源系出自 Crux Mathematicorum 的第1367 題，原題目為： 在n 個並列圓的圖形上，放置數個相同的圓，放置的要求為： (1)為了使圖形中的圓穩固，上一列的圓必須與下一列的兩個圓相切。 (2)任一列的圓必須相連。 例如：圖一與圖二是不被允許的，而圖三則符合要求。 因此，當n = 3 時，共有下列5 種不同的方式。 試問：令an 為底座是n 個並列圓的放置的方法數，求an 的一般公式。 由於翻譯時漏了第(2)個條件，竟意外的得到一個美妙的結果：在此問題中， 若要求相連，則得到費氏數(Fibonacci Numbers)； 若要求可不相連，則得到凱特蘭數(Catalan Numbers)。即 (1)要求相連時（n 階圓塔），放置方法數的一般項 (2)要求可不相連時（n 階廣義圓塔），放置方法數的一般項 二、 接著將底座改成放置在平面上的球（有正方形放置或正三角形擺放兩種）， (1)正方形放置的（方形球塔），其放置方法數的遞迴式為 (2)正三角形放置的（三角球塔），其放置方法數的遞迴式為 其中[x]為高斯符號。

我們利用進位分解的方法，將組合數對一質數做同餘。並探討巴斯卡三角形其中一列對一質數同餘後，各個餘數數量的關係。

我們定義：騎士的走法，在西洋棋中，依座標來看，如下圖所示。由起點O(0 , 0)出發，有八種走法如下：A(1 , 2)、B(2 , 1)、C(2 , -1)、D(1, -2)、E(-1 , -2)、F(-2 , -1)、G(-2 , 1)、H(-1 , 2)。 探討的目的： 一、用騎士走法，給定一起點，求出其在棋盤中到每一格的最少步數，並利用Visual Basic 6.0 製作輔助程式驗證。接著把所得的數據填入每一格中，推導得每一個步數所形成的圖形公式。 二、藉由研究目的(一)所得的圖形，我們反推求得給定一起點，要到達另一給定終點，所需的最少步數的公式。包括數個判斷公式與使用到高斯函數的對應公式。 三、列舉出不能符合圖形公式與反求步數公式的情況。 進一步討論： 1. 可以進一步討論在給定一起點與一終點，探討其最少步數有幾種走法，並想辦法求得期間最少步數的走法規則。已撰寫出程式供參考，具體結果仍在研究中。 2. 若在一立體空間中給定一起點與一終點，研究騎士走法最少步數的規則及公式。 3. 若騎士有另外的走法譬如由起點O(0, 0)，騎士走法用(±3, ±4) (±4, ±3)、(±4, ±5) (±5, ±4)…等方法，是否也能走遍棋盤的各個座標點？是否有最少步數的公式存在？