數學科

本文透過代數方法先討論驗證10進位制反向倍數的性質，進而用其探討方式推廣找出3進位制、4進位制、5進位制等的反向倍數，從中歸納、假設、驗證n進位制反向倍數的性質，如n進位制二位數、三位數、四位數一般式、數種反向倍數的基本型與組合型型態、n進位制四位數反向倍數之判別法等。並推導驗證n進位制中，a倍的反向倍數四位數10C a的(n，a)遞迴關係式及與其進位值數列的函數關係。且利用本文推論定理撰寫找出n進位制m位數反向倍數演算法與程式，及找出二位數與四位數的n進位制反向倍數基本型的原型，更是此次研究結果的一大特色。

去年，我們以《女生來做數學》一書中的拓荒遊戲分析致勝的關鍵；今年，老師又教大家研究另一個題目--線條遊戲，當線條數目一樣時，會有各種的選擇方式；當線條數目不一樣，會有不同的輸贏結果。要如何從繁雜的過程中找到相同點呢?先下手為強?還是禮讓對方呢?這些疑問引起大家熱烈地討論，決定要再次攜手合作進行這項任務。

筆者將2005亞太數學奧林匹亞(APMO)試題第四題，延伸題幹情境，將「一個在邊界上之起火點」的條件推廣至「任意位置之多個起火點」，並討論單位時間內搶救數大於1、改變棋盤條件及改變火勢蔓延方式等情況的燃燒數，再推廣至空間系統。在每一種情境下，試著找出最佳的搶救方法、歸納最小燃燒數的規律並證明其皆為最佳的策略，而後發現當起火點數(f)為s個，單位時間內搶救數(d)為1時，燃燒總數b=k(n-k)+(n+1)(h+s)；d為2時，火勢被三面包圍之燃燒總數為b=k(k+s)+(4s+1-⌈k/2⌉)⌈k/2⌉+(2s-⌈k/2⌉)⌈(k+1)/2-⌈k/2⌉⌉+(s2-s)/2；而其他條件下，最佳搶救方法的燃燒規律、燃燒數皆有相關性。

本研究是將梅齊裏亞克的砝碼問題( The Weight Problem of Bachet de Meziriac )，由等臂天平延伸至不等臂天平。 若i、k、m與n皆為正整數。首先在等臂天平中，討論k磅砝碼摔成i塊其解是否存在？是否有唯一解？並試圖找出通解的一般式。使用列舉的試誤法，之後設計視覺直觀的數學實驗程式，找出數學式，歸納出解的一般式。發現可以使用變形三進位的方法來決定符合解的砝碼。接著將等臂天平延伸到1:n不等臂天平。在1:n不等臂天平中，先找出所有解的組合，再找出最常出現幾組的不可稱解的最大可稱磅數、規律、性質與一般式。最後希望可以利用1:n不等臂天平的不可稱一般式推廣到m:n不等臂天平中。

本研究根據「騎士巡邏」的數學問題做出延伸，主要探討在連方塊 (polyomino) 棋盤上 擺放黑白各兩顆棋子，以西洋棋中的騎士走法，進行位置互換，並透過圖論工具，分析移動騎士的一般策略。在後續研究裡，進一步推廣原先探討的問題，例如考慮其他形狀的自由連方塊，並嘗試歸納出由連方塊所引出路徑圖的連通性。最後我們將原來問題化縮為圖同構問題 (graph isomorphism problem)。

這次科展是觀察地板磁磚的拼貼方式而得到的靈感：是否存在一種方法可將磁磚封閉區域內的正方形數量算出？先簡化題目，從最小的封閉區域－對角線算起，發現對角線經過的格子數與長方形的長、寬和長、寬的最大公因數有關。再把封閉區域變大，為找出規律，將區域內的格子分紅、藍、黃三部份討論，並把這三部份格子數相加所得的算式，整理成簡潔公式。隨著封閉區域變大，我們用同樣方式觀察，推導出許多類似的公式，巧妙的是公式間也有規律，可彙整成一個完整公式。最後運用逆向思考推導出適合任何情況的T公式，讓研究結果從特殊化變為一般化，適用範圍更廣泛。將此公式帶入長方形的長寬以及封閉區域起點終點移動的距離，就能算出封閉區域的格子數。

傳輸訊息時，可能因干擾造成誤差。在不複傳情況下，設定檢查碼檢測並校正誤差是個可行方法，而研究出好的檢查碼編碼方式則是我們的目標。 針對(n,k)線性區段碼X=(m1 m2 m3...mk c1 c2 c3...cn-k)，一組訊息有n 個比次。前k 個向量為訊息比次，另外n-k 個為檢查比次，我們發展出三個較好的編碼方法：

所謂的「費馬點」是指三角形內到三頂點距離和最小的點。換言之，「費馬點」就是到平面上不共線三點距離和最小的點。因此，我們可定義，廣義的「費馬點」即是n 多邊形內到各頂點距離和最小的點，亦即到平面上不共線n 點距離和最小的點，但若平面上n 點不能恰為n 多邊形的頂點呢？這就是我們所要討論的。由於我們的靈感來自一份關於「費馬點」的科展作品，所以我們想到，當平面上n 點不能恰為n 凸多邊形的頂點，甚或其中有一部分的點共線時，將不能以n邊形的方法來探討，但我們可以將之化為m 邊形內（n-m）個點來討論。而更重要的是，我們增加了另一個限制，重複的線段將不被我們列入計算。亦即當所求點落在某一多點共線的線段上時，我們只計算該線段的總長，而不計其中重複的較短線段。根據這個原則，我們試行證明平面上三點、四點、五點及六點的可能情況，期望能從中找出足以推廣至平面上n 點的一般性。結果雖不完美，但我們總算差強人意的歸納出了下列結論：1.若n 點共線段，所求點可為所共線段上任一點。2.若（n-1）點共線段，則由該不共線點引一線與共線段垂直，其交點即為所求。3.若（n+m）個點中有m 個點為一m 多邊形的頂點，另外n 個點落在該m 多邊形內，則由兩個外頂點引直線盡可能通過最多點，該兩直線的交點即為所求。

在 n 維空間中，若已知 m 個向量的坐標表示法，則可輕易地計算出這些向量兩兩之間的內積並寫成 m 階內積方陣。但反過來說，若已知一個 m 階的內積方陣，該如何建構其所對應之 m 個 n 維空間向量呢？本文將利用 m 階對稱行列式的特殊降階展開之方式，擬定其元素與若干子行列式間的恆等關係，並利用此恆等關係與內積方陣之特性，完整模擬其所對應之各向量。

本文透過翻書籤問題，觀察改變黑色面朝上書籤數1張及2張(含改變中間間隔白色面朝上書籤數各種類型)時，探討書籤總張數及達成翻開所需步數之間的關係，發現到初步判別方法及彼此間呈現等差數列的規律情形。