數學科

本研究根據「騎士巡邏」的數學問題做出延伸，主要探討在連方塊 (polyomino) 棋盤上 擺放黑白各兩顆棋子，以西洋棋中的騎士走法，進行位置互換，並透過圖論工具，分析移動騎士的一般策略。在後續研究裡，進一步推廣原先探討的問題，例如考慮其他形狀的自由連方塊，並嘗試歸納出由連方塊所引出路徑圖的連通性。最後我們將原來問題化縮為圖同構問題 (graph isomorphism problem)。

本研究主要從拼滿8×8「方格盤」的活動中，發現m × n 小長方形的邊長為T × S 大長方形的邊長的因數時，即可利用數個m × n 小長方形拼滿T × S 大長方形。 利用m × n 小長方形拼滿T × S 大長方形的特性，探討利用2×1 的長方形來拼貼2×N「方格盤」拼貼方式的總數與個別數問題。發現拼滿2×N「方格盤」的總數符合費氏數列的規律（ＡN=ＡN-1+ＡN-2）；拼滿2×N「方格盤」的個別數，可用公式（個別數＝ 計算出來，其個別數也符合巴斯卡三角形特性。並發現2×N「方格盤」的個別數與總數之間，是巴斯卡三角形與費氏數列關係的實證例子。 進而探討拼滿3×N「方格盤」的總數，符合三N 數列的規律（ＡN=４ＡN-1+ＡN-2）。且3 ×N「方格盤」個別數是2×N「方格盤」個別數的延伸，兩者具有相互的關係存在。

談到畢氏定理時，大家都會想到：如果一個直角三角形的2股為a和b，斜邊為c，則這3個邊長具有a2＋b2＝c2的關係；而且，以這3個邊為邊長，所畫出來的3個正方形，斜邊上的正方形面積等於2股上的正方形面積之和。然而，不只正方形如此而已，有很多形狀的幾何圖形，也都具有這樣的性質：以直角三角形的3個邊長為其中一邊或直徑（半徑），在其斜邊和2股上所畫出來的3個相似幾何圖形，斜邊上的圖形面積也會等於2股上的圖形面積之和，就如同以直角三角形為中心，開出了千變萬化不同的花瓣一樣。

一、 本研究的最初來源系出自 Crux Mathematicorum 的第1367 題，原題目為： 在n 個並列圓的圖形上，放置數個相同的圓，放置的要求為： (1)為了使圖形中的圓穩固，上一列的圓必須與下一列的兩個圓相切。 (2)任一列的圓必須相連。 例如：圖一與圖二是不被允許的，而圖三則符合要求。 因此，當n = 3 時，共有下列5 種不同的方式。 試問：令an 為底座是n 個並列圓的放置的方法數，求an 的一般公式。 由於翻譯時漏了第(2)個條件，竟意外的得到一個美妙的結果：在此問題中， 若要求相連，則得到費氏數(Fibonacci Numbers)； 若要求可不相連，則得到凱特蘭數(Catalan Numbers)。即 (1)要求相連時（n 階圓塔），放置方法數的一般項 (2)要求可不相連時（n 階廣義圓塔），放置方法數的一般項 二、 接著將底座改成放置在平面上的球（有正方形放置或正三角形擺放兩種）， (1)正方形放置的（方形球塔），其放置方法數的遞迴式為 (2)正三角形放置的（三角球塔），其放置方法數的遞迴式為 其中[x]為高斯符號。

本文透過翻書籤問題，觀察改變黑色面朝上書籤數1張及2張(含改變中間間隔白色面朝上書籤數各種類型)時，探討書籤總張數及達成翻開所需步數之間的關係，發現到初步判別方法及彼此間呈現等差數列的規律情形。

本研究是將梅齊裏亞克的砝碼問題( The Weight Problem of Bachet de Meziriac )，由等臂天平延伸至不等臂天平。 若i、k、m與n皆為正整數。首先在等臂天平中，討論k磅砝碼摔成i塊其解是否存在？是否有唯一解？並試圖找出通解的一般式。使用列舉的試誤法，之後設計視覺直觀的數學實驗程式，找出數學式，歸納出解的一般式。發現可以使用變形三進位的方法來決定符合解的砝碼。接著將等臂天平延伸到1:n不等臂天平。在1:n不等臂天平中，先找出所有解的組合，再找出最常出現幾組的不可稱解的最大可稱磅數、規律、性質與一般式。最後希望可以利用1:n不等臂天平的不可稱一般式推廣到m:n不等臂天平中。

在 n 維空間中，若已知 m 個向量的坐標表示法，則可輕易地計算出這些向量兩兩之間的內積並寫成 m 階內積方陣。但反過來說，若已知一個 m 階的內積方陣，該如何建構其所對應之 m 個 n 維空間向量呢？本文將利用 m 階對稱行列式的特殊降階展開之方式，擬定其元素與若干子行列式間的恆等關係，並利用此恆等關係與內積方陣之特性，完整模擬其所對應之各向量。

筆者將2005亞太數學奧林匹亞(APMO)試題第四題，延伸題幹情境，將「一個在邊界上之起火點」的條件推廣至「任意位置之多個起火點」，並討論單位時間內搶救數大於1、改變棋盤條件及改變火勢蔓延方式等情況的燃燒數，再推廣至空間系統。在每一種情境下，試著找出最佳的搶救方法、歸納最小燃燒數的規律並證明其皆為最佳的策略，而後發現當起火點數(f)為s個，單位時間內搶救數(d)為1時，燃燒總數b=k(n-k)+(n+1)(h+s)；d為2時，火勢被三面包圍之燃燒總數為b=k(k+s)+(4s+1-⌈k/2⌉)⌈k/2⌉+(2s-⌈k/2⌉)⌈(k+1)/2-⌈k/2⌉⌉+(s2-s)/2；而其他條件下，最佳搶救方法的燃燒規律、燃燒數皆有相關性。

傳輸訊息時，可能因干擾造成誤差。在不複傳情況下，設定檢查碼檢測並校正誤差是個可行方法，而研究出好的檢查碼編碼方式則是我們的目標。 針對(n,k)線性區段碼X=(m1 m2 m3...mk c1 c2 c3...cn-k)，一組訊息有n 個比次。前k 個向量為訊息比次，另外n-k 個為檢查比次，我們發展出三個較好的編碼方法：

在一次五子棋的廝殺中，為了避免弟妹干擾玩耍的興致，因此隨便抓了一把棋子讓他們玩玩，沒想到他們用了相同多的棋子，排成了三角形與四邊形的圖形。我們覺得蠻有趣的，因此我們想到一個研究的問題：「在移動最少棋子的條件限制下，將三角形數移成平行四邊形數」。我們稱這一個方法為「4＝3 切割法」，運用這個切割法的結論我們知道：一、 所有的三角形數皆等於平行四邊形數(合數)。二、 「三角形數＝菱形數」等價於「n(n+1)/2=完全平方數」的問題，而且在一億個n 值當中，只有10 個數值滿足「三角形數＝菱形數」。三、求根號2的有理逼近分數並估計誤差。四、 比較「4＝3 切割法」所求逼近根號2的分數與連分數展開所計算的分數，展現有趣的關係。綜合這些性質，我們發現研究主題皆與“根號2”息息相扣，在此不得不讚嘆「數」的美妙。