數學科

「立即瘋」遊戲，是由四塊立方體（正六面體）組成，每塊立方體分別有紅、白、藍、綠四種顏色，但每塊立方體顏色的分佈並不相同。而玩這種遊戲的目標是把四塊立方體疊成柱形(四塊立方體的順序沒有限制)，一個疊在一個上面，使柱子的四個側面，都恰有紅、白、藍、綠四種顏色。我們定義：若在同一個方塊的六個面中，存在一個顏色出現三個面時，我們以S表示，則4S表示四個方塊均為S；若在同一個方塊的六個面中，存在兩個顏色各出現兩個面時，我們以T表示，則4T表示四個方塊均為T。而本次作品主要是透過點線圖來研究：在「立即瘋」遊戲的規則下，針對紅、白、藍、綠四種顏色的分佈為4S及4T的情形，探討是否有其對應解。

本研究從『連續的立方和等於某一個數的平方』的推導過程開始，藉由學生不同的解題方式，而發現許多奇妙的事情。學生們用其對數學的直覺採用『立方體』轉換成『平面的L型面積』來解題。而後有學生發現此題與費馬定理的關聯性，加以進行研究與討論，最後與老師們的一同努力研究，嘗試證明這百年來的難題。

我們發現推方塊遊戲中，將方塊推到定點的方法有一字型、階梯型、階梯與ㄇ字複合型、9字型，歸納後可發先只需以ㄇ字型、二排法或兩者之複合就可達到想要的目標。要找到最佳的行走法時需考慮塗色方格行走的先後順序，選擇離起點所需的步數最少的塗色方格，若所需步數相同，則考慮下一步所需的步數，接下來都以所需步數較少的塗色格先走即可。因方塊的翻轉出六個面的圖形恰為正方體展開圖，所以此遊戲可利用正方體展開圖設計關卡。

首先，由代數觀點切入，藉由n =2， n =3， n =4，……，到n =10 的解題過程中，尋求S1 ，S 2 ，S3 ，……，S 10 之間的規律，進而找出一般情形Sn ：當底層為n個一字排開且緊密外切的酒瓶時所有往上堆疊酒瓶的情形。過程中，透由Excel 的表格，尋求Sn 的規則，由這些規則我們去推導，竟然發現S n 與Catalan number 的第n 項C n有關，欲解釋彼此的關聯時，又發現Sn 與n 階鋸齒狀捷徑走法能形成1?1且onto 的對應關係，讓人覺得在數學的世界中，代數與幾何之間神秘又充滿驚奇的關連！

我們藉由尺規作圖尋找三角形的等周線並且推導出等周線包絡曲線的方程式為一拋物線圖形。此外，為了簡化複雜的方程式計算，我們透過圖形的「旋轉」以及「平移」的方式模擬繪圖於GeoGebra上，找到分別對應於三個角的等周線包絡曲線拋物線圖形。最後，我們延伸尋找包絡曲線拋物線與三角形之間的相關性質，並且加以證明。

本科展首先研究：3×n矩形用3×1(1×3)矩形鋪滿，4×n矩形用4×1(1×4)矩形鋪滿，和a×n矩形用a×1(1×a)矩形鋪滿，運用是否跨斷線找法推出鋪滿數公式。再來運用特殊形找法，分虧格和L型來鋪滿3×n矩形；4×1矩形、T型、2×2方形、Z型，個別及兩兩組合鋪滿4×n矩形。在本研究中除了有用到Z型做排列時，鋪滿數為0種外，其他狀況皆推出了公式。因每一圖形的鋪滿數和前一圖形有關係，故除了虧格外，其他以遞迴關係式來表示。而後分析各圖形鋪滿數，得到a×1矩形數據在表格的呈現上為傾斜的巴斯卡三角形，且隨著a×1中a值的不同，垂直間隔(a－1)格；L型和T型，也有不同的巴斯卡三角形形式，並證明、推廣。最後研究方形鋪滿m×n矩形的鋪滿數，當{k≤m,nk|m,n時，鋪滿數為1，反之為0。

此作品是針對孟氏定理比例線段形式之逆定理，角元形式和它的逆定理的探討，嘗試將其推廣到凸 n 邊形。把角元形式推廣到凸 n 邊形，我們用三角形面積公式及比例線段形式，解決此問題。為了使研究更完備，探討其逆定理時，意即當滿足比例線段形式或角元形式時，n 點能否共線？但我們發現它未必成立，而且我們也在奧林匹克數學的幾何問題一書中所提到三角形之孟氏逆定理發現它的證明錯誤，我們給了反例，並且加上條件，運用相似形及三角函數的基本性質證明出兩種不同形式之孟氏逆定理。對於本作品，也給了一些應用，如著名幾何問題─斯坦納(Jakob Steiner, 瑞士)定理，運用角元形式之結果給了一種新證法，而且也用比例線段和角元形式來解決幾何競賽題及角度問題。

本文是從都市更新的新聞聯想出來的數學問題，在兩條互相垂直的道路中，如何找出過道路的東、西、南、北各一個點的矩形，而矩形的最大面積為何？透過動態模擬，成功解決這個問題並研究一些有趣的結果。

在學幾何證明時，發現許多繁複的圖形包含不少有趣的元素，而且那種了解性質、關鍵、層遞推論的解題方式引起了我們很大的興趣。\r 在偶然機會中，我們欣賞到第24屆科展的作品，恰好當時正在學習多解篇，所以對它的圖形和解法激起許多新的想法。「可不可能有新的解法?」「其中是否含有規律?」\r 於是，我們便著手思考，以期能以更簡單的解法，更多元的應用，將我們的想法呈獻大家。

本研究主要從拼滿8×8「方格盤」的活動中，發現m × n 小長方形的邊長為T × S 大長方形的邊長的因數時，即可利用數個m × n 小長方形拼滿T × S 大長方形。 利用m × n 小長方形拼滿T × S 大長方形的特性，探討利用2×1 的長方形來拼貼2×N「方格盤」拼貼方式的總數與個別數問題。發現拼滿2×N「方格盤」的總數符合費氏數列的規律（ＡN=ＡN-1+ＡN-2）；拼滿2×N「方格盤」的個別數，可用公式（個別數＝ 計算出來，其個別數也符合巴斯卡三角形特性。並發現2×N「方格盤」的個別數與總數之間，是巴斯卡三角形與費氏數列關係的實證例子。 進而探討拼滿3×N「方格盤」的總數，符合三N 數列的規律（ＡN=４ＡN-1+ＡN-2）。且3 ×N「方格盤」個別數是2×N「方格盤」個別數的延伸，兩者具有相互的關係存在。