數學科

有 x 瓶牛奶，要排在 n×n 的正方形牛奶箱中，要如何排，才能使得牛奶箱中的(1)每行每列皆為奇數瓶(2)每行每列皆為偶數瓶(3)行列中一邊為奇數瓶，另一邊為偶數瓶。要回答上述的問題，可實際上去排一排，或經由解聯立方程式，得知行列瓶數的組合情形，再去排列。除此之外，是否可找到一種不經由解聯立方程式，就可以操縱排牛奶瓶的方法？此為本研究的目的。最後再進一步推廣到長方形。

本作品主要是從「立即瘋」遊戲的解題過程，突發奇想，試著設計全新的「立即瘋」遊戲，甚至更「瘋」的益智玩具，並確認這全新設計和「立即瘋」一樣，只有唯一解。「立即瘋」原設計的木頭材料不容易處理和發展，所以改用智慧片取代。透過對原設計的解題瞭解後，我們自行用正八面體設計不同顏色變化和位置，並進行比對、分析和檢驗。本作品主要結果如下：一、有條理且有效率的解決原設計的「立即瘋」遊戲。二、重新試著設計不同顏色的新「立即瘋」遊戲，並確認只有唯一解。三、設計創造正八面體的「究極瘋」遊戲，並確認只有唯一解。綜合言之，我應用了「顏色表格化分析」和「分組分析」，能有效和有效率的解決「立即瘋」問題，並設計創造全新的「究極瘋」遊戲。最後，我希望設計完整的一套有趣的「究極瘋」系列學習活動。

本屆科展數學作品方面，整體而言，量雖然沒有太大的差異，但質方面普遍提高，顯示各方面參與熱忱和敬業態度均有顯著進步；茲分述如下： 一、輔導教師比往年更能正確發揮輔導角色。 二、國小中之高小組，今年得獎作品，均超越國小程度，且學生亦有能力，解決其所提的問題。 三、高中組之作品，今年相當整齊亦是一大特色，因此增列了衣未三等獎。 四、初小組之作品偏少，且無傑出作品，故今年本組之一等獎從缺。 五、偏遠地區參展之件數，有顯著增加。 六、今年合作思考的作品有明顯增加且作品之品質也相對提高。

在第三十三屆科展中，巧遇結的問題。於是便在第三十四屆科展“盤根錯結 ”中展開研究，於全國科展中由朱建正教授的指引，使我們對結的領域認識更深，並強調了結的分類仍是個未解的謎。而在上屆科展亦有接解類似分類的工作，故本作品延續上屆作品來展開研究。

看到書上介紹內、外角及幾何圖形之後，我們就想，如果從一個點出發移動一段長度再轉動某個角度，再這樣重複下去，會形成怎樣的圖形？會不會回到原出發點？若換成數種長度或數種角度，又會如何？我們針對此問題作研究。我們發現，只走一種長度且只走一種角度時，所有的轉折點皆會落在同一個圓上，因此只要角度為有理數，必定回到原出發點。而兩種長度以上(包括角度改變時)只要轉的度數是有理數，大部分圖形皆可以用線段平移的方式將其圍成數個一種長度，轉一種角度的多邊形(或多角星形)推論會回到原點。只有當一個循環所轉的度數和為 360 的倍數時，才會有特例:可能是回到原點，也可能是朝某一方向不斷延展出去而更遠離原點。

上數學課時，老師教我們玩＜河內之塔＞、＜虧格＞，進階地玩＜解套＞又叫六子連芳。種類多勾起了好奇心，引發與師長、同學一系列的探討，看到了中國人的智慧、藝術和幽默感。

在我們一次數學課程中，一題搶到最後棋子的人獲勝的題目，勾起了我們的好奇心，在這個看似公平的遊戲，裡面卻暗藏著許多的不公平，所以我們希望能看透箇中奧秘，觀察之間的關連，並進一步歸納是否有必勝的方法。

本次研究的目的，是藉由數據，循序找出存在於「2 的指數值」(即：2n 乘開後的值。本次研究中的數據，皆以變數Kn 表之，其目的與定義，詳見伍之一)中，出現在同一位數的數字循環與和其他位數之間的關係。從一變數Kn 中，確認其個位數有數字循環的現象開始出發，循序找出其十位數、百位數之間所存在的數字循環。之後，作者試著根據數據，先行猜測其公式，並以數學歸納法證明其公式成立。爾後，發現「3 的指數值」亦與「2 的指數值」有相似之處，亦是循上述手續證之。

本研究為了探討摺紙成疊五連塊的最佳解題策略，依序從連塊的連接面與數字的排列中尋找關聯性。我發現以下幾點重要結論：一、會影響順利摺疊地圖的因素包含方塊數量、方塊配對方式、方塊連接面和連塊形狀。二、摺紙遊戲四、五連塊連接面間互有影響，可從四連塊方塊配對是否能順利成疊的組型來推斷五連塊方塊配對的順利成疊類型。三、從數字設計的觀點來分析摺紙遊戲五連塊，最佳解題策略有分退位法和五P型、五U型、五N型等特殊解法。四、正三角形摺疊地圖中三、四連塊I型全部皆可順利成疊，五連塊I型只有80種能夠順利成疊、正六邊形的三I型、四I型、五I型成疊情形等同正方形三I型、四I型、五I型。摺疊地圖是一個需動腦思考、分析許多影響研究變項的有趣主題，日後我會持續努力，繼續探討六連塊35種方塊配對類型的最佳解題策略。

在本研究中，我們發現可以利用簡易的尺規作圖做出任意三小形中最小內接正三角形，我們欲利用了一些較簡單的性質以求證，但結果不如我們預期的順利，最後我們引用了之前參閱第四十屆作品結果，以補足我們的証明。主要架構是層層推進，先證明做出來的會是正三角形，在慢慢推論，進而得到最後的結果。