數學科

二十世紀中期，組合數學開始發展，五元方格（pentomino）積木（介紹見研究方法及過程）正是其中之一，五元方格的變化數以萬計，我們選擇別人尚未研究的範疇來研究。這個積木迷人的地方是－「看起來沒有規律，但又藏有少許的規律。」有規律的數學規則或定理，雖然難，但人的智慧總可以破解的；沒有規律的數學，看似簡單，卻讓我們嚐盡了的苦頭。我們主要研究4X15（由五元方格排出的寬4 單位長15 單位平面圖形）由2D 轉變成為3D 的立體變化，首先我們先將4X15 的368 種排法列出並編號（見附件一），其次把能夠變化成相同立體圖形的2D 答案列出來，因為時間有限，我們只研究了53 種的立體變化，但受益良多。這次的研究我們學到：（一）在解題當中如果一時找不出答案，可以從另一個角度想想看，會有意想不到的收穫。（二）做一件事情，團體的合作比個人的突出更重要。（三）數學可以用在任何的地方，真是受益無窮。（四）有規律的東西雖難，但人的智慧總可以破解的；沒有規律的東西看起來簡單，卻難以掌握其條理和變化。（五）尋找條件越多的立體圖形，只要知道其中的關係，就可以利用其他有相同條件的立體圖形來找它們的交集，可更快速找出答案。

一、 找出形分配不公平的原因。二、 不同分配法，找出怎樣分配較公平。

將一個正五邊形的每一個邊延長，就可以圍成一個五角星行（Ｐｅｎｔａｇｒａｍ）。如果在五角星形的十個點上，把它填入十個整數，使得一條邊上的四個數字總和等於一個定數，則符合這樣規則的圖形，我們把它稱作幻五角星形（Ｍａｇｉｃ Ｐｅｎｔａｇｒａｍｓ）或五階魔星陣（Ｏｒｄｅｒ－５ Ｍａｇｉｃ Ｓｔａｒｓ）。本研究主要在探索五階魔星陣之各種變形的規律及尋找最佳的解答，並提出新的建構方法改進趙文敏教授所提供之五階魔星陣的建構方法。

我們的作品的內容為探討正方形m×m的方格中，若將其全部塗上黑或白兩種顏色，則每個2×2的正方形中的黑白數目皆一致(皆為2個)的時候，會有多少種可能性，並將其分作旋轉視為相異，旋轉視為相同2種，在前者我們使用了是列舉法以及基模法進行驗證，兩種方法在推導出公式後的結果後是一樣的，在這個基礎下，我們將題目發展成在矩形m×n方格的情況下再次推算，也得到一樣的結果。 而方格旋轉視為相同的情況則使用了組合「C」以及基模法來解決問題，並發現許多情況都必須考慮進去才能避免遺漏或重複的情況產生，在求得正方形m×m方格的通式後，我們再次嘗試將公式應用到矩形m×n方格中，在考慮到幾種不同的條件後，我們都列出了相對應的通式來求得我們所需要的答案。

曾有同學提出疑問：如何在三角形內找到一個到三邊距離總和為定值的點？嗯 … 「內心到三邊等距。」「平行線間距離相等。」「交軌法？不對，與 『 三 』 邊應該沒有關係。」雖然眾口議論紛紛許久，問題仍然是一團迷霧，這些想法是樣樣有道理，卻個個行不通，使我不禁在課餘時間多看它兩眼。究竟，這問題是否有撥雲見日的一天 … ？

一、本研究探討正方形內有一個同中心的正方形，由外部正方形邊上的一個點出發，反覆對內部正方形的頂點作連頂線註一所產生的圖形。 二、我們發現原正多邊形和其內部同中心的正多邊形的邊長比例會有一個臨界值，若小於等於這個臨界值，反覆作連頂線的結果會產生原正多邊形的內接正多邊形，若大於臨界值，則在一定的條件下會產生多角星。 三、原正n邊形與其內部的正n邊形會產生內接正n邊形的邊長比值臨界值為{csc[(n-2)×90°÷n]}2。 四、整理出Xn、外部正方形邊長a及內部正方形邊長b與繪製出來圖形三者之間的關係。

從此次的科展中，您將看到不同於以往圓及橢圓的作圖法，以及由新的作圖法衍生出一套有系統可推廣的數學架構，並能應用到實際生活上，例如：安全系統、防護罩、遠距傳聲。

有一次，我們看到陽光照射在走廊圍牆時，發現圍牆的圓洞，隨陽光變換而有不同(圓的變成扁的)，難道形狀和陽光有關嗎？它的影響是怎樣呢？我們結合圓形與比例的關係，動手做做看有那些變化。

在一次五子棋的廝殺中，為了避免弟妹干擾玩耍的興致，因此隨便抓了一把棋子讓他們玩玩，沒想到他們用了相同多的棋子，排成了三角形與四邊形的圖形。我們覺得蠻有趣的，因此我們想到一個研究的問題：「在移動最少棋子的條件限制下，將三角形數移成平行四邊形數」。我們稱這一個方法為「4＝3 切割法」，運用這個切割法的結論我們知道：一、 所有的三角形數皆等於平行四邊形數(合數)。二、 「三角形數＝菱形數」等價於「n(n+1)/2=完全平方數」的問題，而且在一億個n 值當中，只有10 個數值滿足「三角形數＝菱形數」。三、求根號2的有理逼近分數並估計誤差。四、 比較「4＝3 切割法」所求逼近根號2的分數與連分數展開所計算的分數，展現有趣的關係。綜合這些性質，我們發現研究主題皆與“根號2”息息相扣，在此不得不讚嘆「數」的美妙。

本研究的主要目的是探討瓢蟲在空間中行走的軌跡是否存在著某些性質。我們定義瓢蟲分別繞y軸和z軸旋轉θ和 Φ，我們發現當旋轉次數n→∞ ，各收斂點P均位於球面S:(x-1/1-r2)2+y2+z2=(r/1-r2)2 上。接著我們探討當瓢蟲的仰角θ=cos-1r與-cos-1r時，不論轉向角Φ為幾度，瓢蟲分別收斂於固定點A(1, 0, r√1-r2/1-r2) 與B(1, 0, -r√1-r2/1-r2)。透過幾何證明，我們發現直線AB與y軸恰為球面S的配極直線。透過基底變換後，每個轉向點均位於一圓錐面x2+y2=a2(c-z/c)2 上，且繞行的原點O及轉向點Pn均位在一等角螺線G上，G:{x=artcostα y=artsintα(t∈R) z=c(1-rt) 。從高觀點來看，各轉向點是經過一個收縮的仿射變換而來，而收斂點 就是瓢蟲行走軌跡的點吸子(attractor)。最後，我們將軌跡呈現的圖形與自然現象連結。