已知n為偶數，若能夠將 1、2、3、…、n 兩個兩個配對，使得每一對的數字和都是完全平方數，那麼這個偶數n就叫做方舞數。例如：8、14、16 就是方舞數。 本研究是參考「台北縣97學年度國民中小學科學展覽」，優等獎作品「平方之舞－方舞數的研究」，進行探討與研究，並提出新的方法與結論。 我們得到了不同的結論，也就是除了 2、4、6、10、12、20、22 這7個偶數外，其餘的偶數都是方舞數，此外，也找到了方舞數有系統的配對方法。

本研究源自第49屆中小學科展國小組「數字拼圖」，原作品找出了單一對角線的最大數字和，我們進一步將研究擴展到兩條對角線的最大數字和。 我們發現依遊戲規則將數字填滿所有格子是「漢米爾頓路徑」問題，所以我們重新由較單純的「單一對角線」出發，去尋找填數時餘格「漢米爾頓路徑」的限制，再利用這些發現，去找出雙對角線的填數規律，並將單對角線與雙對角線最大數字和的公式符號化。 以漢米爾頓路徑填完所有餘格的限制，除了一般熟知的「單一路徑」、「色格與白格的差」之外，影響我們找出最大值的關鍵是餘格出現的「階梯形階數」不可超過3階。這項發現讓我們找出雙對角線最大數字和的「填數規律」，並推出了雙對角線最大數字和的公式。

因為讀數論的同餘方程時，看到許多一元二次同餘方程的解法，又在不定方程中遇到ax2 + by2 = k 這樣的題目，使我開始思考這個問題。

我們這份研究主要是看到了IMO 預選題題冊裡面的一題「當都不被2 整除時，求n 的條件？」後，決定要做更進一步、更大範圍的研究，我們把2 換成其他質數或其他質數冪次方等，試著找出在符合所設條件時的n 及質數a 的關係。 這個研究分為兩部分： 一、探討二項式中某一單項，若不被（或被）正整數a 整除時，n、r 與a 的關係。 二、探討二項式係數都不被正整數a的倍數整除時，n 與r的關係。 ◎ 第一部份，我們用了餘數的關係與不同的進位制去導出n、r 與a 的關係。 在此部份所得到的結果分成兩部分： (1)當a 只含一個質因數時，可求出n、r 與a 的關係。 (2)當a 含有兩個以上的質因數時，則要同時滿足a 的所有質因數的條件。 ◎ 第二部份，我們用了兩種方法去證明我們的結果。 一個是用解原題所引申的方法去證的。另一個是利用第一部份中所得到的結果去配合證明的。 在此部份所得到的結果分成二種： (1) a 只含一個質因數時，可求出n、a 的關係之充要條件。 (2) a 含有兩個以上的質因數，雖然我們不能有n、a 的關係之充要條件，但卻可求出n 的充分條件與例外的範圍。 接下來，再探討n 項式係數時，運用了前面兩部分研究的結論。但由於n 項式係數中受到了許多限制，我們只研究出了當a 為質數時的條件。 而未來，我們除了希望能有更簡易的方法來表示a 為合數時的條件，也希望能夠在n 項式係數的研究中，能夠有更多的發揮。

本研究主要是探討自然數系中，在t進位制k次方和的遞迴運算下，針對其週期解(自戀環)與不動點(完美自戀數)的存在性，進行一系列系統性的研究。 在自戀環的研究中，我們發展最適子區間的理論，期能最短的時間內求出自戀環；在二階完美自戀數研究過程中，我們不僅給出存在性的證明，利用數論上的定理證出自戀數C(t)的個數理論：C(t)=(∑d︱t2+11) -2。再分別利用Pell方程與聯立方程的方法給出二階完美自戀數的遞迴解與通式解，並且發展實用的電腦運算理論。 最後在三階完美自戀數的探討中，我們更將四元三次不定方程，轉換成聯立方程組求解的線性問題，目前已可將t進位制以9做分類，當r=1~8時t=9k+r的三階完美自戀數皆可找到相對應的通式解。

主要探討凸四邊形中，是否能找出與每一邊都平行且與每一邊都有一個交點的一條封閉路徑及其具體尋找的方法，其重點擺在如何尋找此封閉路徑一開始的起始點及尋找封閉路徑。

一、利用Disjoint cycles分析初始牌卡，定義符號⊕作為Cycle拆解成數個Cycles的步驟合成，而數字歸位則為拆解步驟的逆推。發現特殊的Cycle類型，數字歸位有固定策略。 二、m-cycle內部通路至少要m-2條才可能成功，且最少需要m-1步。 三、數字歸位可利用歸位判斷法、Cycle拆解法、Cycles的互補數歸位法，找出可能歸位方式。 四、 判斷數字歸位的最少步數，步驟如下： (一)以Disjoint cycles表示初始牌卡。 (二)檢查每個Cycle內部及Cycles間是否有通路連接。 若是，最少步數為n-(cycle數)。 若否，選擇合適的Cycle打破，最少步數為n-(cycle數)+(打破次數)x2 。 五、n張牌卡數字歸位的方法不唯一，但最少步數皆相同且介於n-(cycle數)到n-1之間。 六、選數控制歸位法是採大數先歸位原則，搭配三個策略，控制下一步欲選取的數。反覆操作，必可將數字歸位，但未必是最少步數。

由遞迴關係式產生的數列各項除以質數k後，會產生一個循環的餘數數列，故本研究主要探討其最小循環節性質。我們先得到g階遞迴數列的循環狀況，在特殊情況下，餘數數列會成純循環。 若將最小循環節各項加總起來，除特殊狀況外，其和皆是k的倍數。在二階遞迴數列中，由於最小循環節必能分成數個每段項數相等的數列，將其依序排成有序的形式後，相鄰二行會具有倍數關係，在某些排法中橫列數字和必為k的倍數。我們還得到簡化計算循環節長度的過程，並且知道若餘數數列非等比數列模k後的形式時，則起始值對最小循環節長度無影響。

本科展內容為研究正n邊形對角線在圖形內形成的交點數。我們一開始利用Geogebra畫出圖形，進行對角線交點數的觀察。接下來我們針對中線上的三條對角線交點進行探討，求出中線上對角線三線共點個數公式。之後我們將圖形座標化，利用三角函數計算出中線上交點座標，再用求出的公式代入Excel，發現中線上五線共點只會出現在6的倍數上，七線共點只會出現在30的倍數上，我們將其表格化，觀察規律。但由於n為6的倍數時，其中線上的交點呈現十分複雜之狀態，因此我們先針對非6倍數中線外的對角線三線共點進行探討，得到公式。最後我們將所有對角線三線共點個數公式化簡，推導出非6倍數正偶數n邊形內部所有對角線交點數的公式：If n = 4k+2： C4n-(5n3-45n2+70n-24)/24，If n =4k：C4n-(5n3-45n2+106n-24)/24

本研究利用頂點圖探討三維空間中的正多面體及四維空間中的正多胞體圖形有幾種，並推廣至n維空間。四維空間中的正多胞體是用三維正多面體的圖形所堆疊出來，因此我們透過三維空間中的正多面體頂點圖探討四維空間中的正多胞體有幾種，進而推廣至n維空間。本研究透過遞迴式及數學歸納法探討n維空間中正多胞體（單純形、超方形、正軸形）之點、線、面的一般化結果。本研究利用代數及幾何的方式探討二維平面及三維立體圖形的對稱旋轉方式，再利用頂點圖去探討四維空間中正多胞體的對稱旋轉方式有幾種，並推廣至n維使其一般化。