數學科

二十世紀中期，組合數學開始發展，五元方格（pentomino）積木（介紹見研究方法及過程）正是其中之一，五元方格的變化數以萬計，我們選擇別人尚未研究的範疇來研究。這個積木迷人的地方是－「看起來沒有規律，但又藏有少許的規律。」有規律的數學規則或定理，雖然難，但人的智慧總可以破解的；沒有規律的數學，看似簡單，卻讓我們嚐盡了的苦頭。我們主要研究4X15（由五元方格排出的寬4 單位長15 單位平面圖形）由2D 轉變成為3D 的立體變化，首先我們先將4X15 的368 種排法列出並編號（見附件一），其次把能夠變化成相同立體圖形的2D 答案列出來，因為時間有限，我們只研究了53 種的立體變化，但受益良多。這次的研究我們學到：（一）在解題當中如果一時找不出答案，可以從另一個角度想想看，會有意想不到的收穫。（二）做一件事情，團體的合作比個人的突出更重要。（三）數學可以用在任何的地方，真是受益無窮。（四）有規律的東西雖難，但人的智慧總可以破解的；沒有規律的東西看起來簡單，卻難以掌握其條理和變化。（五）尋找條件越多的立體圖形，只要知道其中的關係，就可以利用其他有相同條件的立體圖形來找它們的交集，可更快速找出答案。

在研究過程中，我們首先針對最基本的問題：給定一正整數 p ，如何分解成公差為 1 的等差級數。利用求和公式中奇偶性的關係導出結論，包括哪些數不能分解及分解法數。推廣到任意公差後，我們發現在公差大於等於 3 時，就算首項為負數也不一定會相消，遂將先前首項為正整數的限制放寬至整數。再來改為限制項數。上面的結論除了以代數推導出來以外，亦使用幾何圖形作直觀的解釋。最後是階差級數，在一階階差的範圍作討論。

1. 對於任意三角形都會有一個內切圓，但不是每個四邊形都會有內切圓。具有一個內切圓的圓外切四邊形其兩組對邊長度和是相等的關係；此圓外切四邊形的面積也是該四邊形半周長與內切圓半徑的乘積。 2. 本研究藉由原本可能沒有內切圓的四邊形的一組較長對邊上的點，連接成一條對邊連線段，將四邊形分成兩個有內切圓的小四邊形，或是推廣分成三個、四個甚至更多個具有內切圓的小四邊形，嘗試找出這樣分割的對邊連線段長與原四邊形的四邊長的規律關係。 3. 只要有內切圓存在的四邊形，不管該四邊形分割成一個或兩個或更多個，則此原四邊形面積與諸個小四邊形半周長和內切圓半徑之間的關係式也有一定的規律存在。

我們在討論 John Mason 的 Thinking Mathematically 時，發現一個有趣的問題：「隨便寫下一個 0 和 l 的排列，若連續兩個相同的話， 在它們下面寫一個 0 ，否則寫一個 1 。重複這過程直到你只剩下一個阿拉伯數字數字。能預測最後一個是什麼嗎？」如： \r \r 此題看似簡單，但涉獵其中後，卻令我們沉迷於它的奧秘，進而想繼續探討。我們能預測最後一個數嗎？能擴展這個系統嗎？能知道 1 的個數嗎？

在我們一次數學課程中，一題搶到最後棋子的人獲勝的題目，勾起了我們的好奇心，在這個看似公平的遊戲，裡面卻暗藏著許多的不公平，所以我們希望能看透箇中奧秘，觀察之間的關連，並進一步歸納是否有必勝的方法。

數學課介紹了相似三角形有關的性質後，老師說一般的三角形很難僅以一條直線將原三角形分割成兩個相似的三角形，除非他是已具有某些特性的三角形，例如：直角三角形，我們只要過直角頂往斜邊作一垂線，立即可將原三角形剖開成兩個小三角形，而且這兩個小三角形皆與原三角形相似，如圖(1)，老師並進一步的由這些相似三角形推出母子定理，並證明了商高定理，他要求我們看看能不能從這三角形中再找出一些什麼其他的特性來，我們也覺得很有趣，特別注意這個三角形好幾天，有一天，阿文忽然高興得跳了起來，說他發現了一樣東西，他說仿照老師的作法，過 D ，再作 DE ⊥ AC ，則 △ DEA 的三邊和原 △ ABC 的三邊都一邊對應一邊互相垂直，如圖(2)，我們告訴老師這個發現時，老師稱讚了一番，並要我們對其他三角形也做做看，看是否也能做出來，於是我們開始著手研究。

看到書上介紹內、外角及幾何圖形之後，我們就想，如果從一個點出發移動一段長度再轉動某個角度，再這樣重複下去，會形成怎樣的圖形？會不會回到原出發點？若換成數種長度或數種角度，又會如何？我們針對此問題作研究。我們發現，只走一種長度且只走一種角度時，所有的轉折點皆會落在同一個圓上，因此只要角度為有理數，必定回到原出發點。而兩種長度以上(包括角度改變時)只要轉的度數是有理數，大部分圖形皆可以用線段平移的方式將其圍成數個一種長度，轉一種角度的多邊形(或多角星形)推論會回到原點。只有當一個循環所轉的度數和為 360 的倍數時，才會有特例:可能是回到原點，也可能是朝某一方向不斷延展出去而更遠離原點。

在平面上，有A、B兩點及一直線L，欲在直線L上找一點P，使得 的比值最大或最小，亦即將視為一單位，若為的λ倍，那麼x的最大或最小值為何？動點P除了在平面的直線上變動外，也可能在圓、橢圓、拋物線、其他封閉圖形如圓的部份圖形或封閉區域如三角形區域內變動，甚至在空間中的直線、圓、平面、球面、或封閉區域如四面體的表面上變動，我們都努力地試著尋求的最小或最大值。

以一任意三角形三邊向外做正方形，相鄰正方形頂點兩兩相連。為了敘述方便，我們稱正方形頂點兩兩相連所圍成的區域作(第一層)衍生形。以形成的三個衍生形再向外作正方形並將相鄰頂點連線，得到第二層衍生形。以此類推得到第n層衍生形。本研究首先探討衍生形重心形成的三角形與正方形重心的幾何關係、衍生形與原三角形的面積關係，再增加正多邊形的邊數或衍生形的層數與原三角形的幾何關係。本文主要使用向量及相似形證明所發現的幾何性質。後半部分我們將原本三角形向外作正方形改為作正五邊形，繼續n層衍生形等幾何性質的探討。最後，我們還發現第二層後的衍生形皆為梯形，同一層的衍生形面積相等，且與原三角形面積比值an-5an-1-an-2。

將一個正五邊形的每一個邊延長，就可以圍成一個五角星行（Ｐｅｎｔａｇｒａｍ）。如果在五角星形的十個點上，把它填入十個整數，使得一條邊上的四個數字總和等於一個定數，則符合這樣規則的圖形，我們把它稱作幻五角星形（Ｍａｇｉｃ Ｐｅｎｔａｇｒａｍｓ）或五階魔星陣（Ｏｒｄｅｒ－５ Ｍａｇｉｃ Ｓｔａｒｓ）。本研究主要在探索五階魔星陣之各種變形的規律及尋找最佳的解答，並提出新的建構方法改進趙文敏教授所提供之五階魔星陣的建構方法。