一、 本研究的最初來源系出自 Crux Mathematicorum 的第1367 題，原題目為： 在n 個並列圓的圖形上，放置數個相同的圓，放置的要求為： (1)為了使圖形中的圓穩固，上一列的圓必須與下一列的兩個圓相切。 (2)任一列的圓必須相連。 例如：圖一與圖二是不被允許的，而圖三則符合要求。 因此，當n = 3 時，共有下列5 種不同的方式。 試問：令an 為底座是n 個並列圓的放置的方法數，求an 的一般公式。 由於翻譯時漏了第(2)個條件，竟意外的得到一個美妙的結果：在此問題中， 若要求相連，則得到費氏數(Fibonacci Numbers)； 若要求可不相連，則得到凱特蘭數(Catalan Numbers)。即 (1)要求相連時（n 階圓塔），放置方法數的一般項 (2)要求可不相連時（n 階廣義圓塔），放置方法數的一般項 二、 接著將底座改成放置在平面上的球（有正方形放置或正三角形擺放兩種）， (1)正方形放置的（方形球塔），其放置方法數的遞迴式為 (2)正三角形放置的（三角球塔），其放置方法數的遞迴式為 其中[x]為高斯符號。

（一）問題：推銷員要將每戶人家都訪問到，但為了節省時間及精力，每戶人家必不重複走到！是否每次出門訪問時，都可找到一條「推銷員路線」？對於不同點數、不同線路連節方式的圖形，要如何輕易地分辨是否有推銷員路線？（二）解決過程：以 0、1 為字元，由數個 0、1 組成字串，將圖形中每個點用字串表示，例如： 以二字元表示四個點 00、01、11、10若路線為 00 01 11 10，則可用「記憶輪」0011 表示，記憶輪中尾數後一字元「0」與首數前一字元「0」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。當然圖形中的點要用字串標示，需要多次嘗試！而四個點以上就必需要用三字原來表示?例如：七個點 001、011、111、110、101、010、100若路線為 001 011 111 110 101 010 100，且首尾可接的起來，則可用「記憶輪」0011101 表示，記憶輪中尾數後兩字元「00」與首數前兩字元「00」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。經過多次嘗試、推論並驗證後得到：圖形若有推銷員路線，其路線必可用記憶輪來表示（三）結果：1. 我們利用簡化圖形來標點，並利用記憶輪，可使得在較難看出是否有推銷員路線的圖形中，較快找到通路、來判斷其是否有通路。2.雖然過程中有一些簡單圖形很容易就可以看出是否有推銷員路線，但利用記憶輪的方式來討論，可以幫助我們在面對更複雜的圖形時，能夠將其推廣進而解決問題。3.有時找到的通路雖然無法表示成記憶輪，但它確實是條推銷員路線，亦符合當初我們的目的。對推銷員而言，如此則可判別圖形是否有推銷員路線，若有，則路線為何。

在我們的研究中，先探討給定一個無向圖(undirected graph)並能使圖形必定connected的線段數E的條件，再以此得到圖形connected的機率範圍。我們接著引用已知整數數列A001187(參見參考資料[1])類似的方法來解決隨機圖(Random Graph)的根本問題：給定一個圖G(n, E)，假定任兩個點連接的機率是常數p，求出該圖能形成connected的機率。接著我們將前述結論做推廣，假設該圖有兩子圖(subgraph)，其中各子圖中的邊，相連的機率分別為p及p1，求出該圖能形成connected的機率。在這個過程中，在限制G(n, E)中最大連通子集的頂點數目下，我們也對於圖形不連通的機率做了許多研究。

本研究發想源自將1~12的棋子填入六角星形，使其每一個邊數字和、六個頂點和都為26，將其推廣到多角星形情境中。研究中證明唯有六角星形能滿足頂點和與邊數字和相等，且只有6種排列方式，並探討出多角星形的數字組合特徵與完成策略，同時找出通解個數及證明頂點和與解之間有對稱性。

「立即瘋」遊戲，是由四塊立方體（正六面體）組成，每塊立方體分別有紅、白、藍、綠四種顏色，但每塊立方體顏色的分佈並不相同。而玩這種遊戲的目標是把四塊立方體疊成柱形(四塊立方體的順序沒有限制)，一個疊在一個上面，使柱子的四個側面，都恰有紅、白、藍、綠四種顏色。我們定義：若在同一個方塊的六個面中，存在一個顏色出現三個面時，我們以S表示，則4S表示四個方塊均為S；若在同一個方塊的六個面中，存在兩個顏色各出現兩個面時，我們以T表示，則4T表示四個方塊均為T。而本次作品主要是透過點線圖來研究：在「立即瘋」遊戲的規則下，針對紅、白、藍、綠四種顏色的分佈為4S及4T的情形，探討是否有其對應解。

我們利用進位分解的方法，將組合數對一質數做同餘。並探討巴斯卡三角形其中一列對一質數同餘後，各個餘數數量的關係。

本文探討了特定問題的組合最佳化，所謂組合最佳化就是在共同限制及相互影響下，來求得最佳解。一個組合最佳化問題的困難，往往是由於其龐大的解空間所致。本文介紹了貓抓老鼠問題的組合最佳化，並在第一步中，以歸納法解決了一個較簡單的例子。經由我們歸納的結果，我們一共得到了五個證明，來推廣每個頂點相等通道的一般性，並且得到了四個相等通道問題所應該有的性質，之後我們又用了二個證明，推廣在完全對稱下所需的結果。第二步中，我們又用了四個證明，將問題推廣到每個頂點不相等通道的問題，並且以二個不等通道的範例，闡釋了我們所得的結果。我們所得到的結果，能有效的解決解空間不大的某些特定問題，尤其是以人工來解決問題時，提供了一個絕佳的途徑。然而當解空間變得較大且邊數不等時，即使有不錯的結果，問題也會變的非常的複雜。我們在特例探討上，解釋了即使是單純且限制了許多條件的問題，要證明一般性也不是這樣容易，所以當問題變大時，我們改以組合最佳化的最佳解逼近來取代求最佳解，而不直接求最佳解。一個好的最佳解逼近就是在可接受的時間範圍內，求得逼近最佳解。當然我們仍能以暴力法則求得最佳解，但時間範圍是我們所不能接受的，故在此不予討論。

有次上數學課，老師談到我們以前常玩的九宮遊戲，如圖(一) ，老師說各行、列、對角線的平衡配號常隱含一些有趣的現象在裡頭，只要同學仔細觀察即可發現，而在立體圖中也應有很多特殊現象待我們去發掘，我突然想起用四面體來觀察看看，也許能發現什麼，底下即為我的研究。 \r

(一)在數學課裡我們學到「四邊形各邊長度固定，它的形狀和大小會改變。」於是心中產生了一個疑問：「四邊形的形狀和大小的改變，在何種情形下面積會最大呢？」\r (二)又學到「四邊形和三角形面積」這一單元，知道四邊形由兩個三角形構成，於是心裡想：「四邊形的對角線和面積是否也有關係？」。\r (三)我們想從最簡單的三角形來討論面積的大小可能和什麼有關係呢？

本作品主要是從「立即瘋」遊戲的解題過程，突發奇想，試著設計全新的「立即瘋」遊戲，甚至更「瘋」的益智玩具，並確認這全新設計和「立即瘋」一樣，只有唯一解。「立即瘋」原設計的木頭材料不容易處理和發展，所以改用智慧片取代。透過對原設計的解題瞭解後，我們自行用正八面體設計不同顏色變化和位置，並進行比對、分析和檢驗。本作品主要結果如下：一、有條理且有效率的解決原設計的「立即瘋」遊戲。二、重新試著設計不同顏色的新「立即瘋」遊戲，並確認只有唯一解。三、設計創造正八面體的「究極瘋」遊戲，並確認只有唯一解。綜合言之，我應用了「顏色表格化分析」和「分組分析」，能有效和有效率的解決「立即瘋」問題，並設計創造全新的「究極瘋」遊戲。最後，我希望設計完整的一套有趣的「究極瘋」系列學習活動。