數學科

以一任意三角形三邊向外做正方形，相鄰正方形頂點兩兩相連。為了敘述方便，我們稱正方形頂點兩兩相連所圍成的區域作(第一層)衍生形。以形成的三個衍生形再向外作正方形並將相鄰頂點連線，得到第二層衍生形。以此類推得到第n層衍生形。本研究首先探討衍生形重心形成的三角形與正方形重心的幾何關係、衍生形與原三角形的面積關係，再增加正多邊形的邊數或衍生形的層數與原三角形的幾何關係。本文主要使用向量及相似形證明所發現的幾何性質。後半部分我們將原本三角形向外作正方形改為作正五邊形，繼續n層衍生形等幾何性質的探討。最後，我們還發現第二層後的衍生形皆為梯形，同一層的衍生形面積相等，且與原三角形面積比值an-5an-1-an-2。

給定任意一個三角形，三個內角的三等分線兩兩交於三點，此三點形成一個等邊三角形，稱為莫利三角形(First Morley Triangle)。本作品從莫利三角形所牽涉到的三個特殊點開始： First Morley Center (FMC)：即莫利三角形的重心。 Second Morley Center：即原三角形與莫利三角形對應頂點間的連線的交點。 Third Morley Center：即原三角形與First Morley Adjunct Triangle對應頂點間的連線的交點。 我們巧妙證明了這三個特殊點共線，並進一步推廣到所有與原三角形的三等分線相關的18個正三角形(ΔDqrErpFpq) 。我們發現這些正三角形都存在對原三角形的Morley Line。除此之外，本作品最重要的成果是證明了： 當p+q+r=0 (mod 3)，p-1 q-1 r-1 -FMC在pqr -Morley Line上； 當p+q+r=2 (mod 3)，p+1 q+1 r+1 -FMC在pqr -Morley Line上； 並由此建構出在這18個正三角形中的三元組(triad)關係。

本文探討了特定問題的組合最佳化，所謂組合最佳化就是在共同限制及相互影響下，來求得最佳解。一個組合最佳化問題的困難，往往是由於其龐大的解空間所致。本文介紹了貓抓老鼠問題的組合最佳化，並在第一步中，以歸納法解決了一個較簡單的例子。經由我們歸納的結果，我們一共得到了五個證明，來推廣每個頂點相等通道的一般性，並且得到了四個相等通道問題所應該有的性質，之後我們又用了二個證明，推廣在完全對稱下所需的結果。第二步中，我們又用了四個證明，將問題推廣到每個頂點不相等通道的問題，並且以二個不等通道的範例，闡釋了我們所得的結果。我們所得到的結果，能有效的解決解空間不大的某些特定問題，尤其是以人工來解決問題時，提供了一個絕佳的途徑。然而當解空間變得較大且邊數不等時，即使有不錯的結果，問題也會變的非常的複雜。我們在特例探討上，解釋了即使是單純且限制了許多條件的問題，要證明一般性也不是這樣容易，所以當問題變大時，我們改以組合最佳化的最佳解逼近來取代求最佳解，而不直接求最佳解。一個好的最佳解逼近就是在可接受的時間範圍內，求得逼近最佳解。當然我們仍能以暴力法則求得最佳解，但時間範圍是我們所不能接受的，故在此不予討論。

在平面上，有A、B兩點及一直線L，欲在直線L上找一點P，使得 的比值最大或最小，亦即將視為一單位，若為的λ倍，那麼x的最大或最小值為何？動點P除了在平面的直線上變動外，也可能在圓、橢圓、拋物線、其他封閉圖形如圓的部份圖形或封閉區域如三角形區域內變動，甚至在空間中的直線、圓、平面、球面、或封閉區域如四面體的表面上變動，我們都努力地試著尋求的最小或最大值。

本研究源自書中《彩色骨牌》遊戲：一副骨牌28張，用七種不同顏色表示數字0~6，同時在7 × 8矩形中以顏色次數加總提示每行、每列共15個總和關係，最後依提示計算出各顏色代表的數字，並用28張骨牌重現之。研究成果如下： 一、 聯立方程式能有效解決數字顏色條件化的計算，同時也可從遊戲設計者的觀點掌握，了解已知總和條件的設定應避免給予兩組以上的相似聯立方程式。 二、 彩色骨牌鑲入唯一解作法應事先排除會造成多重複鑲入方法的條件，如避免出現2×2方格內對角線數字相同。 三、 自創新式彩色骨牌數學問題，可藉由中央和k值與四核心矩形總和S值的關係：(骨牌總點數 + k) ÷ 4 = S，去推算規則、找到一般化的結果，且變化性可無限延伸。

簡單的說，我們是要在三角形、四邊形或凸多邊形的內部找一點P，使得P 連接到各邊上給定的點後，即可等分面積。概念如下圖： 不過由於多邊形難度較高，因此我們從三角形或四邊形開始。而邊上找的點則先由中點開始。

這個研究是針對「避免囚犯串供的偵訊選取囚犯的方法數」進行分析。(1)首先，用圖形劃記分析，找出當有 1-9 個囚犯排成一列等待偵訊，一次至少間隔(2)進一步，將囚犯以數字編號，然後用樹狀圖列出可能選取囚犯的方法數，確認了劃記的正確性。(3)接著，依照囚犯人數及間隔人數的不同，我們找出總方法數、固定偵訊人數時的方法數、以囚犯編號計次的方法數各種數列。(4)分析這些數列，尋找數列的規則，希望能找出問題的解答，在尋找答案的過程中，真的有許多令自己驚訝的發現。

在研究過程中，我們首先針對最基本的問題：給定一正整數 p ，如何分解成公差為 1 的等差級數。利用求和公式中奇偶性的關係導出結論，包括哪些數不能分解及分解法數。推廣到任意公差後，我們發現在公差大於等於 3 時，就算首項為負數也不一定會相消，遂將先前首項為正整數的限制放寬至整數。再來改為限制項數。上面的結論除了以代數推導出來以外，亦使用幾何圖形作直觀的解釋。最後是階差級數，在一階階差的範圍作討論。

數學課介紹了相似三角形有關的性質後，老師說一般的三角形很難僅以一條直線將原三角形分割成兩個相似的三角形，除非他是已具有某些特性的三角形，例如：直角三角形，我們只要過直角頂往斜邊作一垂線，立即可將原三角形剖開成兩個小三角形，而且這兩個小三角形皆與原三角形相似，如圖(1)，老師並進一步的由這些相似三角形推出母子定理，並證明了商高定理，他要求我們看看能不能從這三角形中再找出一些什麼其他的特性來，我們也覺得很有趣，特別注意這個三角形好幾天，有一天，阿文忽然高興得跳了起來，說他發現了一樣東西，他說仿照老師的作法，過 D ，再作 DE ⊥ AC ，則 △ DEA 的三邊和原 △ ABC 的三邊都一邊對應一邊互相垂直，如圖(2)，我們告訴老師這個發現時，老師稱讚了一番，並要我們對其他三角形也做做看，看是否也能做出來，於是我們開始著手研究。

1. 對於任意三角形都會有一個內切圓，但不是每個四邊形都會有內切圓。具有一個內切圓的圓外切四邊形其兩組對邊長度和是相等的關係；此圓外切四邊形的面積也是該四邊形半周長與內切圓半徑的乘積。 2. 本研究藉由原本可能沒有內切圓的四邊形的一組較長對邊上的點，連接成一條對邊連線段，將四邊形分成兩個有內切圓的小四邊形，或是推廣分成三個、四個甚至更多個具有內切圓的小四邊形，嘗試找出這樣分割的對邊連線段長與原四邊形的四邊長的規律關係。 3. 只要有內切圓存在的四邊形，不管該四邊形分割成一個或兩個或更多個，則此原四邊形面積與諸個小四邊形半周長和內切圓半徑之間的關係式也有一定的規律存在。