數學科

面積是正整數的整數邊三角形就是海倫三角形；整數邊的直角三角形就是畢氏三角形。本研究先透過圓點方陣得到兩組基本的畢氏三角形的邊長生成公式，並且證明這兩組基本的畢氏三角形都是海倫三角形；接著，取其中一組基本的畢氏三角形加以複製，成為有一條公共邊的兩個相同畢氏三角形，接著拼接成四組三角形，並且證明這四組三角形都是海倫三角形；更進一步，把這兩組基本的畢氏三角形各放大到適當的倍數後，成為有一條公共邊的兩個不同的畢氏三角形，接著拼接成六組不同的三角形和剪接成六組不同的三角形，並且證明這十二組三角形都是海倫三角形。因此，本研究總共得到十八組海倫三角形的邊長生成公式。

一、利用Disjoint cycles分析初始牌卡，定義符號⊕作為Cycle拆解成數個Cycles的步驟合成，而數字歸位則為拆解步驟的逆推。發現特殊的Cycle類型，數字歸位有固定策略。 二、m-cycle內部通路至少要m-2條才可能成功，且最少需要m-1步。 三、數字歸位可利用歸位判斷法、Cycle拆解法、Cycles的互補數歸位法，找出可能歸位方式。 四、 判斷數字歸位的最少步數，步驟如下： (一)以Disjoint cycles表示初始牌卡。 (二)檢查每個Cycle內部及Cycles間是否有通路連接。 若是，最少步數為n-(cycle數)。 若否，選擇合適的Cycle打破，最少步數為n-(cycle數)+(打破次數)x2 。 五、n張牌卡數字歸位的方法不唯一，但最少步數皆相同且介於n-(cycle數)到n-1之間。 六、選數控制歸位法是採大數先歸位原則，搭配三個策略，控制下一步欲選取的數。反覆操作，必可將數字歸位，但未必是最少步數。

某日，回味以前的國中課本時，看到三角形全等的條件，又突然想到現在所學的空間幾何，並未證明全等，於是邀集了同學，一起研討空間四面體的全等條件。

由遞迴關係式產生的數列各項除以質數k後，會產生一個循環的餘數數列，故本研究主要探討其最小循環節性質。我們先得到g階遞迴數列的循環狀況，在特殊情況下，餘數數列會成純循環。 若將最小循環節各項加總起來，除特殊狀況外，其和皆是k的倍數。在二階遞迴數列中，由於最小循環節必能分成數個每段項數相等的數列，將其依序排成有序的形式後，相鄰二行會具有倍數關係，在某些排法中橫列數字和必為k的倍數。我們還得到簡化計算循環節長度的過程，並且知道若餘數數列非等比數列模k後的形式時，則起始值對最小循環節長度無影響。

國中數學第三冊2-3的主題是「勾股定理」，或稱「畢氏定理」。我們討論的主題為畢氏數中的整數解，先看連續奇數的和與畢氏數的關係，再從「勾股定理」做討論，把勾分成奇數與偶數分別討論，得到兩個公式，但發現所得的公式並無法涵蓋所有的畢氏數，進而發現直角三角形中只可能會有偶偶偶或偶奇奇兩種情形，因此發展出另一個通式可涵蓋上述兩個公式，然後研究出直角三角形三邊長中一定會有一邊為3或4或5的倍數，而當三邊長的最大公因數為1時，不一定恰有一數為質數。

我們在討論 John Mason 的 Thinking Mathematically 時，發現一個有趣的問題：「隨便寫下一個 0 和 l 的排列，若連續兩個相同的話， 在它們下面寫一個 0 ，否則寫一個 1 。重複這過程直到你只剩下一個阿拉伯數字數字。能預測最後一個是什麼嗎？」如： \r \r 此題看似簡單，但涉獵其中後，卻令我們沉迷於它的奧秘，進而想繼續探討。我們能預測最後一個數嗎？能擴展這個系統嗎？能知道 1 的個數嗎？

在一款「世紀爭霸」的電玩遊戲裏，我們常常為了要派多少士兵傷腦筋。我們利用Excel模擬戰鬥的過程，整理最少士兵數的數型，本來想藉著數型的研究，找出最少士兵數的規律，沒想到最少士兵數卻極不規律。在最初的觀察例中，雖然似乎有一些週期性，但是模擬更多的觀察例後，週期性卻總有例外，挫折之餘，一度放棄這個研究。後來在學校數理資優實驗的課程中，老師替我們介紹許多的遞迴數列的例子和相關的知識，我們發現我們的問題和遞迴數列有些關聯，便重新研究這個問題。我們從最簡單的情形（即敵我雙方的攻擊力和生命值皆為1）開始，推導各回合敵我所剩士兵數的遞迴關係式，竟意外的發現這些遞迴關係式的係數形成費氏（Fibonacci）數列，透過費氏數列的性質，我們找到了這個最簡單情形的解答。我們將問題一般化，也成功的找出一些性質，並替我們的問題完整的解答，並且找到戰鬥所需回合與敵我士兵數的關係。最後，在老師的協助下，我們完成了我們所研究結果之證明。

本科展內容為研究正n邊形對角線在圖形內形成的交點數。我們一開始利用Geogebra畫出圖形，進行對角線交點數的觀察。接下來我們針對中線上的三條對角線交點進行探討，求出中線上對角線三線共點個數公式。之後我們將圖形座標化，利用三角函數計算出中線上交點座標，再用求出的公式代入Excel，發現中線上五線共點只會出現在6的倍數上，七線共點只會出現在30的倍數上，我們將其表格化，觀察規律。但由於n為6的倍數時，其中線上的交點呈現十分複雜之狀態，因此我們先針對非6倍數中線外的對角線三線共點進行探討，得到公式。最後我們將所有對角線三線共點個數公式化簡，推導出非6倍數正偶數n邊形內部所有對角線交點數的公式：If n = 4k+2： C4n-(5n3-45n2+70n-24)/24，If n =4k：C4n-(5n3-45n2+106n-24)/24

本文章之最大鄰升數「升頂值q」與「附值點鄰集Ωnp,q」源於都市計畫遊戲「Tower Bloxx」，再由「相鄰數p=4」將q提升至5=p+1。 第一部分，研究「鄰升數總和S(p,q,Ω)」過程中，找出基數覆蓋法、鑲嵌法、通道法、邊角分析法與左右加格法。以矩形鑲嵌拼圖Bm×54,5、Bm×54,5合併上述方式處理Ωm×n4,5，得到 一般式S(4,5,m×n)。 第二部分，定義方格狀點鄰集Vm×np，推廣在p=3,…,8、q=2,…,p,p+1時的S(p,q,m×n)一般式。並利用均值找出「完美填數定理」與「不取代鄰升數總和上界S^(p,q,m×n) 」公式。 第三部分，以Ωm×np,q(0)=Ωm×np,q處理策略繼續尋找「可取代鄰升數總和R(p,q,Ω)」時，同樣發現中心鑲嵌法，再轉化成「匯流魚鱗{Fm'×n'p,q}」與「鋪瓦法〈Fi(tj)〉」找出Ωm×np,q(h)與 一般式R(p,q,m×n)。 第四部分，論述應用方向，並將平面中的Jn(p+1)p,q 應用在輪胎面與球面，改裝部分魔術方塊與定義新玩法。在解決球面填數時，額外發現切割五邊形幾項幾何性質。

台上魔術師的表演總是會讓人驚嘆不已，「天啊！」「怎麼可能？」「他怎麼做到的？」，這些驚呼聲代表了這些魔術手法的奇妙之處，然而，我們了解，任何魔術其實都只是障眼法，背後必定有其對應的原理存在，尤其越是看似公平公正或是不可能完成的遊戲，背後隠藏的原理常是超乎想像的單純。 在一次的土法煉鋼中，發現它們也是有規律的，我們試著了解這些牌的流向及收斂位置， 進而利用代數證明推導出老師所使用的手法，接著好奇心強大的我們又想到:如果27張分三堆呢?33張?39張?可想而知接下來就是一連串的研究與觀察結果