數學科

本研究源自第49屆中小學科展國小組「數字拼圖」，原作品找出了單一對角線的最大數字和，我們進一步將研究擴展到兩條對角線的最大數字和。 我們發現依遊戲規則將數字填滿所有格子是「漢米爾頓路徑」問題，所以我們重新由較單純的「單一對角線」出發，去尋找填數時餘格「漢米爾頓路徑」的限制，再利用這些發現，去找出雙對角線的填數規律，並將單對角線與雙對角線最大數字和的公式符號化。 以漢米爾頓路徑填完所有餘格的限制，除了一般熟知的「單一路徑」、「色格與白格的差」之外，影響我們找出最大值的關鍵是餘格出現的「階梯形階數」不可超過3階。這項發現讓我們找出雙對角線最大數字和的「填數規律」，並推出了雙對角線最大數字和的公式。

以下這個組織圖，可以說明我們研究的始末。剛開始時我們注意到戲說數學中的18塗球遊戲，之後又在18塗球遊戲的遊戲規則後面看到十字型磁磚這個遊戲。因此我們的研究內容主要為：一、18塗球遊戲、17塗球遊戲；二、9×9十字型磁磚、8×8十字型磁磚、9×9一格遊戲、8×8一格遊戲

本作品研究並延伸建中通訊解題第五十九期一道題目：將一個 的變色棋盤分割成 個矩形，求其最大 值與其實際切割方法。我利用不等式、等差級數、函數等知識求得結果，並推展至一般的正方形與長方形棋盤，試著以方程解與棋盤簡化等方式求得最大 值，且計算出實際切割數的上界，而在最後歸納出正方形與長方形棋盤的通用切割方法。

下課時，許多人會在走廊上行走。如果只是想往某間教室的同學，會有特定的行走方向；倘若純粹散步、突然想起有東西忘了拿或另有他事，則會有折返的情形。觀察之餘可發現，不同的走動方式會有不同的相遇方式和相遇機率。由於狹窄的走廊若忽略之間的幾間教室，可視作一條一維的直線通道，則兩人相遇的情形可以分為：1.兩人皆不停走動 或 2.一人停下綁鞋帶時另一人不停走動，即為只有一人走動而相遇的情形。本文在建立一個機率模型來討論兩人相遇的方法數。於是假設數線上有相距d單位的A,B兩人，每次移動分別朝左右其中一個方向移動n,m單位，在文章中我們求出了兩人恰在第t次移動時相遇的方法數，因此也解決了一開始的機率問題。

原始問題：設P為正方形ABCD內部一點，且P到A、B、C的距離分別為1、2、3，試求正方形的面積。利用三角函數的和差角公式即可解出此題，我們想了解的是：若到三頂點的距離改變，正方形是否仍存在？我們先將問題簡化，將最短距離設為1，則距離變數將只剩下二個，再考慮只有兩種距離的情況，我們簡化問題至一個變數，利用平面旋轉變換，及Geogebra作圖猜測結果，成功利用作圖完成存在性證明。將此作法再推廣至三種距離的情況，並思考其他相關的四邊形：菱形、矩形、平行四邊形，發現皆能用旋轉伸縮變換處理。

七巧板是一個很好的學習教材，其中包含了幾種我們所熟悉的平面圖形，在探究圖形其性質之餘，我們發現在圖形組合中又可以演變出很多不同的形體變化，因此決定以七巧板作為我們研究發展的主題。從形體的組成要素探索，到兩兩配對組合能否形成鑲嵌圖形？再縮小研究範圍至正方形、長方形及平行四邊形等三種基本平面圖形，採用不同巧板不同塊數進行搭配組合成大小不同的三種基本平面圖形，再配合三種色彩及各種圖形轉換的技巧（水平翻轉、垂直翻轉、旋轉及交錯複製），創意出千變萬化的鑲嵌圖形基模，並且將這些鑲嵌圖形基模輸入電腦，利用繪圖軟體作大平面的鋪呈，形成一幅幅有創意的圖形，以做為我們美化居家環境的參考。整個研究中讓我們深深地感受到“數學即生活”，更讓我們體會到數學的唯美。

本研究利用幾何繪圖軟體，探索任意三角形建構的旁心連線三角形、旁心三角形、及其向外做的正三角形五心之間的性質，並用三角形全等及相似證明方式進行性質的證明。結果發現：1.旁心三角形之外心相連成的三角形必相似於旁心連線三角形，且為其1/2倍縮小圖，且此兩三角形之垂心必重合。2.旁心三角形之外心相連成的三角形之垂心必與原三角形之內心重合。3.任意三角形之旁心連線三角形無限增生將逐漸趨近於正三角形。4.任意三角形以各邊向外做正三角形各取相對應之三邊中點所連成之三角形必為正三角形。

在二年級時，老師曾在黑板上出了一道題目… … {A = 12□ 22□ 32□... □ 20032□ 20042□ 20052? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? }，但由於 2004 個□中，光是正負符號的填入方式就共有 22004 種，所以第一步我們決定先找出連續正整數之n次方值間的加減符號規律 ( n?Ν)，使進行加減法運算後所得之結果為零 。藉此可縮小所應討論的範圍。 [其加減符號規律如下] n=1 時 ，11 - 21 =-1， -31 + 41= 1 ? 11 - 21 -31 + 41= 0 由上式我們發現兩數一組，兩組相消 n=2 時 ，12 - 22 -32 + 42 - 4，-52+ 62 +72- 82 - -4 ? 12 - 22 -32 + 42 -52+ 62 +72- 82 - 0 由上式我們發現四數一組，兩組相消 … 接著我們針對題目 … … {A = 12 □ 22 □ 32 □... □(T2 - 2)2 □(T2 - 1)2 □T22? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? } 去探討後發現觀念甲：當T2被4 除後餘1 或2 時，A 的最小值不可能為0【參閱附件二】，於是我們分類型去探討，發現在八種情況之下，其所對應之最小A 值非1 即0？ 最後，我們再進一步將原題目推廣至 … … {A = 13 □ 23 □ 33 □... □(T3 - 2)3 □(T3 - 1)3 □T33? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? } 值得一提的是 ─ 事實上，我們不只可以知道其A 的最小非負整數值為何，甚至於可以找出一組其加減運算過程中□內的＋、－符號的排列順序。

一、國中、高中數學科作品之作者，都能對評審教授們從容作答，發表過程、結論、特色甚為難得，為部分國小學生上未能擺脫以往機械式報告亟待日後改進。 二、本年度高中作品皆金長期研究思考研究，問題皆相當深入完整，而國中作品，研究時間嫌匆促，宜與改進。 三、本年度大部分作品具有非常完整參考資料，但部分作品未能充分使用參考資料，導致事倍功半，甚為可惜。 四、今年作品除具數學內涵，能兼顧趣味與應用甚為難得。

一、在高一數學第一冊中，第三章的內容是等差與等比數列，由此我們可了解有許多數列都具有其一定規律，可用遞迴關係式來表示，甚至可進一步求出其一般式。我們經由簡單的小遊戲而產生的數據來討論，看其是否有特定的規律，並藉此規律去尋找出特定的公式，或者是根本沒有規律可循。二、我們經由簡單的例子出發去尋找規則，再作一連串的試驗、思考、推論，求出其遞迴關係式，並以各種方法嘗試找出一般式，使我們可更簡單容易地求出我們所要的目標。