Lagrange定理說明了：任一自然數均可寫成不超過四個自然數的平方和，同時對所有 8K-l(K N)型之自然數，則不能以不超過三個自然數的平方和表示出。關於立方和四次方和以上的討論，則是有名的華陵問題。仿此，我們定義函數 fm : N → N ( m (≧2) N )使得對於某些正整外( m= 2 時為完全平方數； m ≧ 3 時為兩個 m 次方數和)， fm(n)表示滿足下列條件之最大正整數： n 可表示成 k 個正整數之 m 次方和。本文的研究即是探討了的上界。

給定任意一個三角形，三個內角的三等分線兩兩交於三點，此三點形成一個等邊三角形，稱為莫利三角形(First Morley Triangle)。本作品從莫利三角形所牽涉到的三個特殊點開始： First Morley Center (FMC)：即莫利三角形的重心。 Second Morley Center：即原三角形與莫利三角形對應頂點間的連線的交點。 Third Morley Center：即原三角形與First Morley Adjunct Triangle對應頂點間的連線的交點。 我們巧妙證明了這三個特殊點共線，並進一步推廣到所有與原三角形的三等分線相關的18個正三角形(ΔDqrErpFpq) 。我們發現這些正三角形都存在對原三角形的Morley Line。除此之外，本作品最重要的成果是證明了： 當p+q+r=0 (mod 3)，p-1 q-1 r-1 -FMC在pqr -Morley Line上； 當p+q+r=2 (mod 3)，p+1 q+1 r+1 -FMC在pqr -Morley Line上； 並由此建構出在這18個正三角形中的三元組(triad)關係。

一、國中、高中數學科作品之作者，都能對評審教授們從容作答，發表過程、結論、特色甚為難得，為部分國小學生上未能擺脫以往機械式報告亟待日後改進。 二、本年度高中作品皆金長期研究思考研究，問題皆相當深入完整，而國中作品，研究時間嫌匆促，宜與改進。 三、本年度大部分作品具有非常完整參考資料，但部分作品未能充分使用參考資料，導致事倍功半，甚為可惜。 四、今年作品除具數學內涵，能兼顧趣味與應用甚為難得。

在五年級時，我們曾到過國立自然科學博物館內參觀，在地下樓『 數與形』單元展示區中，有一壓克力罩下，攤了個圓錐，錐旁畫了一些奇形怪狀的圖案，當我們從圓錐頭的頂端看下去時，圓錐鏡上竟出現了一匹白馬，大家都覺得很奇怪，想知道它是如何畫成的？

本研究的目的是希望透過不同的方式，能估測出目標物的平面面積，研究中利用一立方公分的古氏積本的投擲，計算在範圍內，古氏積木進入所設定圖形面積的數目，換算出其機率，而推算出其所設定圖形面積，比較推算的面積與真實面積的差距，找出一個比較有效且簡易的估算方式，進而利用此方式來預估不規則圖形的面積。研究結果古氏積木的數量愈多（與設定範圍的面積比愈高）與投擲的次數愈多，其估測的面積與真實面積值愈高。因此本研究可提供在簡易的遊戲中來預估不規則圖形的面積。教師在課堂上利用遊戲快樂學習數學機率及面積概念並在日常生活中應用。

我平常對數學就有很濃厚的興趣，而且隨時有機會接觸和數學有關的事物。此次由老師處得知有數學科展的活動，於是便在老師的鼓勵下利用寒假和課餘的時間從事研究，經由書上的資料，我選定了 「常寬圖形的探討」這個題目為研究主題，並邀學長一起深入研究，一同找尋資料來完成這一件作品。

「n 階圓塔」為平面上以n 個圓為底層的堆疊圖形，例如：為3 階圓塔之全部圖形。本科展內容旨在研究平面中，用硬幣堆疊n 階圓塔的圖形種類與個數。我們找到了一種有系統的圖形分類法，使得各類圖形互斥而不重複。利用此分類法，我們推導且證明出n 階圓塔圖形總類數的遞迴式，並發現此遞迴數列與卡塔蘭數Cn2n/(n＋1)的遞迴關係相吻合。接著找出其中硬幣兩兩相連時，所能堆疊的圖形數，發現並證明與圖形總個數為2 的倍數所能堆疊的圖形數相同。最後，觀察圖形總個數為3 的倍數、4 的倍數……，發現硬幣總個數為X 的倍數時，圖形種類數的遞迴式。

經由2Ｘ2、3Ｘ3、4Ｘ4、5Ｘ5、6Ｘ6等三點不共線的圖形，我們在找尋在ＮＸＮ的三點不共線的圖形，我們發現Ｎ為偶數ＮＸＮ的三點不共線一定會有線對稱圖形，但Ｎ為奇數時都不會出現對稱圖形。當在Ｎ為奇數時，ＮＸＮ的表格中的數字總合為 (1+Ｎ)ＸＮ，在ＮＸＮ每一橫列兩數相減的總合為 ２（Ｎ—１）。當Ｎ為偶數的方格中，ＮＸＮ的表格中的數字總合為 (1+Ｎ)ＸＮ，每一橫列相減的數必為奇數最大的奇數為Ｎ—１，且總合為Ｎ２/２。

面積是正整數的整數邊三角形就是海倫三角形；整數邊的直角三角形就是畢氏三角形。本研究先透過圓點方陣得到兩組基本的畢氏三角形的邊長生成公式，並且證明這兩組基本的畢氏三角形都是海倫三角形；接著，取其中一組基本的畢氏三角形加以複製，成為有一條公共邊的兩個相同畢氏三角形，接著拼接成四組三角形，並且證明這四組三角形都是海倫三角形；更進一步，把這兩組基本的畢氏三角形各放大到適當的倍數後，成為有一條公共邊的兩個不同的畢氏三角形，接著拼接成六組不同的三角形和剪接成六組不同的三角形，並且證明這十二組三角形都是海倫三角形。因此，本研究總共得到十八組海倫三角形的邊長生成公式。

科學教育月刊第77 期所刊載的第十七屆亞太數學競試試題中有一個有趣的問題：「在一個n×n 正方形棋盤中，某點起火而擴散，欲撲滅著火點且一次只能撲滅一點，最有效防止火勢擴散方法為何？」本研究即是由此延伸，著重在擴散之後所產生起火點總數，以及撲滅的可行性、順序與如何獲得最大安全區域等問題，並嘗試改變棋盤形狀與擴散條件。