「L-轉換」主要以三角形為基準，定義轉換方式為「頂點以其對邊作鏡射」，進而探討鏡射後的結果。首先以GSP 軟體作圖，初步發現任意三角形經過多次鏡射後會接近正三角形，接著以正三角形作為出發點，探究何種三角形經過變換後會成為正三角形，進而發現只有30°-75°-75°、60°-60°-60°、150°-15°-15°此三種等腰三角形三角形經過一次變換後會形成正三角形。進一步探討是否所有等腰三角形經過數次變換後皆會成為正三角形？我們利用解析方法證出等腰三角形經過多次鏡射後都會收斂至正三角形或「退化成一直線」。

本研究以三、四、五、六邊形為基礎，各多邊形頂點為圓心，按順(逆)時針依序畫圓，利用兩圓內切及外切概念，探討切點在邊及邊的延長線上能否以最少次數產生一循環軌跡，並找出所受的邊長關係限制；最後由內切圓退化方式檢驗結果的正確性。我們發現: 一、邊長關係無限制 三、五邊形偶數個內切與四、六邊形奇數個內切皆可產生一次和二次循環。 二、邊長關係受限制 (一)四、六邊形偶數個內切產生循環的充分條件為奇數邊長和=偶數邊長和或兩組鄰邊和相等(2、4、6內切)。 (二)五邊形奇數個內切產生循環的充分條件為奇數邊長和=偶數邊長和或二鄰邊和等於三鄰邊和(3、5內切)。 (一)、(二)循環規則必為一次循環。

本研究旨在探討： (一)藉由黃金切割的基本原則推廣至黃金多邊形，並求出其螺線方程式。 (二)透過產出極點的方式作出黃金多邊形中α任意值的黃金螺線，並推導出黃金螺線方程式r=aebθ中的係數b與α的關係式。 (三)由矩形的切割點特殊情形，延伸探討黃金多邊形特殊情形時的α值，並將這些角度與αn最小臨界值作分析，找出這些特殊α的規則與αn區間規律。

某日，回味以前的國中課本時，看到三角形全等的條件，又突然想到現在所學的空間幾何，並未證明全等，於是邀集了同學，一起研討空間四面體的全等條件。

此作品研究「本原畢氏三元數組與直角△內切圓半徑為自然數所對應三邊長亦自然數，及多角數三者之間的關係。我們先由本原畢氏三元數組經由推導過程，找出本原畢氏三元數組(a,b,c)中的生成元m、n與直角△內切圓半徑r之彼此關聯性；其次，藉由生成元m、n與多角數之通式導出彼此連結性；給定任意的直角△內切圓半徑，其中三邊長為本原畢氏三元數組，其生成元為m、n，則可找到第y個k角數等於b∕4，反之亦成立，所以三者彼此關係都與生成元m、n息息相關。另外，我們發現多角數與多角數間之關聯和雙曲線有關，利用線性變換之矩陣解以坐標表示，並從遞迴關係式再找下一組解。」再由觀察這些解的規律性，延伸探討雙曲線上的格子點問題。

相較正則連分數，本文探討較少人研究的負則連分數，研究結果有：(1)負則漸近分數與正則漸近分數性質相似，具收斂性（單側收斂）；(2)利用矩陣列運算可同步求出正、負則連分數及其漸近分數，本文運用此方法作出「Excel連分數漸近分數計算器」；(3)相較正則連分數，負則連分數及其倒數表示型態截然不同，本文加入負則連分數及其倒數後，可求得所有「最佳有理數逼近」；(4)關於連分數的天文曆法應用：在「閏月週期」，負則漸近分數比正則精準，本文提出實用¬的「27年10閏」規則；著名東西方20個「日食週期」中，有19個可用正、負則連分數估算，其中5個僅能以負則漸近分數估算；「金星凌日週期」亦可用正、負則漸近分數估算。

數學課介紹了相似三角形有關的性質後，老師說一般的三角形很難僅以一條直線將原三角形分割成兩個相似的三角形，除非他是已具有某些特性的三角形，例如：直角三角形，我們只要過直角頂往斜邊作一垂線，立即可將原三角形剖開成兩個小三角形，而且這兩個小三角形皆與原三角形相似，如圖(1)，老師並進一步的由這些相似三角形推出母子定理，並證明了商高定理，他要求我們看看能不能從這三角形中再找出一些什麼其他的特性來，我們也覺得很有趣，特別注意這個三角形好幾天，有一天，阿文忽然高興得跳了起來，說他發現了一樣東西，他說仿照老師的作法，過 D ，再作 DE ⊥ AC ，則 △ DEA 的三邊和原 △ ABC 的三邊都一邊對應一邊互相垂直，如圖(2)，我們告訴老師這個發現時，老師稱讚了一番，並要我們對其他三角形也做做看，看是否也能做出來，於是我們開始著手研究。

從原始的題目「圓內接四邊形的外心會是其內、外平分圓的連心線之中點」出發，我們發現若為雙心四邊形，則其外心也是其內心和外平分圓圓心的中點，且此三點會和雙心四邊形的兩對角線交點共線，而外平分四邊形的兩對角線交點正好是雙心四邊形的內心。無獨有偶，三角形的外心也是其內心和外平分三角形外心的中點，且此三點會和外平分三角形的重心共線。 若考慮內切圓的切點多邊形，我們發現：三角形的外平分三角形和內切圓切點三角形會相似，且其面積是其外平分三角形面積與內切圓切點三角形面積的等比中項。無獨有偶，雙心四邊形外平分四邊形和內切圓切點四邊形亦會相似，且其面積也是其外平分四邊形面積與內切圓切點四邊形面積的等比中項。

在第三十三屆科展中，巧遇結的問題。於是便在第三十四屆科展“盤根錯結 ”中展開研究，於全國科展中由朱建正教授的指引，使我們對結的領域認識更深，並強調了結的分類仍是個未解的謎。而在上屆科展亦有接解類似分類的工作，故本作品延續上屆作品來展開研究。

在研究過程中，我們找出了一種方法去解決尚待解決形如ax4 -by2 =k 的求解法，並且令人驚訝的，我們可以利用這個結果去處理尚未有初等證明的watson 猜想，利用這種方法可以圓滿的解決watson 猜想的一些棘手的問題，對於ax4 -by2 =k 我們先討論最簡單的形式：x2 -2y4 =-1 我們先將y 前的係數消去，在將另一邊的的變數配成畢氏數，利用連續兩次的畢氏數本原解，我們可以找到限制的條件，再利用佩爾方程找出變數間的關係，再使用同餘去分割方程去求解，即可找出解，將watson 猜想化成形如ax4 -by2 =1 再利用上面所言同樣的手法，去處理即可求出watson 猜想(求12 +22 +32 ＋... + N2 = K2的所有正整數的解)，而且我也利用同餘的方式去處理watson 猜想3 次方的推廣(求13 + 23 +L + N3 = K3的所有正整數的解)，並且也證明出解只有1。