數學科

（一）問題：推銷員要將每戶人家都訪問到，但為了節省時間及精力，每戶人家必不重複走到！是否每次出門訪問時，都可找到一條「推銷員路線」？對於不同點數、不同線路連節方式的圖形，要如何輕易地分辨是否有推銷員路線？（二）解決過程：以 0、1 為字元，由數個 0、1 組成字串，將圖形中每個點用字串表示，例如： 以二字元表示四個點 00、01、11、10若路線為 00 01 11 10，則可用「記憶輪」0011 表示，記憶輪中尾數後一字元「0」與首數前一字元「0」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。當然圖形中的點要用字串標示，需要多次嘗試！而四個點以上就必需要用三字原來表示?例如：七個點 001、011、111、110、101、010、100若路線為 001 011 111 110 101 010 100，且首尾可接的起來，則可用「記憶輪」0011101 表示，記憶輪中尾數後兩字元「00」與首數前兩字元「00」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。經過多次嘗試、推論並驗證後得到：圖形若有推銷員路線，其路線必可用記憶輪來表示（三）結果：1. 我們利用簡化圖形來標點，並利用記憶輪，可使得在較難看出是否有推銷員路線的圖形中，較快找到通路、來判斷其是否有通路。2.雖然過程中有一些簡單圖形很容易就可以看出是否有推銷員路線，但利用記憶輪的方式來討論，可以幫助我們在面對更複雜的圖形時，能夠將其推廣進而解決問題。3.有時找到的通路雖然無法表示成記憶輪，但它確實是條推銷員路線，亦符合當初我們的目的。對推銷員而言，如此則可判別圖形是否有推銷員路線，若有，則路線為何。

在四堆石頭的遊戲中，利用五年級上學期「整數的四則運算」「 結合律」、「分配律」「因數與倍數」中的質因數分解，及利用五下的「如何解題」引進未知數進行解題策略，使四組數字皆成為其總和的平均數，並藉由四組數字的數量關係，歸納出移位時所需的最少次數。

常常在數學競賽中，會看到這種題目：「n 條直線最多可將一個平面切成幾個部分？」一般的人遇到這種類型的題目常要思考一下子，才能想出它的規律，所以我們針對這個主題做研究。

馬步的走法有八種，下面我們討論以馬步不重複地一次走完整個棋盤的可行性，已證明出的結果如下：一、在n×m 的矩陣中，除3×3，3×5，3×6 和4×4 為無解外，其餘的我們已證出均至少有一解。二、在n、m均大於4 且n×m 為偶數時，可以以任一格為起點。三、在n、m均大於4 且n×m 為奇數時，可以以套色後格數多一格的顏色格子為起點。四、對於無解的矩陣，我們改以虧格的形式討論，也找出虧格在適當位置時可有解的情形。五、有虧格的大矩陣，在總格子數為偶數時，可以以任一格為起點；總格子數為奇數時，可以任一套色後格數多一格的顏色格子為起點。

一、剛研究此題時，我們以自製的城堡圖及棋子來模擬，試著找出答案，但隨著衛兵數的增加，答案也隨之增多，所以我們開始以討論的方式來尋找答案，但無論如何討論，似乎總會漏掉幾個答案。因此，我們改變原有的思維，再次重新思索題目，尋求解決的方法。最後，利用「不等式」及「不定方程式」來逐一討論各種情況。二、有 m 個衛兵，要站在 n 邊形的城堡崗哨上，且每邊的衛兵人數要相等，則：（一）從 m≦ n ×s ≦2m 中，找出所有符合條件的 s 值（s N）。（二）再由所找出的每一個 s 值中，求出在其條件下的 p、q 值。（p = n ×s - m，q = m - p；p、q N 或 0）（三）由 p、q、s 的值中，求出 a1 、a 2 、a3 、…、a 2n 的值。（a1 、a 2 、a3 、…、a n2 N 或 0）（四）刪除重複的答案後，即為所求。註：1.站在頂點的衛兵人數和p = a1+a 3 +a 5 +…+a 2n_1 2.站在非頂點的衛兵人數和q = a 2 +a 4 +a 6 +…+a 2n 3.衛兵人數和m = p+q= a1+a 2 +a 3 +…+a 2n 4.每邊衛兵人數s = a1+a 2 +a 3 =a 3 +a 4 +a 5 =…=a 2n_1+a 2n + a1

已知n為偶數，若能夠將 1、2、3、…、n 兩個兩個配對，使得每一對的數字和都是完全平方數，那麼這個偶數n就叫做方舞數。例如：8、14、16 就是方舞數。 本研究是參考「台北縣97學年度國民中小學科學展覽」，優等獎作品「平方之舞－方舞數的研究」，進行探討與研究，並提出新的方法與結論。 我們得到了不同的結論，也就是除了 2、4、6、10、12、20、22 這7個偶數外，其餘的偶數都是方舞數，此外，也找到了方舞數有系統的配對方法。

本研究有兩個研究問題，一是『三平行截線共點問題』，即考慮三角形兩邊上各找一點後連線並平行第三邊且此三線共點的特殊情況、二是『三邊垂線共點問題』，即研究三條垂直三邊的直線且交於一點的特殊情況。每個研究問題均包括探討三線共點的條件，並且在特殊作圖規則下，討論具有等量性質的定點以及特殊定點的應用。平行截線共點問題之研究結果提供重心、內心、傍心及垂心作圖的新方法，亦將內心的概念推廣至擬似內心，並推廣中線及半周長連線的概念。在垂直線共點問題研究中，本研究彙整外心、內心、擬似耐吉爾點及三等分周長點的共點關係，並深入探討截線段長度的各種關係。

我對動態規畫（ Dynamic Programming ）的認識起於奧林匹亞研習營，有一次的專題便是動態規畫，其主要的內容是說在解決某些問題時，要求的答案其值決定於前面的值，而「前面」的值又決定於更前面的值。於是須要從前面一步一步的求值。 \r 舉一個簡單的例：費氏數列在數學上定義成 \r f(0)=1 \r f(1)=1 \r f(x)=f(x-1)+f(x-2) \r 如果需要寫一個程式來計算的話，直覺的方法便是依照原本的定義，用遞迴來解決： \r int=f(intx) \r { \r if(x \r returen f(x-1)+f(x-2); \r } \r \r 若要計算 f ( 5 ）的話，其過程可由右圖來表示。 f ( 5 ）的值取決於 ft4 ）及 f ( a ) , f ( 4 ) 的值取決於 f ( 3 ）及 f ( 2 ) ，這裡我們可以發現到， f ( a ）在 f ( s ）及 f ( 4 ）中分別計算了一次，這便是浪費。再看得更詳細一點， f ( l ）計算了 5 次， f ( 0 ）計算了 3 次，如此算下來，其增長的速度是很可怕的。 \r 事實上，既然 f ( x ）的值取決於 f ( x 一 1 ) , f ( x 一 2 ）而 f ( x 一 l ）的值又取決於 f ( x 一 2 ) , f ( x 一 3 ) , 那麼，我們便可由 fto ）、 f ( 1 ）、 f ( 2 ）、 f ( 3 ）二算到 f ( x ) ，這樣的話，所花的時問就變成線性的了。 \r 這時候，程式中可放置一陣列，以儲存所得到的經驗，例如： \r int f(x) \r { \r int dp[max-x]; \r int, I; \r dp[ 0]=1; \r dp[ 1]=1; \r for(i=2; i \r { \r dp[ i]=dp[ i-1]+dp[i-2];//不必再遞迴了 \r } \r retum dp[x]; \r } \r 此外，動態規畫還有很多極為有趣的應用，因而，我展開了我的研究。

我們探討變色龍問題，透過列舉三色樹的組合以及三色樹的組合數計算，讓我們更加了解收斂於同一種顏色的條件和方法，也利用列舉的方式找到三色變色組合的通式。此外，我們應用excel幫助進行三色、四色、五色變色組合的列舉，讓我們知道變色組合的結構大約相似，可透過各結構的相似了解n種變色組合的情況。我們也探討了變色組合在excel中的外接長方形，透過界定外接長方形的長與寬，可更容易算出變色組合的數量。最後利用變色樹規律，寫下三~五色變色組合數量計算公式，並將公式推展至n色樹。

我們因為對質因數的判別法產生好奇而著手研究。我們由質數3、11的判別方法切入，先研究初期判別的原理，並用它試著找出７的判別方法。接著我們，將數字不斷劃分觀察，終於研究出一種質數都能通用的判別法，我們稱之為位數劃分法。其原理是依據任何一數都可以分解成質數的若干倍和位數劃分法所賴以判別的形式。其方法是把數字不斷的分成個位數和其他位數，求其個位數乘以設定值與其他位數之和或差，再觀察能否被質數整除。