數學競試中有個問題：單位圓 0 的半圓內，三個切圓，如右圖，則三個切圓之半徑各多少：這個問題引起我深入探討圓內二個及三個，任意不相割的圓，面積有多大的興趣。

原始問題：設P為正方形ABCD內部一點，且P到A、B、C的距離分別為1、2、3，試求正方形的面積。利用三角函數的和差角公式即可解出此題，我們想了解的是：若到三頂點的距離改變，正方形是否仍存在？我們先將問題簡化，將最短距離設為1，則距離變數將只剩下二個，再考慮只有兩種距離的情況，我們簡化問題至一個變數，利用平面旋轉變換，及Geogebra作圖猜測結果，成功利用作圖完成存在性證明。將此作法再推廣至三種距離的情況，並思考其他相關的四邊形：菱形、矩形、平行四邊形，發現皆能用旋轉伸縮變換處理。

以下這個組織圖，可以說明我們研究的始末。剛開始時我們注意到戲說數學中的18塗球遊戲，之後又在18塗球遊戲的遊戲規則後面看到十字型磁磚這個遊戲。因此我們的研究內容主要為：一、18塗球遊戲、17塗球遊戲；二、9×9十字型磁磚、8×8十字型磁磚、9×9一格遊戲、8×8一格遊戲

以一任意三角形三邊向外做正方形，相鄰正方形頂點兩兩相連。為了敘述方便，我們稱正方形頂點兩兩相連所圍成的區域作(第一層)衍生形。以形成的三個衍生形再向外作正方形並將相鄰頂點連線，得到第二層衍生形。以此類推得到第n層衍生形。本研究首先探討衍生形重心形成的三角形與正方形重心的幾何關係、衍生形與原三角形的面積關係，再增加正多邊形的邊數或衍生形的層數與原三角形的幾何關係。本文主要使用向量及相似形證明所發現的幾何性質。後半部分我們將原本三角形向外作正方形改為作正五邊形，繼續n層衍生形等幾何性質的探討。最後，我們還發現第二層後的衍生形皆為梯形，同一層的衍生形面積相等，且與原三角形面積比值an-5an-1-an-2。

馬步的走法有八種，下面我們討論以馬步不重複地一次走完整個棋盤的可行性，已證明出的結果如下：一、在n×m 的矩陣中，除3×3，3×5，3×6 和4×4 為無解外，其餘的我們已證出均至少有一解。二、在n、m均大於4 且n×m 為偶數時，可以以任一格為起點。三、在n、m均大於4 且n×m 為奇數時，可以以套色後格數多一格的顏色格子為起點。四、對於無解的矩陣，我們改以虧格的形式討論，也找出虧格在適當位置時可有解的情形。五、有虧格的大矩陣，在總格子數為偶數時，可以以任一格為起點；總格子數為奇數時，可以任一套色後格數多一格的顏色格子為起點。

為了某一個國際型數學比賽，在搜尋以前的一些數學考古題當中，發現有一些題目與角平分線有相關的考題。在研究這些考題當中，有了一些想法及靈感可以與連動桿的相互結合。在研究的過程當中，自己親手動手設計與製作連動桿，並且，使用的材料選用以符合環保精神為主的工具製作教具，完成此項的研究。

此篇報告的研究重點是「寄生蟲數」，定義如下： 定義：若自然數 xd是k-(假)寄生蟲數，指的是「xd × k的乘積會等於xd的個位數字d，移到首位所得的數字dx」(其中x為n位數，d、k是1 到9 的自然數)。也就是xd會滿足「xd × k = dx」的式子。 得到下列的結果： 一、得出「k-(假)寄生蟲數的公式」為xd＝。 二、若 的小數表示法在小數點後第1 位的數字至少是1，則只要計算 的值，再取該數值循環節的數字(可不只取1 節)，就是k-(假)寄生蟲數。 三、k-(假)寄生蟲數恰好有10－k 種。 四、5-寄生蟲數：102040816326530612244897959183673469387755，可以看成1(02)(04)(08) (16)……，其中數值有倍增現象。 五、得出「移m位的k-(假)寄生蟲數的公式」為xd ＝ 。 六、若 的小數表示法在小數點後第1 位的數字至少是1，則只要計算的值， 再取該數值循環節的數字(可不只取1 節)，就是移m 位k-(假)寄生蟲數。 七、移 m位的k-(假)寄生蟲數恰好有(10－k)×10m-1種。 八、得出「超寄生蟲數的公式」如下： 九、若n＋2 位數cxd 是一個「超寄生蟲數」，。除k =1 有解之外，其餘情形，超寄生蟲數均無解。

等冪和數組是數學問題中極具魅力的一環。一、二次等冪和數組各數字之和與平方和相等，這之中有更讓人驚喜的數組！無論將各數字拆開或作有規律的刪減，這奧妙的數組恍如金蟬脫殼般以溫和蘊藉的方式，展現它完美的等冪和性質。這正是這次我們深究的對象。為何它有著金剛不壞之身？數組的結構與構成方法為何？這耐人尋味的問題正牽引著大家去細細品味它的美……

國中數學第三冊2-3的主題是「勾股定理」，或稱「畢氏定理」。我們討論的主題為畢氏數中的整數解，先看連續奇數的和與畢氏數的關係，再從「勾股定理」做討論，把勾分成奇數與偶數分別討論，得到兩個公式，但發現所得的公式並無法涵蓋所有的畢氏數，進而發現直角三角形中只可能會有偶偶偶或偶奇奇兩種情形，因此發展出另一個通式可涵蓋上述兩個公式，然後研究出直角三角形三邊長中一定會有一邊為3或4或5的倍數，而當三邊長的最大公因數為1時，不一定恰有一數為質數。

藉由數學課曾學過的空間及坐標─形體的性質及坐標的單元，找出L 棋能致勝的策略；首先我們先透過競賽與網路上所找的資料，一一找出必勝棋局，再根據必勝棋局發現各種可能致勝策略，接著我們找同學進行實際競賽，在實際競賽中使用，最後發現「雙方L 棋排列方式」確實有助於贏方佈局，而「中立棋擺放位置」則也是致勝的關鍵；而在實際競賽中，「長邊、短邊是否靠邊」的應用則較為廣泛。這個研究有助於大家對於空間的思考更加謹慎敏銳，且不論年紀大小均可以多玩L 棋，幫助思考。