數學科

將原本適用於平面的皮克定理(A=I+L/2 -1，其中A表示其格子多邊形的面積，I表示其格子多邊形之內部所有格子點個數，L表示為其格子多邊形之邊上所有格子點個數)，利用代數及幾何的方式推廣至三維空間之立體多面體並求出相關通式。

我們這份研究主要是看到了IMO 預選題題冊裡面的一題「當都不被2 整除時，求n 的條件？」後，決定要做更進一步、更大範圍的研究，我們把2 換成其他質數或其他質數冪次方等，試著找出在符合所設條件時的n 及質數a 的關係。 這個研究分為兩部分： 一、探討二項式中某一單項，若不被（或被）正整數a 整除時，n、r 與a 的關係。 二、探討二項式係數都不被正整數a的倍數整除時，n 與r的關係。 ◎ 第一部份，我們用了餘數的關係與不同的進位制去導出n、r 與a 的關係。 在此部份所得到的結果分成兩部分： (1)當a 只含一個質因數時，可求出n、r 與a 的關係。 (2)當a 含有兩個以上的質因數時，則要同時滿足a 的所有質因數的條件。 ◎ 第二部份，我們用了兩種方法去證明我們的結果。 一個是用解原題所引申的方法去證的。另一個是利用第一部份中所得到的結果去配合證明的。 在此部份所得到的結果分成二種： (1) a 只含一個質因數時，可求出n、a 的關係之充要條件。 (2) a 含有兩個以上的質因數，雖然我們不能有n、a 的關係之充要條件，但卻可求出n 的充分條件與例外的範圍。 接下來，再探討n 項式係數時，運用了前面兩部分研究的結論。但由於n 項式係數中受到了許多限制，我們只研究出了當a 為質數時的條件。 而未來，我們除了希望能有更簡易的方法來表示a 為合數時的條件，也希望能夠在n 項式係數的研究中，能夠有更多的發揮。

為了某一個國際型數學比賽，在搜尋以前的一些數學考古題當中，發現有一些題目與角平分線有相關的考題。在研究這些考題當中，有了一些想法及靈感可以與連動桿的相互結合。在研究的過程當中，自己親手動手設計與製作連動桿，並且，使用的材料選用以符合環保精神為主的工具製作教具，完成此項的研究。

我們先對幾個專有名詞作定義：(1)序組列：將序組依一定規則排列。如(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (3, 6), (2, 6), (1, 5)…。(2)第i序元列：將序組列中的第i序元獨自看成一數列。如上述序組列的第一序元列為1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1,…；第二序元列為1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5,…。(3)原生數列：先設定生成元個數m, 再將生成元1, 2, …, m不斷作順逆循環排列而得的數列。如1, 2, …, m, m, …, 2, 1, 1, 2, …, m, m, …,2 ,1, …。(4)間隔d取項：先設定間隔數d, 再從原生數列第一項開始, 每隔d項將之取出形成一新數列的動作。如原生數列為1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, … 時, 間隔3取項1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, …, 得到新數列為1, 4, 6, 3, …。現依以下規則構造一n維序組列：獨立設定各序元原生數列的生成元個數mi , 再設定間隔數di取項 , 得到的新數列當作各序元的序元列。本研究探討此n維序組列會出現多少個相異序組？又將各序元列的起始項改成不是1時, 結果如何？

在本文中，我們針對三條直線加了若干絕對值的方程式所形成的圖形，做了詳細的討論，並對封閉的圖形特別有興趣。發現方程式L3+α|L1|+β|L2|=0的圖形若為封閉圖形，必為凸四邊形，也證明了所有凸四邊形皆可以被上述方程式唯一表示，方程式L3+α|L1+β|L2||=0的圖形若為封閉圖形，必為凹四邊形，也證明了所有凹四邊形皆可以被上式唯一表示，而方程式|L3|+α|L1|+β|L2|=k的主要封閉圖形為凸六邊形，及花瓶凹六邊形。最後，方程式|L3|+α|L1+β|L2||=K的主要封閉圖形為狐狸凹八邊形，以及貓臉凹六邊形，還有可能是三角形，並証明了此方程式的圖形為三角形時的條件。並且關於係數α、β對圖形的影響，以及三條直線L1、L2、L3 在方程式的圖形中所扮演的角色，在理論上做了盡可能的探討，並以GSP軟體動態模擬呈現。

本研究是[對於正n 邊形A1A2…An 邊上一點P(含頂點)，想像自定點P 朝鄰邊發出一條光線，若依逆(順)時針方向依序與每邊皆碰撞一次，經一圈而可回到P 點，則此路徑稱為「光圈」。我們試著追蹤能形成光圈的光線行進路徑及其相關問題。] 本研究令，且以逆時針得光圈來討論： 1.根據[光的反射原理]，探討光圈之存在性，發現除定點P 在正2m 邊形或正三角形的頂點外，其餘皆有光圈。 2.將可形成光圈的路徑圖展開成[直線路徑圖]來探討。 3.由[直線路徑圖]，我們觀察到光圈的光線行進路徑可能存在三種： (1)通過正n 邊形的頂點，光線行進終止。 (2)不通過正n 邊形的頂點，且產生路徑循環問題。 (3)不通過正n 邊形的頂點，且路徑不循環。 4.發現出正2m 邊形光圈皆為[完美光圈]。 5.發現正2m+1 邊形光圈之路徑與有理數、無理數之特質有關。即當s 值為有理數時，路徑會循環；當s 值為無理數時，路徑不循環。

本研究主要是探討自然數系中，在t進位制k次方和的遞迴運算下，針對其週期解(自戀環)與不動點(完美自戀數)的存在性，進行一系列系統性的研究。 在自戀環的研究中，我們發展最適子區間的理論，期能最短的時間內求出自戀環；在二階完美自戀數研究過程中，我們不僅給出存在性的證明，利用數論上的定理證出自戀數C(t)的個數理論：C(t)=(∑d︱t2+11) -2。再分別利用Pell方程與聯立方程的方法給出二階完美自戀數的遞迴解與通式解，並且發展實用的電腦運算理論。 最後在三階完美自戀數的探討中，我們更將四元三次不定方程，轉換成聯立方程組求解的線性問題，目前已可將t進位制以9做分類，當r=1~8時t=9k+r的三階完美自戀數皆可找到相對應的通式解。

以生活中的小遊戲—疊疊樂為出發點，來討論在不同的情況下，積木所能堆疊的最大數目。有就是說，當我們將這些積木做水平移動時，在移動間距與堆疊個數間是否存在某些關係？以及，當我們將這些積木以固定頂點為軸，來做旋轉時，這些旋轉的角度與堆疊的個數又存在些什麼關係？甚至推廣到，面對不同的對稱幾何圖形以及質心位置非固定時(如：質心位於1/3處時)，其關係又為何？

在我們的研究中，先探討給定一個無向圖(undirected graph)並能使圖形必定connected的線段數E的條件，再以此得到圖形connected的機率範圍。我們接著引用已知整數數列A001187(參見參考資料[1])類似的方法來解決隨機圖(Random Graph)的根本問題：給定一個圖G(n, E)，假定任兩個點連接的機率是常數p，求出該圖能形成connected的機率。接著我們將前述結論做推廣，假設該圖有兩子圖(subgraph)，其中各子圖中的邊，相連的機率分別為p及p1，求出該圖能形成connected的機率。在這個過程中，在限制G(n, E)中最大連通子集的頂點數目下，我們也對於圖形不連通的機率做了許多研究。

「L-轉換」主要以三角形為基準，定義轉換方式為「頂點以其對邊作鏡射」，進而探討鏡射後的結果。首先以GSP 軟體作圖，初步發現任意三角形經過多次鏡射後會接近正三角形，接著以正三角形作為出發點，探究何種三角形經過變換後會成為正三角形，進而發現只有30°-75°-75°、60°-60°-60°、150°-15°-15°此三種等腰三角形三角形經過一次變換後會形成正三角形。進一步探討是否所有等腰三角形經過數次變換後皆會成為正三角形？我們利用解析方法證出等腰三角形經過多次鏡射後都會收斂至正三角形或「退化成一直線」。