本研究是[對於正n 邊形A1A2…An 邊上一點P(含頂點)，想像自定點P 朝鄰邊發出一條光線，若依逆(順)時針方向依序與每邊皆碰撞一次，經一圈而可回到P 點，則此路徑稱為「光圈」。我們試著追蹤能形成光圈的光線行進路徑及其相關問題。] 本研究令，且以逆時針得光圈來討論： 1.根據[光的反射原理]，探討光圈之存在性，發現除定點P 在正2m 邊形或正三角形的頂點外，其餘皆有光圈。 2.將可形成光圈的路徑圖展開成[直線路徑圖]來探討。 3.由[直線路徑圖]，我們觀察到光圈的光線行進路徑可能存在三種： (1)通過正n 邊形的頂點，光線行進終止。 (2)不通過正n 邊形的頂點，且產生路徑循環問題。 (3)不通過正n 邊形的頂點，且路徑不循環。 4.發現出正2m 邊形光圈皆為[完美光圈]。 5.發現正2m+1 邊形光圈之路徑與有理數、無理數之特質有關。即當s 值為有理數時，路徑會循環；當s 值為無理數時，路徑不循環。

在一九九九年的一次數學競賽中，有一道題目是:求作所有以六塊正方形連接成的圖形，共有幾種?(扣除鏡射、翻轉所形成的等價圖形)在看到這道題目的時後，突然回憶起曾經在一本書上看到有關多方塊的概略介紹，於是在比賽過後便進一步尋相關資料。但是查詢到的資料並不多，並且發現到似乎沒有計算其變化數量的方程式，書中介紹的大多是排列組合出的圖形，所以就想好好的研究一番。

1. 研究規則：在m×n 的格子中，任取一格A 當作「起點格」，在起點格上放一顆棋子，只能往「上」、往「右」、往「左下」的方向移動。2. 定義：若棋子從「起點格」，按照上述規則能不重複的通過所有m×n 格子到達某一「終點格」，則對於「起點格」而言，此移動路徑稱為m×n 的「有解路徑」，其任一「終點格」稱為「起點格」的「路徑解」。3. 我們先研究出「基本無解區」。4. 根據遊戲規則我們利用三種顏色將n × n方格塗滿，並判斷出大部分的「無解起點格」。5. 利用遊戲規則得到兩重要性質：(1)[可逆性性質] (2) [對稱性性質]6. 利用「廣義基本無解區」，當作我們[有效移動]的判斷，讓「有解路徑」快速的找出。7. 利用本研究所稱的「平移哈式鏈」，得到[擴充解]。8. 根據[有效移動]求出部分「路徑解」，再利用[可逆性性質]、 [擴充解] ，最後利用[對稱性性質]完成所有「路徑解」的尋找。

我們探討變色龍問題，透過列舉三色樹的組合以及三色樹的組合數計算，讓我們更加了解收斂於同一種顏色的條件和方法，也利用列舉的方式找到三色變色組合的通式。此外，我們應用excel幫助進行三色、四色、五色變色組合的列舉，讓我們知道變色組合的結構大約相似，可透過各結構的相似了解n種變色組合的情況。我們也探討了變色組合在excel中的外接長方形，透過界定外接長方形的長與寬，可更容易算出變色組合的數量。最後利用變色樹規律，寫下三~五色變色組合數量計算公式，並將公式推展至n色樹。

在平面上，有A、B兩點及一直線L，欲在直線L上找一點P，使得 的比值最大或最小，亦即將視為一單位，若為的λ倍，那麼x的最大或最小值為何？動點P除了在平面的直線上變動外，也可能在圓、橢圓、拋物線、其他封閉圖形如圓的部份圖形或封閉區域如三角形區域內變動，甚至在空間中的直線、圓、平面、球面、或封閉區域如四面體的表面上變動，我們都努力地試著尋求的最小或最大值。

此主題從日常生活遭遇疑難尋求解答開始，在研究如何將看似繁瑣的中國著名童玩—九連環，透過解開單環、二連環、三連環、四連環等較簡易的情形，推導出各情形的解開方法，進而建立解開各情形步驟數的數列，並從這些簡易的情形推出解K連環的過程規律， 並得到各項數列的變化規則為 ak=2ak - 2+ak - 1+2， 再從數列的前幾項分布觀察出另一個其隔項階差形成等比數列的規律， 並進而推導出其隔項階差公比為4 也就是ak + 2 -ak =4（ ak-ak- 2）這個關係式，透過分離奇數項數列和偶數項數列形成的第一階差再配合等比級數的求和方法就可得到解K 連環時的步驟數的一般公式， 也就是為當K 為奇數時需1/3(2k+ 2-2)步，而當K 為偶數時則為ak=1/3(2k + 2-4)步。

坊間一般教科書中曾提及對於「對稱」問題的敘述，並且略涉及其判別法則。好奇之餘，引起吾人深入研究之。

本研究探討在n×n的方格表中，如何進行鋸木塊遊戲才能獲勝的方法。我們透過觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，發現在鋸木塊遊戲進行過程中，由鏈碼的樣式可提供定向的作用，使玩家快速找到角落封閉點、邊封閉點、內封閉點及必勝路徑。此外，我們也發現在3×3、4×4、5×5、6×6…n×n的鋸木塊遊戲中最多可切的單位數公式為(n-1) × (n-1)，並找到在3×3、4×4、5×5、6×6… n×n的鋸木塊遊戲中最多可切的單位數的遊戲路徑及必勝切法。最後，我們也提出在3×3、4×4、5×5、6×6…n×n的鋸木塊遊戲中可快速結束遊戲的必勝策略。

在花式撞球中，發現球與球、球與桌壁之間的碰撞屬於彈性碰撞。有人可以以「一顆星進洞」、「二顆星進洞」……等，甚至球與桌壁碰撞好幾次後回到原出發點。這使我們聯想到如果將桌面改為圓形，那就是我們所要研究球在圓形桌面內之完全彈性碰撞。

在一次五子棋的廝殺中，為了避免弟妹干擾玩耍的興致，因此隨便抓了一把棋子讓他們玩玩，沒想到他們用了相同多的棋子，排成了三角形與四邊形的圖形。我們覺得蠻有趣的，因此我們想到一個研究的問題：「在移動最少棋子的條件限制下，將三角形數移成平行四邊形數」。我們稱這一個方法為「4＝3 切割法」，運用這個切割法的結論我們知道：一、 所有的三角形數皆等於平行四邊形數(合數)。二、 「三角形數＝菱形數」等價於「n(n+1)/2=完全平方數」的問題，而且在一億個n 值當中，只有10 個數值滿足「三角形數＝菱形數」。三、求根號2的有理逼近分數並估計誤差。四、 比較「4＝3 切割法」所求逼近根號2的分數與連分數展開所計算的分數，展現有趣的關係。綜合這些性質，我們發現研究主題皆與“根號2”息息相扣，在此不得不讚嘆「數」的美妙。