數學科

有次上數學課，老師談到我們以前常玩的九宮遊戲，如圖(一) ，老師說各行、列、對角線的平衡配號常隱含一些有趣的現象在裡頭，只要同學仔細觀察即可發現，而在立體圖中也應有很多特殊現象待我們去發掘，我突然想起用四面體來觀察看看，也許能發現什麼，底下即為我的研究。 \r

本研究以三、四、五、六邊形為基礎，各多邊形頂點為圓心，按順(逆)時針依序畫圓，利用兩圓內切及外切概念，探討切點在邊及邊的延長線上能否以最少次數產生一循環軌跡，並找出所受的邊長關係限制；最後由內切圓退化方式檢驗結果的正確性。我們發現: 一、邊長關係無限制 三、五邊形偶數個內切與四、六邊形奇數個內切皆可產生一次和二次循環。 二、邊長關係受限制 (一)四、六邊形偶數個內切產生循環的充分條件為奇數邊長和=偶數邊長和或兩組鄰邊和相等(2、4、6內切)。 (二)五邊形奇數個內切產生循環的充分條件為奇數邊長和=偶數邊長和或二鄰邊和等於三鄰邊和(3、5內切)。 (一)、(二)循環規則必為一次循環。

在五年級時，我們曾到過國立自然科學博物館內參觀，在地下樓『 數與形』單元展示區中，有一壓克力罩下，攤了個圓錐，錐旁畫了一些奇形怪狀的圖案，當我們從圓錐頭的頂端看下去時，圓錐鏡上竟出現了一匹白馬，大家都覺得很奇怪，想知道它是如何畫成的？

本研究發想源自將1~12的棋子填入六角星形，使其每一個邊數字和、六個頂點和都為26，將其推廣到多角星形情境中。研究中證明唯有六角星形能滿足頂點和與邊數字和相等，且只有6種排列方式，並探討出多角星形的數字組合特徵與完成策略，同時找出通解個數及證明頂點和與解之間有對稱性。

一般貨櫃船的甲板形狀由曲線所組成，而貨櫃的形狀則固定為長方體。今將貨櫃形狀改變成自然界中的規律形狀——「蜂窩」（正六邊形），並且將貨櫃船甲板形狀簡化後，試著找出可載運最多貨櫃的排列方式。

1. 研究規則：在m×n 的格子中，任取一格A 當作「起點格」，在起點格上放一顆棋子，只能往「上」、往「右」、往「左下」的方向移動。2. 定義：若棋子從「起點格」，按照上述規則能不重複的通過所有m×n 格子到達某一「終點格」，則對於「起點格」而言，此移動路徑稱為m×n 的「有解路徑」，其任一「終點格」稱為「起點格」的「路徑解」。3. 我們先研究出「基本無解區」。4. 根據遊戲規則我們利用三種顏色將n × n方格塗滿，並判斷出大部分的「無解起點格」。5. 利用遊戲規則得到兩重要性質：(1)[可逆性性質] (2) [對稱性性質]6. 利用「廣義基本無解區」，當作我們[有效移動]的判斷，讓「有解路徑」快速的找出。7. 利用本研究所稱的「平移哈式鏈」，得到[擴充解]。8. 根據[有效移動]求出部分「路徑解」，再利用[可逆性性質]、 [擴充解] ，最後利用[對稱性性質]完成所有「路徑解」的尋找。

由芳賀和夫所提出的「芳賀第二定理」做延伸，求出當DF數值為√2-1時，G點和A點將會重合。接著，求出當G點在AB上時，FA+AG、GH、HB、四邊形AGJF、△GHJ、四邊形HBCJ的一般式和AG：GH：HB的比例式；以及當G點在AD上時，GF、GA+AH、HB、△GJF、四邊形AHJG、四邊形HBCJ的一般式和AG：AH：HB的比例式。最後，利用線段的一般式求出數值後，分別以n/2、n/3、n/4、……、n/m (m和n為正整數且n＜m)為一組，觀察數值中分母和分子數字的變化方式並証明。(參考圖請見圖2)

本研究討論正多邊形透過旋轉，產生內接正方形以及頂點相接的正多邊形，找出其中的特性。 我們發現邊長為a的正方形，其四個角落切去四個邊長為c的正方形，則內部剩下的空間可放入最大的正方形面積為a2-2ac。 若在邊長為a正方形中放入一個邊長為b的內接正方形，則原正方形內部的其中一個角落可以切去的最大正方形面積為(a2-b2)2/4a2。 正方形內部有一旋轉θ角的內接正方形，內接正方形與原正方形邊長的比值為1/(sinθ+cosθ)。 找出日本設計師三宅一生所設計132-5系列服飾摺紙的展開圖。 將正多邊形旋轉產生的圖形利用摺紙的方式摺出來。

（一）問題：推銷員要將每戶人家都訪問到，但為了節省時間及精力，每戶人家必不重複走到！是否每次出門訪問時，都可找到一條「推銷員路線」？對於不同點數、不同線路連節方式的圖形，要如何輕易地分辨是否有推銷員路線？（二）解決過程：以 0、1 為字元，由數個 0、1 組成字串，將圖形中每個點用字串表示，例如： 以二字元表示四個點 00、01、11、10若路線為 00 01 11 10，則可用「記憶輪」0011 表示，記憶輪中尾數後一字元「0」與首數前一字元「0」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。當然圖形中的點要用字串標示，需要多次嘗試！而四個點以上就必需要用三字原來表示?例如：七個點 001、011、111、110、101、010、100若路線為 001 011 111 110 101 010 100，且首尾可接的起來，則可用「記憶輪」0011101 表示，記憶輪中尾數後兩字元「00」與首數前兩字元「00」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。經過多次嘗試、推論並驗證後得到：圖形若有推銷員路線，其路線必可用記憶輪來表示（三）結果：1. 我們利用簡化圖形來標點，並利用記憶輪，可使得在較難看出是否有推銷員路線的圖形中，較快找到通路、來判斷其是否有通路。2.雖然過程中有一些簡單圖形很容易就可以看出是否有推銷員路線，但利用記憶輪的方式來討論，可以幫助我們在面對更複雜的圖形時，能夠將其推廣進而解決問題。3.有時找到的通路雖然無法表示成記憶輪，但它確實是條推銷員路線，亦符合當初我們的目的。對推銷員而言，如此則可判別圖形是否有推銷員路線，若有，則路線為何。

將mxn個矩形排列的硬幣，依序予以編號，並按照研究規則作移位，最後將mxn個硬幣疊成一柱。首先，我們根據遊戲規則並利用巴斯卡三角數列，得到mxn完成移位方法數的通式:f(mxn)=gs+1(t+1)x2s+t(其中2s-1