數學科

在二年級時，老師曾在黑板上出了一道題目… … {A = 12□ 22□ 32□... □ 20032□ 20042□ 20052? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? }，但由於 2004 個□中，光是正負符號的填入方式就共有 22004 種，所以第一步我們決定先找出連續正整數之n次方值間的加減符號規律 ( n?Ν)，使進行加減法運算後所得之結果為零 。藉此可縮小所應討論的範圍。 [其加減符號規律如下] n=1 時 ，11 - 21 =-1， -31 + 41= 1 ? 11 - 21 -31 + 41= 0 由上式我們發現兩數一組，兩組相消 n=2 時 ，12 - 22 -32 + 42 - 4，-52+ 62 +72- 82 - -4 ? 12 - 22 -32 + 42 -52+ 62 +72- 82 - 0 由上式我們發現四數一組，兩組相消 … 接著我們針對題目 … … {A = 12 □ 22 □ 32 □... □(T2 - 2)2 □(T2 - 1)2 □T22? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? } 去探討後發現觀念甲：當T2被4 除後餘1 或2 時，A 的最小值不可能為0【參閱附件二】，於是我們分類型去探討，發現在八種情況之下，其所對應之最小A 值非1 即0？ 最後，我們再進一步將原題目推廣至 … … {A = 13 □ 23 □ 33 □... □(T3 - 2)3 □(T3 - 1)3 □T33? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? } 值得一提的是 ─ 事實上，我們不只可以知道其A 的最小非負整數值為何，甚至於可以找出一組其加減運算過程中□內的＋、－符號的排列順序。

一般貨櫃船的甲板形狀由曲線所組成，而貨櫃的形狀則固定為長方體。今將貨櫃形狀改變成自然界中的規律形狀——「蜂窩」（正六邊形），並且將貨櫃船甲板形狀簡化後，試著找出可載運最多貨櫃的排列方式。

本研究討論正多邊形透過旋轉，產生內接正方形以及頂點相接的正多邊形，找出其中的特性。 我們發現邊長為a的正方形，其四個角落切去四個邊長為c的正方形，則內部剩下的空間可放入最大的正方形面積為a2-2ac。 若在邊長為a正方形中放入一個邊長為b的內接正方形，則原正方形內部的其中一個角落可以切去的最大正方形面積為(a2-b2)2/4a2。 正方形內部有一旋轉θ角的內接正方形，內接正方形與原正方形邊長的比值為1/(sinθ+cosθ)。 找出日本設計師三宅一生所設計132-5系列服飾摺紙的展開圖。 將正多邊形旋轉產生的圖形利用摺紙的方式摺出來。

我對動態規畫（ Dynamic Programming ）的認識起於奧林匹亞研習營，有一次的專題便是動態規畫，其主要的內容是說在解決某些問題時，要求的答案其值決定於前面的值，而「前面」的值又決定於更前面的值。於是須要從前面一步一步的求值。 \r 舉一個簡單的例：費氏數列在數學上定義成 \r f(0)=1 \r f(1)=1 \r f(x)=f(x-1)+f(x-2) \r 如果需要寫一個程式來計算的話，直覺的方法便是依照原本的定義，用遞迴來解決： \r int=f(intx) \r { \r if(x \r returen f(x-1)+f(x-2); \r } \r \r 若要計算 f ( 5 ）的話，其過程可由右圖來表示。 f ( 5 ）的值取決於 ft4 ）及 f ( a ) , f ( 4 ) 的值取決於 f ( 3 ）及 f ( 2 ) ，這裡我們可以發現到， f ( a ）在 f ( s ）及 f ( 4 ）中分別計算了一次，這便是浪費。再看得更詳細一點， f ( l ）計算了 5 次， f ( 0 ）計算了 3 次，如此算下來，其增長的速度是很可怕的。 \r 事實上，既然 f ( x ）的值取決於 f ( x 一 1 ) , f ( x 一 2 ）而 f ( x 一 l ）的值又取決於 f ( x 一 2 ) , f ( x 一 3 ) , 那麼，我們便可由 fto ）、 f ( 1 ）、 f ( 2 ）、 f ( 3 ）二算到 f ( x ) ，這樣的話，所花的時問就變成線性的了。 \r 這時候，程式中可放置一陣列，以儲存所得到的經驗，例如： \r int f(x) \r { \r int dp[max-x]; \r int, I; \r dp[ 0]=1; \r dp[ 1]=1; \r for(i=2; i \r { \r dp[ i]=dp[ i-1]+dp[i-2];//不必再遞迴了 \r } \r retum dp[x]; \r } \r 此外，動態規畫還有很多極為有趣的應用，因而，我展開了我的研究。

常常在數學競賽中，會看到這種題目：「n 條直線最多可將一個平面切成幾個部分？」一般的人遇到這種類型的題目常要思考一下子，才能想出它的規律，所以我們針對這個主題做研究。

本研究是[對於正n 邊形A1A2…An 邊上一點P(含頂點)，想像自定點P 朝鄰邊發出一條光線，若依逆(順)時針方向依序與每邊皆碰撞一次，經一圈而可回到P 點，則此路徑稱為「光圈」。我們試著追蹤能形成光圈的光線行進路徑及其相關問題。] 本研究令，且以逆時針得光圈來討論： 1.根據[光的反射原理]，探討光圈之存在性，發現除定點P 在正2m 邊形或正三角形的頂點外，其餘皆有光圈。 2.將可形成光圈的路徑圖展開成[直線路徑圖]來探討。 3.由[直線路徑圖]，我們觀察到光圈的光線行進路徑可能存在三種： (1)通過正n 邊形的頂點，光線行進終止。 (2)不通過正n 邊形的頂點，且產生路徑循環問題。 (3)不通過正n 邊形的頂點，且路徑不循環。 4.發現出正2m 邊形光圈皆為[完美光圈]。 5.發現正2m+1 邊形光圈之路徑與有理數、無理數之特質有關。即當s 值為有理數時，路徑會循環；當s 值為無理數時，路徑不循環。

三角形的外心O、重心G、九點圓圓心K和垂心H會依序在同一直線上，這條直線就稱為三角形的歐拉線，滿足OG ̅：GK ̅：KH ̅=2：1：3。我們發現當多邊形有外接圓時，也會有相對應的結果。即圓內接(n≥3)邊形A1 A2⋯An-1An的外心O、重心G、歐拉圓圓心K和垂心H也會依序在同一直線上，不妨稱此直線為圓內接多邊形的歐拉線，滿足OG ̅：GK ̅：KH ̅=2：(n-2)：n。 此外，我們發現三角形的外心O、內心O1、旁心三角形的外心O2也會共線，且O點為O1 O2 ̅的中點；而當多邊形同時有外接圓和內切圓時，也會有相同的結果。即雙心n(n≥3)邊形A1A2⋯An-1An的外心O正好是內心O1和旁心n邊形的外心O2之中點。

已知n為偶數，若能夠將 1、2、3、…、n 兩個兩個配對，使得每一對的數字和都是完全平方數，那麼這個偶數n就叫做方舞數。例如：8、14、16 就是方舞數。 本研究是參考「台北縣97學年度國民中小學科學展覽」，優等獎作品「平方之舞－方舞數的研究」，進行探討與研究，並提出新的方法與結論。 我們得到了不同的結論，也就是除了 2、4、6、10、12、20、22 這7個偶數外，其餘的偶數都是方舞數，此外，也找到了方舞數有系統的配對方法。

我們這份研究主要是看到了IMO 預選題題冊裡面的一題「當都不被2 整除時，求n 的條件？」後，決定要做更進一步、更大範圍的研究，我們把2 換成其他質數或其他質數冪次方等，試著找出在符合所設條件時的n 及質數a 的關係。 這個研究分為兩部分： 一、探討二項式中某一單項，若不被（或被）正整數a 整除時，n、r 與a 的關係。 二、探討二項式係數都不被正整數a的倍數整除時，n 與r的關係。 ◎ 第一部份，我們用了餘數的關係與不同的進位制去導出n、r 與a 的關係。 在此部份所得到的結果分成兩部分： (1)當a 只含一個質因數時，可求出n、r 與a 的關係。 (2)當a 含有兩個以上的質因數時，則要同時滿足a 的所有質因數的條件。 ◎ 第二部份，我們用了兩種方法去證明我們的結果。 一個是用解原題所引申的方法去證的。另一個是利用第一部份中所得到的結果去配合證明的。 在此部份所得到的結果分成二種： (1) a 只含一個質因數時，可求出n、a 的關係之充要條件。 (2) a 含有兩個以上的質因數，雖然我們不能有n、a 的關係之充要條件，但卻可求出n 的充分條件與例外的範圍。 接下來，再探討n 項式係數時，運用了前面兩部分研究的結論。但由於n 項式係數中受到了許多限制，我們只研究出了當a 為質數時的條件。 而未來，我們除了希望能有更簡易的方法來表示a 為合數時的條件，也希望能夠在n 項式係數的研究中，能夠有更多的發揮。

將mxn個矩形排列的硬幣，依序予以編號，並按照研究規則作移位，最後將mxn個硬幣疊成一柱。首先，我們根據遊戲規則並利用巴斯卡三角數列，得到mxn完成移位方法數的通式:f(mxn)=gs+1(t+1)x2s+t(其中2s-1