數學科

去年暑假爸爸的一位朋友，送我一本關於數學的書叫“木匠的兒子”，我對其中能夠滿足商高定理(A2+B2=C2)的整數組稱為畢達哥拉斯數(簡稱畢氏數)產生了興趣。其中介紹了一種求得一組畢氏數的方怯，也就是： A = m2-n2 B = 2mn C = m2+n2 m,n是任何正整數且 m > n 後來我又看了一些有關的書，又知道只要是奇數也可以很容易求得一組畢氏數，也就是： A = 任何大於 1 的奇數 B = (A2-1)/2 C = (A2+1)/2 第一種方法計算比較麻煩，第二種方法雖然比較簡單，但是只能求得奇數的畢氏數組。那麼碰到偶數要怎麼辦呢？後來，我就請教老師這個問題，老師知道我曾經參加「第三彼」雜誌舉辦的程式比賽得獎，就建議我為什麼不用電腦來解決這個問題呢？因此，我就開始利用電腦來解答這個問題。

此篇報告的研究重點是「寄生蟲數」，定義如下： 定義：若自然數 xd是k-(假)寄生蟲數，指的是「xd × k的乘積會等於xd的個位數字d，移到首位所得的數字dx」(其中x為n位數，d、k是1 到9 的自然數)。也就是xd會滿足「xd × k = dx」的式子。 得到下列的結果： 一、得出「k-(假)寄生蟲數的公式」為xd＝。 二、若 的小數表示法在小數點後第1 位的數字至少是1，則只要計算 的值，再取該數值循環節的數字(可不只取1 節)，就是k-(假)寄生蟲數。 三、k-(假)寄生蟲數恰好有10－k 種。 四、5-寄生蟲數：102040816326530612244897959183673469387755，可以看成1(02)(04)(08) (16)……，其中數值有倍增現象。 五、得出「移m位的k-(假)寄生蟲數的公式」為xd ＝ 。 六、若 的小數表示法在小數點後第1 位的數字至少是1，則只要計算的值， 再取該數值循環節的數字(可不只取1 節)，就是移m 位k-(假)寄生蟲數。 七、移 m位的k-(假)寄生蟲數恰好有(10－k)×10m-1種。 八、得出「超寄生蟲數的公式」如下： 九、若n＋2 位數cxd 是一個「超寄生蟲數」，。除k =1 有解之外，其餘情形，超寄生蟲數均無解。

本研究旨在探討： (一)藉由黃金切割的基本原則推廣至黃金多邊形，並求出其螺線方程式。 (二)透過產出極點的方式作出黃金多邊形中α任意值的黃金螺線，並推導出黃金螺線方程式r=aebθ中的係數b與α的關係式。 (三)由矩形的切割點特殊情形，延伸探討黃金多邊形特殊情形時的α值，並將這些角度與αn最小臨界值作分析，找出這些特殊α的規則與αn區間規律。

此次研究我們主要針對史坦因豪斯於1963 年出版書中所提到的馬戲團問題進行研究，書中敘述如下： 小孩在草地邊玩耍時，小丑沿著高速公路從森林中向草地前進，小孩希望跑到高速公路來盡可能接近小丑，所有小孩皆以等速前進且小丑速度比他們快。問題如下:(a)畫線來分隔可以碰到小丑者與不能碰到小丑者的區域(b)給予恰可以碰到小丑者跑動路徑來碰到小丑(c) 給予不能碰到小丑者跑動路徑來盡可能接近小丑。

數學競試中有個問題：單位圓 0 的半圓內，三個切圓，如右圖，則三個切圓之半徑各多少：這個問題引起我深入探討圓內二個及三個，任意不相割的圓，面積有多大的興趣。

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △ABC 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新探討角度一般化情形。考慮以 △ABC 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 φ 後，構造出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓圓心，我們給出共線三點的有向距離比例常數。最後，再探討三個動點共線的充要條件。

在日常生活或做題目中，常用到數字的運算，而這些數字均是以十進位法來表示，因此不禁產生了疑問？十進位法是「數」的唯一表示法嗎？我們是不是能用其他型式來表示「數」呢？

從堆垛金字塔發想，定義了「不完整堆垛」。 一、底列個數n之二維不完整堆疊方法數P(n)=1/√5[(1+√5/2)2n-1-(1-√5/2)2n-1] 且P(n)=3·P(n-1)-P(n-2),其中P(1)=1, P(2)=2。 二、以邊長n之正三角形為底的三維不完整堆垛，方法數T(n)=4T(n-1)-2T(n-2)+T(n-3), 其中T(1)=1, T(2)=2, T(3)=7恰與以正方形為底相同。 三、以邊長n之正六邊形為底的三維不完整堆垛，方法數H(n)=9H(n-1)+3H(n-2)+H(n-3), 其中H(1)=1, H(2)=7, H(3)=67。 四、正三角形與正六邊形的凹洞數有6倍關係，影響方法數。 五、T(n), S(n), H(n)是新發現的數列。 六、本研究討論正三角形、正方形、正六邊形為底。其他正多邊形皆無法研究。 七、以「m列m+K行」長方形為底的三維不完整堆垛，只能橫放方法數 A(m,k)=1+A(1,K)·(m-1)2+A(2,K)·(m-2)2+…+A(m-2,K)·22+A(m-1,K)·12 若能橫放或直放方法數 R(m,k)=4R(m-1,l)-2R(m-2,k)+R(m-3,k)+(2k+1)R(m-1-k,k)-(2K-1)R(m-2-k,k) 八、以股長n之等腰直角三角形為底的三維不完整堆垛，方法數 I(n)=3I(n-1)-2I(n-2)+I(n-3)，其中I(1)=I(2)=1,I(3)=2。 九、以邊長n之菱形為底的三維不完整堆垛，方法數r(n)=5r(n-1)-r(n-2)+r(n-3)，其中r(1)=1, r(2)=3, r(3)=15。 恰與平行四邊形相同。 十、正三角形與菱形的凹洞數有2倍關係，影響方法數。

在一九九九年的一次數學競賽中，有一道題目是:求作所有以六塊正方形連接成的圖形，共有幾種?(扣除鏡射、翻轉所形成的等價圖形)在看到這道題目的時後，突然回憶起曾經在一本書上看到有關多方塊的概略介紹，於是在比賽過後便進一步尋相關資料。但是查詢到的資料並不多，並且發現到似乎沒有計算其變化數量的方程式，書中介紹的大多是排列組合出的圖形，所以就想好好的研究一番。

在作三角形的三個外角平分線時，發現會形成新的三角形，而且若持續地一直作下去，新的三角形會逐漸趨近於正三角形。我們在想：對於四邊形或任意的多邊形，這個現象是否也是如此呢？本研究包含以下的內容：一、 證出：持續地做「任意三角形」的三個外角平分線所形成的新三角形，最後一定極接近於「正三角形」。二、 證出：持續地做「特殊四邊形」（如：矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、箏形、一般梯形）的四個外角平分線所形成的新四邊形，最後一定變成「正方形」或極接近於「正方形」。三、 證出：持續地做「一般四邊形」的四個外角平分線所形成的新四邊形，最後一定極接近於「正方形」。四、 推廣到：持續地做「一般凸m邊形」的所有外角平分線所形成的新m邊形，到最後新m邊形的形狀如何，將提出我們的觀點和圖表來「說明」。