數學科

本研究以三、四、五、六邊形為基礎，各多邊形頂點為圓心，按順(逆)時針依序畫圓，利用兩圓內切及外切概念，探討切點在邊及邊的延長線上能否以最少次數產生一循環軌跡，並找出所受的邊長關係限制；最後由內切圓退化方式檢驗結果的正確性。我們發現: 一、邊長關係無限制 三、五邊形偶數個內切與四、六邊形奇數個內切皆可產生一次和二次循環。 二、邊長關係受限制 (一)四、六邊形偶數個內切產生循環的充分條件為奇數邊長和=偶數邊長和或兩組鄰邊和相等(2、4、6內切)。 (二)五邊形奇數個內切產生循環的充分條件為奇數邊長和=偶數邊長和或二鄰邊和等於三鄰邊和(3、5內切)。 (一)、(二)循環規則必為一次循環。

將原本適用於平面的皮克定理(A=I+L/2 -1，其中A表示其格子多邊形的面積，I表示其格子多邊形之內部所有格子點個數，L表示為其格子多邊形之邊上所有格子點個數)，利用代數及幾何的方式推廣至三維空間之立體多面體並求出相關通式。

我們探討變色龍問題，透過列舉三色樹的組合以及三色樹的組合數計算，讓我們更加了解收斂於同一種顏色的條件和方法，也利用列舉的方式找到三色變色組合的通式。此外，我們應用excel幫助進行三色、四色、五色變色組合的列舉，讓我們知道變色組合的結構大約相似，可透過各結構的相似了解n種變色組合的情況。我們也探討了變色組合在excel中的外接長方形，透過界定外接長方形的長與寬，可更容易算出變色組合的數量。最後利用變色樹規律，寫下三~五色變色組合數量計算公式，並將公式推展至n色樹。

在作三角形的三個外角平分線時，發現會形成新的三角形，而且若持續地一直作下去，新的三角形會逐漸趨近於正三角形。我們在想：對於四邊形或任意的多邊形，這個現象是否也是如此呢？本研究包含以下的內容：一、 證出：持續地做「任意三角形」的三個外角平分線所形成的新三角形，最後一定極接近於「正三角形」。二、 證出：持續地做「特殊四邊形」（如：矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、箏形、一般梯形）的四個外角平分線所形成的新四邊形，最後一定變成「正方形」或極接近於「正方形」。三、 證出：持續地做「一般四邊形」的四個外角平分線所形成的新四邊形，最後一定極接近於「正方形」。四、 推廣到：持續地做「一般凸m邊形」的所有外角平分線所形成的新m邊形，到最後新m邊形的形狀如何，將提出我們的觀點和圖表來「說明」。

有次上數學課，老師談到我們以前常玩的九宮遊戲，如圖(一) ，老師說各行、列、對角線的平衡配號常隱含一些有趣的現象在裡頭，只要同學仔細觀察即可發現，而在立體圖中也應有很多特殊現象待我們去發掘，我突然想起用四面體來觀察看看，也許能發現什麼，底下即為我的研究。 \r

馬步的走法有八種，下面我們討論以馬步不重複地一次走完整個棋盤的可行性，已證明出的結果如下：一、在n×m 的矩陣中，除3×3，3×5，3×6 和4×4 為無解外，其餘的我們已證出均至少有一解。二、在n、m均大於4 且n×m 為偶數時，可以以任一格為起點。三、在n、m均大於4 且n×m 為奇數時，可以以套色後格數多一格的顏色格子為起點。四、對於無解的矩陣，我們改以虧格的形式討論，也找出虧格在適當位置時可有解的情形。五、有虧格的大矩陣，在總格子數為偶數時，可以以任一格為起點；總格子數為奇數時，可以任一套色後格數多一格的顏色格子為起點。

1. 研究規則：在m×n 的格子中，任取一格A 當作「起點格」，在起點格上放一顆棋子，只能往「上」、往「右」、往「左下」的方向移動。2. 定義：若棋子從「起點格」，按照上述規則能不重複的通過所有m×n 格子到達某一「終點格」，則對於「起點格」而言，此移動路徑稱為m×n 的「有解路徑」，其任一「終點格」稱為「起點格」的「路徑解」。3. 我們先研究出「基本無解區」。4. 根據遊戲規則我們利用三種顏色將n × n方格塗滿，並判斷出大部分的「無解起點格」。5. 利用遊戲規則得到兩重要性質：(1)[可逆性性質] (2) [對稱性性質]6. 利用「廣義基本無解區」，當作我們[有效移動]的判斷，讓「有解路徑」快速的找出。7. 利用本研究所稱的「平移哈式鏈」，得到[擴充解]。8. 根據[有效移動]求出部分「路徑解」，再利用[可逆性性質]、 [擴充解] ，最後利用[對稱性性質]完成所有「路徑解」的尋找。

本研究發想源自將1~12的棋子填入六角星形，使其每一個邊數字和、六個頂點和都為26，將其推廣到多角星形情境中。研究中證明唯有六角星形能滿足頂點和與邊數字和相等，且只有6種排列方式，並探討出多角星形的數字組合特徵與完成策略，同時找出通解個數及證明頂點和與解之間有對稱性。

在二年級時，老師曾在黑板上出了一道題目… … {A = 12□ 22□ 32□... □ 20032□ 20042□ 20052? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? }，但由於 2004 個□中，光是正負符號的填入方式就共有 22004 種，所以第一步我們決定先找出連續正整數之n次方值間的加減符號規律 ( n?Ν)，使進行加減法運算後所得之結果為零 。藉此可縮小所應討論的範圍。 [其加減符號規律如下] n=1 時 ，11 - 21 =-1， -31 + 41= 1 ? 11 - 21 -31 + 41= 0 由上式我們發現兩數一組，兩組相消 n=2 時 ，12 - 22 -32 + 42 - 4，-52+ 62 +72- 82 - -4 ? 12 - 22 -32 + 42 -52+ 62 +72- 82 - 0 由上式我們發現四數一組，兩組相消 … 接著我們針對題目 … … {A = 12 □ 22 □ 32 □... □(T2 - 2)2 □(T2 - 1)2 □T22? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? } 去探討後發現觀念甲：當T2被4 除後餘1 或2 時，A 的最小值不可能為0【參閱附件二】，於是我們分類型去探討，發現在八種情況之下，其所對應之最小A 值非1 即0？ 最後，我們再進一步將原題目推廣至 … … {A = 13 □ 23 □ 33 □... □(T3 - 2)3 □(T3 - 1)3 □T33? 0 ，□ 內任意填入+ 或－，則求A的最小非負整數值為何? } 值得一提的是 ─ 事實上，我們不只可以知道其A 的最小非負整數值為何，甚至於可以找出一組其加減運算過程中□內的＋、－符號的排列順序。

為了某一個國際型數學比賽，在搜尋以前的一些數學考古題當中，發現有一些題目與角平分線有相關的考題。在研究這些考題當中，有了一些想法及靈感可以與連動桿的相互結合。在研究的過程當中，自己親手動手設計與製作連動桿，並且，使用的材料選用以符合環保精神為主的工具製作教具，完成此項的研究。