數學科

我們定義「lap k三角形」如下： 如果用 k 個全等的小三角形以「邊併邊」的方式拼合成一個大三角形；而且大三角形仍和小三角形「相似」的話，則稱「大三角形」為「lap k三角形」。 本篇報告研究的重點，是想利用「圖形拼合」的性質，建立一個尋找「lap k 三角形」，並證明其個數的方法。利用此方法改良原本用「方程式」證明的方法，並得出下面的結論： 一、簡化「lap 2三角形」只有1種(即等腰直角三角形)的證明。 二、簡化「lap 3三角形」只有1種(即30° - 60° - 90°的直角三角形)的證明。 三、首次證明出「lap 4三角形」的三角形只有3種，但拼法有4種。說明如下： 1.任意三角形(如下圖一)。 2.任意直角三角形(如下圖二)。 3.內角為30° - 60° - 90°的直角三角形，有兩種拼法(如下圖三、圖四)。

主要探討凸四邊形中，是否能找出與每一邊都平行且與每一邊都有一個交點的一條封閉路徑及其具體尋找的方法，其重點擺在如何尋找此封閉路徑一開始的起始點及尋找封閉路徑。

本研究探討在n×n的方格表中，如何進行鋸木塊遊戲才能獲勝的方法。我們透過觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，發現在鋸木塊遊戲進行過程中，由鏈碼的樣式可提供定向的作用，使玩家快速找到角落封閉點、邊封閉點、內封閉點及必勝路徑。此外，我們也發現在3×3、4×4、5×5、6×6…n×n的鋸木塊遊戲中最多可切的單位數公式為(n-1) × (n-1)，並找到在3×3、4×4、5×5、6×6… n×n的鋸木塊遊戲中最多可切的單位數的遊戲路徑及必勝切法。最後，我們也提出在3×3、4×4、5×5、6×6…n×n的鋸木塊遊戲中可快速結束遊戲的必勝策略。

在一次數學課中，老師講解了幾種相似形的畫法，選擇了不同位置的 O 點（光源點），會有不同的畫法，引發了我們想去探討的興趣，我們想知道，除了課本上提到的幾種單一光源點的作圖方法外是否還有其他的作法？我們於是著手研究。

本報告旨在利用國中所學的數學概念、探討如何以尺規作圖作出正多邊形、如何以方形紙摺出正多邊形

對於一個多邊形，若給定三角形的三內角，且三頂點分別落在此多邊形之三個相異邊上，則稱此三角形為該多邊形之「內接指定內角三角形」。本篇作品主要在探討正多邊形內接指定內角三角形之定點存在性與面積極值。其中我們發現，給定三內角，則所有內接指定內角三角形均具有某個固定點K，而此定點K事實上就是密克定理中的「密克點」。透過定點K的各種漂亮性質，我們自創出一種內接指定內角三角形的作圖法，並推導出定點K之三線性座標。此外，我們以「極限三角形」之觀點來探討內接三角形的存在性，並推導出任意三角形內接指定內角三角形之面積極值公式，最後將結論推廣至正多邊形內接指定內角三角形之情形。

在平面上給一個正△ABC，若P為△ABC外接圓上的點，則三線段 中，最長為較短兩段之和，這個性質稱為van Schooten 定理，可以視為托勒密定理的一個推論。我們將正△ABC的條件改為等腰三角形，研究在此條件下，使van Schooten 定理成立時P點的軌跡問題。在本文中，利用解析法，我們找出P點的軌跡圖形Γ。我們對於圖形Γ上的一些特別點的尺規作圖感到興趣，也得到一些有意思的結果；藉由研究這些特別點的尺規作圖，我們發現軌跡圖形Γ的一個性質，敘述如下：設 AB=AC，G是△ABC的重心，G’是G關於BC直線的對稱點，若D是直線BC上的任一點，若P、Q兩點在AD直線上且滿足 PA=PB+PC、QA=QB+QC ，且H是PQ 中點，則有G'H⊥PQ的性質。此外，我們也利用尺規作圖作出上述P、Q兩點。

坊間一般教科書中曾提及對於「對稱」問題的敘述，並且略涉及其判別法則。好奇之餘，引起吾人深入研究之。

在花式撞球中，發現球與球、球與桌壁之間的碰撞屬於彈性碰撞。有人可以以「一顆星進洞」、「二顆星進洞」……等，甚至球與桌壁碰撞好幾次後回到原出發點。這使我們聯想到如果將桌面改為圓形，那就是我們所要研究球在圓形桌面內之完全彈性碰撞。

先解答老師給的 ｢ 電梯謎題 ｣ 後，再深入去研究 ： 若是建築物有n層樓，每部電梯 ( 底層和頂層以外 ) 只停留其中的k個樓層，由任一樓層到另一樓層都可直達，不需要更換。那麼，最少需要幾部電梯呢？ 我們先計算出樓層與樓層之間互通的總乘次，再去計算每一部電梯可以承擔的乘次，不足、重複了多少？需要新增幾部？最少（短少一個乘次、短少一個樓層的範圍以上）需要幾部？結果發現 ： ① k=3、4時，n與最少電梯部數之間存在著規律性 ； k=3時，奇數樓層(2r+1)比偶數樓層(2r)需要多新增 [2r/6] 部電梯 ② n與k在特定的對應範圍下，3部、4部、6部電梯即可 ③ 結合多邊形的頂點數、邊數、對角線數，所找到的最少電梯部數的可行配置方式，發現不僅僅只有一種