第45屆--民國94年

霧，造成人們生活中的諸多不便以及危險，良好的除霧劑可以幫我們免除霧所造成的不便與危險。本研究，藉由一連串的實驗，找出日常生活中最好的除霧劑與其最佳除霧濃度。在研究設計中，我們利用視力檢查的儀器，試著將除霧效果量化、以便能夠做更客觀以及科學化的比較。在實驗中我們發現，日常生活用品中，如果將其不溶解物質過濾之後，有助於除霧效果的提升。而且這些日常生活用品所泡製的除霧劑，除霧效果可達一週之久。我們也發現表面張力以及不溶解粒子跟除霧效果有密切的關係。

本作品基於一段網路流傳「吞服膠囊發生危險」的報導，引起我們的研究動機與興趣。膠囊不只是眼見像塑膠製品，觸感更像，那麼它真的是塑膠嗎？因此我們決定先行探討膠囊的可能成份，並藉由一連串的實驗，尋求膠囊的特殊性質，從實驗結果中，尋找吞服膠囊最好，最不危險的的方法。是的，我們都找到了！

環保署在近年來大力推行禁用塑膠袋的政策，取而代之的當然是環保又隨手可得的紙袋了。而紙袋的種類與製作方式千奇百怪。本研究的目的在於紙袋上的手提紙繩部分，影響紙袋的真正負重能力。因此就學校中隨處可見的各種不同紙類，設計實驗加以研究紙類的負重能力，以及紙繩的編制方法。我們發現，當紙繩越長、紙繩越寬，紙繩材質越緊密，以及紙繩越厚，編制方法越簡單，所能負荷的重量就越重，有些甚至超乎我們所能想像的範圍。若是能在紙袋上多所著墨，相信能夠造出超級紙袋。

五下康軒版第三單元，熱的傳播與保溫提到，熱是可以藉由不同的材質加以傳播和保溫，於是激起我們想利用大自然的熱源，使水溫不斷上升以節約能源的使用，結果發現透過傳熱速度較快的金屬物質，加熱再利用較佳的保溫素材，的確可以將太陽的熱保留住。

二十世紀中期，組合數學開始發展，五元方格（pentomino）積木（介紹見研究方法及過程）正是其中之一，五元方格的變化數以萬計，我們選擇別人尚未研究的範疇來研究。這個積木迷人的地方是－「看起來沒有規律，但又藏有少許的規律。」有規律的數學規則或定理，雖然難，但人的智慧總可以破解的；沒有規律的數學，看似簡單，卻讓我們嚐盡了的苦頭。我們主要研究4X15（由五元方格排出的寬4 單位長15 單位平面圖形）由2D 轉變成為3D 的立體變化，首先我們先將4X15 的368 種排法列出並編號（見附件一），其次把能夠變化成相同立體圖形的2D 答案列出來，因為時間有限，我們只研究了53 種的立體變化，但受益良多。這次的研究我們學到：（一）在解題當中如果一時找不出答案，可以從另一個角度想想看，會有意想不到的收穫。（二）做一件事情，團體的合作比個人的突出更重要。（三）數學可以用在任何的地方，真是受益無窮。（四）有規律的東西雖難，但人的智慧總可以破解的；沒有規律的東西看起來簡單，卻難以掌握其條理和變化。（五）尋找條件越多的立體圖形，只要知道其中的關係，就可以利用其他有相同條件的立體圖形來找它們的交集，可更快速找出答案。

將一個正五邊形的每一個邊延長，就可以圍成一個五角星行（Ｐｅｎｔａｇｒａｍ）。如果在五角星形的十個點上，把它填入十個整數，使得一條邊上的四個數字總和等於一個定數，則符合這樣規則的圖形，我們把它稱作幻五角星形（Ｍａｇｉｃ Ｐｅｎｔａｇｒａｍｓ）或五階魔星陣（Ｏｒｄｅｒ－５ Ｍａｇｉｃ Ｓｔａｒｓ）。本研究主要在探索五階魔星陣之各種變形的規律及尋找最佳的解答，並提出新的建構方法改進趙文敏教授所提供之五階魔星陣的建構方法。

我們發現水中的吸管會受到容器的形狀，和吸管放置的位置所影響，為了進一步瞭解光的偏折，我們利用吸管、螢光棒、雷射筆在不同容器的觀察實驗，和透過不同容器觀察小豆子的變化，瞭解吸管在水中是怎樣偏折，也從中知道了吸管會在水中偏折的原因。

一、 本研究的最初來源系出自 Crux Mathematicorum 的第1367 題，原題目為： 在n 個並列圓的圖形上，放置數個相同的圓，放置的要求為： (1)為了使圖形中的圓穩固，上一列的圓必須與下一列的兩個圓相切。 (2)任一列的圓必須相連。 例如：圖一與圖二是不被允許的，而圖三則符合要求。 因此，當n = 3 時，共有下列5 種不同的方式。 試問：令an 為底座是n 個並列圓的放置的方法數，求an 的一般公式。 由於翻譯時漏了第(2)個條件，竟意外的得到一個美妙的結果：在此問題中， 若要求相連，則得到費氏數(Fibonacci Numbers)； 若要求可不相連，則得到凱特蘭數(Catalan Numbers)。即 (1)要求相連時（n 階圓塔），放置方法數的一般項 (2)要求可不相連時（n 階廣義圓塔），放置方法數的一般項 二、 接著將底座改成放置在平面上的球（有正方形放置或正三角形擺放兩種）， (1)正方形放置的（方形球塔），其放置方法數的遞迴式為 (2)正三角形放置的（三角球塔），其放置方法數的遞迴式為 其中[x]為高斯符號。

去年，我們以《女生來做數學》一書中的拓荒遊戲分析致勝的關鍵；今年，老師又教大家研究另一個題目--線條遊戲，當線條數目一樣時，會有各種的選擇方式；當線條數目不一樣，會有不同的輸贏結果。要如何從繁雜的過程中找到相同點呢?先下手為強?還是禮讓對方呢?這些疑問引起大家熱烈地討論，決定要再次攜手合作進行這項任務。

為了瞭解物體互相摩擦後的帶電情形，本實驗使用摩擦力實驗裝置及量測系統，以鐵金屬(Fe)及鐵氟龍(PTFE)為試片材料，在乾摩擦條件下探討摩擦力、滑動速度對摩擦帶電的影響。實驗結果顯示，PTFE/Fe 的配對下PTFE 的表面電位極高，而Fe 的表面電位幾乎量測不到。此外，在相同的滑動速度下，摩擦力愈大帶電量亦會隨著變大，表面電位約與摩擦力的1.65 次方成正相關。而在摩擦力固定下，帶電量也會隨著速度的增加而增加，表面電位約與滑動速度的0.77 次方成正相關。根據實驗結果，我們提出摩擦帶電與試片表面摩擦溫度有關，表面溫度愈高，對電子吸附能力愈強，可以試片得到較大的表面電位。