第45屆--民國94年

AIME2004 考題：一張長1024 單位、寬1 單位的細長紙條，將其分成1024 個單位正方形。將這紙條重複對摺。第一次對摺時，將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長512 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的兩倍。第二次對摺時，也將這張紙的右邊邊緣疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長256 單位、寬1 單位的紙條，厚度為最初紙條的四倍。如此動作，再重複8 次。於完成最後的摺紙活動後，這張細長紙條已變成厚度為最初紙條1024 倍的單位正方形。試問在原來從左邊數起第942 個單位正方形的下面有多少個正方形？這種題目說實在真的很煩，但是到底怎麼算呢？本次的研究核心集中在折數、排序、紙條上的數值，以及許多迷人的結果及它們之間錯綜複雜的函數關係，並將嘗試進一步解開折數是5、6、7…等其他高次方與任意序數之數值。

因草木灰溶於水後，能降低水的表面張力，讓水包住油汙，達到清潔效果，所以同學藉此來研究各種相關的問題，以尋求最具洗淨效果的灰燼與最有效的方式，並測試其防霉及酸鹼度是否傷身。

牛奶與金屬離子藉由沉澱實驗，可看出全脂、脂低與混乳對於金屬離子的影響，並推測全脂牛乳對金屬沉澱效果最佳。此外牛奶的pH 值愈低時，不利於金屬離子的沉澱（如鉛離子），但對銅離子則不受影響﹔另外，在不同的溫度下加熱牛奶，牛奶被加熱的溫度愈高，對金屬的沉澱量相對減少。對於牛奶與金屬離子的沉澱反應，其原因可能為乳蛋白與金屬的配位而生成大分子沉澱，或是破壞膠体溶液的帶電性而產生沉澱，仍尚待研究。利用小白鼠進行活體實驗，餵食小白鼠硝酸鉛水溶液後再餵食牛奶，發現只餵食硝酸鉛水溶液的小白鼠體重與食量明顯與有餵食牛奶的小白鼠有差別，且發現未餵食牛奶的小白鼠有類似鉛中毒的情況，有餵食牛奶的小白鼠則否，所以可以推論牛奶對於鉛有一定的解毒效果，若能增加實驗天數，若是利用其他哺乳類動物，可能可以得到更接近預定的結果。

奈米科技的發展可說是材料界上一個重大突破，在我們生活周遭的花草鳥獸，許多都具有奈米級構造。本次的研究在於試驗奈米溶液是否能使不同基材（棉布、水泥板、木板與玻璃）達到類似蓮葉表面疏水的功能？先將奈米溶液塗佈或浸泡於四種基材樣本上，再藉由滴水珠於四種基材上分別量取其接觸角，取得實驗數據與繪製各項關係圖，並比較浸泡過奈米溶液的棉布、水泥板、木板與玻璃等四種基材，其持久性如何？希望藉此實驗所用之基材應用於生活環境中，將棉布應用於窗簾、布沙發…；玻璃應用於窗戶、櫥窗…；木板應用於木製地板、傢俱…；水泥板應用於牆壁…等等，以「大自然為師」打造一個自動清潔的家。

本研究主要在探討三角錐的性質。我們採用了三平角的三角錐展開圖來做以下的討論。(定義∠1＋∠2＋∠3＝180° 1＋∠2＋∠3即為平角。 )∠我們首先探討三角錐之折法，並討論是否任意三角形(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)皆能折成三角錐。再者，我們更進一步的研究三角錐的相關性質，如：三角錐四個頂點所相鄰三個角之角度、三角錐的兩面角和三角錐的體積…等。本研究發現如下1.三角錐之折法：取三邊中點，延兩兩中點之連線對折，即可折成三角錐。2.並非任意三角形皆可折成三角錐，但任意銳角三角形皆可折成三角錐。3.此三角錐四個頂點各所相鄰三個角角度和皆180°。4.△ABC面積固定，當△ABC為正三角形時，所折成的三角錐其體積為最大。根據以上的發現，我們發現了三角錐的其它的特性。

在方格紙上的方格點是否可連成正三角形是一道蠻有趣的問題;這個問題牽扯到有理數與無理數的關係,藉由兩種正三角形面積的算式,可以很清楚看出矛盾之處,並從代數中驗証幾何性質,幾何上的直觀不見得代表其正確性,更須以客觀精準的數據來輔助；除此之外，將正三角形條件放寬,以代數的基礎逐一探討其可能的情況。

生活中隨處可見數學的美與它的影響力！學校停車場地是我們每天上下學必經的場地，原本熟悉、平凡到無奇，想不到可以從一個簡單的問題中，透過不斷的追問、觀察、發現與驗證，進而確定其中數形的變化規則，而且我們還發現這些有規律的平面圖形結構，其間的（交點數＋單元凸多邊形面數－之間相鄰的邊數）竟然都等於定值1！想不到課堂上所學的數學知識，真的非常有用，幫助我們快速又準確解決看似複雜的趣味難題。

本研究探討數位公車在人類未來生活中行駛的可行性。本研究將以所學的數學知識進行公車路徑規劃，並透過「樂高機器人控制系統」以及Microsoft Visual Basic 軟體程式之撰寫，在棋盤式城市區域中模擬公車行駛情境，靈活搭配各種方案找出最佳路徑，達到便利快捷的高運輸效能。

對n × n 正方形區域戰場及m × n 長方形區域戰場埋地雷， 找出能在戰場上埋地雷的最多個數， 而使得士兵埋地雷時不會把自己困死。我們藉由做出的數百張圖中做分析， 發現可以將n × n圖形之n值分為6 t、1 + 6 t、2 +6 t、3+ 6 t、4 +6 t、5 +6 t， t ?N與特殊型2 +1， s?N去討論；而在m× n圖形中， 我們仍將m、n值分類去討論。最後整理其相關數據與規律性的畫法再加以分析， 求得了在n × n和m × n情況的公式解和埋地雷的方法， 並推廣至圓柱側邊討論。

一、利用ΔABC 周界上一動點P ，作出等面積線段PQ，利用GSP 觀察PQ在ΔABC 內移動的軌跡，發現其軌跡形成曲線形狀。二、將ΔABC 座標化，我們利用等面積條件求出等面積線移動所形成的曲線，是PQ中點所構造出的曲線段(雙曲線之一部分)，且共有3 條曲線段，形成內文所謂的「包絡區」。1.當P 點在包絡區內，則有3 條等面積線段。2.當P 點在包絡區周界上，則有2 條等面積線段。3.當P 點在包絡區外，則有1 條等面積線段。三、以三角形的研究當基礎，擴展到凸n 邊形，我們發現：等面積線段數量之分布，仍然與包絡區息息相關，且1.凸2m+1邊形最多有2m+1條等面積線段。2.凸2m邊形，必發生內文所謂的「換軌」。因此，最多只有2m-1條等面積線段。3.包絡曲線鎖分割出的區域，於相同區域其等面積線段數量相同，且相鄰兩區域數量差兩條。四、若凸n邊形有k個「換軌點」，則此n邊形過定點等面積線段至多有n-k條。