第45屆--民國94年

日常生活中，我們時常會遇到要求距離和的問題，如果只在A、B 兩點間找一點P 距離A、B 最短，那麼大家都知道只要在兩點的連線段上任意一點皆可以，那如果是在△ABC 中找一點P 距離此三點最短，又該如何找呢？這個問題，早在約三百多年前，費馬先生就已經提出來了，而這也就是有名的『費馬點』問題，多年來對於費馬點的證明很多，然大多只侷限在三角形三內角皆小於120°的三角形，這不禁讓我們懷疑，是否對於任意一個三角形，費馬點都存在呢？答案是肯定的！難能可貴的是，我們捨棄了一般人望之卻步的分析或高等代數的方法，而僅是利用了國中數學所學的幾何證明方法，便成功的找出了有一內角大於或等於120°的三角形的費馬點，更進一步的推廣到了凸多邊形和立體圖形中的四面體，我們誠摯地希望以此作品，讓更多對此問題感興趣的人，可以更親近，甚至擁抱數學，也讓大家瞭解原來數學也可以是很生活化而又平易近人的。

一、利用ΔABC 周界上一動點P ，作出等面積線段PQ，利用GSP 觀察PQ在ΔABC 內移動的軌跡，發現其軌跡形成曲線形狀。二、將ΔABC 座標化，我們利用等面積條件求出等面積線移動所形成的曲線，是PQ中點所構造出的曲線段(雙曲線之一部分)，且共有3 條曲線段，形成內文所謂的「包絡區」。1.當P 點在包絡區內，則有3 條等面積線段。2.當P 點在包絡區周界上，則有2 條等面積線段。3.當P 點在包絡區外，則有1 條等面積線段。三、以三角形的研究當基礎，擴展到凸n 邊形，我們發現：等面積線段數量之分布，仍然與包絡區息息相關，且1.凸2m+1邊形最多有2m+1條等面積線段。2.凸2m邊形，必發生內文所謂的「換軌」。因此，最多只有2m-1條等面積線段。3.包絡曲線鎖分割出的區域，於相同區域其等面積線段數量相同，且相鄰兩區域數量差兩條。四、若凸n邊形有k個「換軌點」，則此n邊形過定點等面積線段至多有n-k條。

在某次的宴會上，鄭師傅心血來潮做了一個三角形的蛋糕，但我們卻遇到困難-要如何切出相等的蛋糕分給每個人呢?這問題讓我們很有興趣。於是我們下定決心來研究。