第45屆--民國94年

本研究以循環及由後面推理方式完整的解決歷屆科學展覽的難題「約瑟夫排列」。

本文主要就完全數列中的布朗準則(Brown's Critertion)、亨斯貝爾格(Honsberger)推理來探討正數係數線性齊次遞歸數列，得出是完全數列的有兩種類型：例如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + 2an的數列、及型如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + an，的k階廣義斐波納契數列；在適當選取初始條件，可使此數列為完全數列。且其初始條件的前k項最大值分別為1,2,4,8,…,2k-1 。 除了等比數列﹛1,2,4,8.16,…﹜的子序列和可唯一替代所有正整數外；本文同時建構廣義ｋ階斐波納契數列的初始條件，使其任一正整數可以唯一表示成相異且無k個相鄰的廣義k階斐波納契數和來替代。

茲認為乳酸菌及其衍生物對整個人類飲食有極深遠的影響，激起我們以乳酸菌為研究主題的想法。此實驗探討乳酸菌對環境改變的適應能力，以期達到有效的利用。一、使溫度由5℃驟變至37℃(人體溫度)，觀察乳酸菌對驟變環境的適應能力，並比較緩慢回溫時乳酸菌之恢復情形，以及兩者恢復活力的效率又是如何。二、模擬人體消化道環境，比教全脂及脫脂優酪乳內的乳酸菌通過胃酸及膽汁後的存活情形，探討乳酸菌的活力減退程度與環境因子的影響。了解脂質與蛋白質的多寡是否會影響膽汁及胃酸對乳酸菌的抑制程度。三、比較乳酸菌在pH7、pH7.8、添加膽汁的pH7.8培養液中的生長情形，以判定膽汁對乳酸菌的抑制效果是否導因於酸鹼度或膽汁的內含物。

研究主題探討「七邊形的數字謎題」：七邊形每邊三個圓圈，圈中填入數字1~14(不得重複使用)，使得每邊和為26。觀察發現數字填入時的特性：七個邊中圓圈務必填入1~7，七個頂點圓圈務必填入8~14。嘗試在此條件下尋求謎題解，方法一：將1~7 依序填入邊中圓圈，再考慮8~14 來配成每邊和26。方法二：以14 為中心起始數字(頂點圓圈)，考慮兩旁(邊中圓圈)放的數字組合，再找出整組解。方法三：列出每邊和為26 的所有可能組合，從中挑7 組串成一七邊形的組合。結果發現：謎題有解，解非唯一。依同樣的數字填法，進一步推廣討論，(一)「邊數改變」，求每邊和。(二)快速找出各邊數的謎題解法。(三)填入「數字改變」，求每邊和。(四)七邊形的數字謎題數字填法改變，求「各邊和的變化」。結果發現：圖形的邊數可推廣至n 邊形，其中奇數邊形的謎題有解，偶數邊形的謎題則否，而數字的改變只需考慮連續性，皆能有解。七邊形的數字謎題之各邊和的值可變動，上下限範圍值於19~26 之間。

關於駐波：如果拉緊的繩左端以正弦震盪，而另一端固定，則此震動會沿著繩子像又送出一連續的行進波。波的頻率即震動的頻率。此波在固定端反射，向左回轉行進通過他自己。向右的波和向左的波便互相干涉。在某頻率下，此干涉會產生一駐波形式。但在高中課本之中只有討論以上所述之繩波，和水波槽中關於兩點波源所產生的駐波，而我們感興趣的是──三個、四個波源呢？而且現實狀況之中的波的振幅也並非是永遠保持不變。我們先利用電腦模擬兩個、三個及四個點波源產生的駐波。而後再用四個實驗，分別是一至四個點波源的水波槽實驗，我們利用馬達的震動產生水波，用投影機從水波槽的下方將水波投影至牆壁上，再用數位相機照下。現在高中課本中介紹節線及水波時，理論的推導都是沒有計算到水波振幅隨著距離波源的遠近而隨之有的衰減，而我們將實驗跟兩種理論的結果作比較，發現波源數在偶數時，有無衰減所造成的節線形狀略有差異，而波源數三個時，很明顯的可以發現當考慮到衰減時，節線數會變的較少。我們推測這是因為三點波源節線的決定並不是單純因為相位差為半個波長的關係，而同時與振幅也有一定程度以上的相關性。

在四年級上學期牛頓版的「自然與生活科技」領域第二單元「水中的生物」其中有一個學習活動是要同學們養殖水生動植物，以便觀察與認識水中生物的種類、繁殖與生態環境等等。本研究是為了因應本單元的學習需要，對此一學習活動做更深入、更廣泛的探討。關於認識「水生植物」的部分，我們探討了四個主題：一、比較「水生植物」對於各種水體生長適應的情形。二、探討「水生植物」對於洗潔劑稀釋液生長適應的影響。三、比較「綠藻植物」對於各種水體生長繁殖的情形。四、探討「水生植物」的養植對於各種水體PH?的影響等問題。從本研究的各項實驗結果，我們有以下的幾點重要發現，簡述如下：一、沒有任何一種水體是完全適合所有類型水生植物的生長適應。二、濃度0.05﹪的家庭用「洗潔劑稀釋液」，會使得大部分的水生植物在3-7天內死亡。三、「洗潔劑稀釋液」的毒性，會隨著時間的延長逐漸的被水體中微生物的分解而消失。四、各類型的「水生植物」對於各種洗潔劑對水體的污染，具有淨化的功能。五、水生植物在養分和光照量不足的情況下，為因應不同環境的變化，會呈現出枝葉縮水的狀態。六、洗潔劑的毒性消失後，洗潔液所提供的養料，會使水生植物長得更好，這可能是造成受污染水源「優養化」的重要因素。七、「綠藻植物」的生長繁衍與水體的種類並沒有必然的關係，而是受限於光照與養分量的多寡。八、「水棉」和「大聚藻」這兩種水生植物，對於各種水體pH值的變化，有非常顯著的作用。希望透過本研究的結果，使得同學們對水生植物有更深刻的認識，以便對水生植物養植有更正確的觀念與作為。

本研究主要在探討奇數階平面方陣及奇數階立體方陣的規則，我們發現奇數階平面方陣及奇數階立體方陣有一定的規則可循。建構奇數階平面方陣可依據兩個規則：〈一〉平面方陣中的正中央所填入數字一定是數列的中間數。〈二〉每條直行及橫行中，各行數字所代表的座標依循著一定規律方式，座標依照A→B→C 或C→B→A，以及1→2→3 或3→2→1 的規則，並且都不重複。建構奇數階立體方陣可依據四個規則：〈一〉依據階數，將所有數字平均分組，接著將所有數字座標化。〈二〉數列的中間數字必落於中層，選取各組數字時，由中層先選取，其他層選取各組數字時，依據平面方陣建構之規則來選取。〈三〉各層數字選取後，先由中層開始建構，建構之規則與平面方陣之規則相同。〈四〉中層建構完成後，其他各層與中層的座標需要交錯，然後依序所對應的填上數字。

台灣目前並未分佈的『黃鉤粉蝶』是研究主題的主角----我們尋找黃鉤粉蝶及其他種類蝴蝶在馬祖--南竿地區的棲息地點，並且從卵開始，學習飼養黃鉤粉蝶的幼蟲，佈置適合牠的居處環境，學習辨別牠和其他常見粉蝶不同的地方，同時知道怎樣辨識黃鉤粉蝶雌、雄的方法，及牠們的生活習性，了解目前黃鉤粉蝶為什麼會出現在馬祖，以及牠所遭受到的生存危機。除此之外，研究過程中發現到一些馬祖地區的特別種蝴蝶，我們進行拍照、比對，得以對蝴蝶有進一步的認識。

黑格攣線是一個用有方向性攣線攣接平面或蒚體棋盤中黑格的動作。以平面棋盤為例，在給定的m× n 黑白格相間的棋盤(其左下角為黑格)，由左下角開始以連線將共點黑格連接，若所有黑格都能被連接，則稱(m,n)符合黑格連線條件。本研究主要目的是以推理方法導出當(m, n)符合黑格連線條件時， m,n 之間的關係，研究初期猜測當gcd(m ?1, n ?1) = 1時，數對(m,n)符合黑格連線條件。為達上述目的，研究中需探討棋盤中的黑格總數、連線在棋盤上重複通過的黑格數量及重複通過的次數，以及在如何的情況下可以使連線通過棋盤上所有的黑格，最後驗證研究初期之猜測成立。本研究預期推展到高維度棋盤符合黑格連線的條件。目前發現此推廣面臨高維度中點、線、面、高維度體個數及相互連接的問題，由實例進行黑格連線後，猜測結果與二維、三維相仿（各維度的格數減一之值必須兩兩互質）。另外，還有一個研究推廣的思考方向：mxn棋盤中，將連線視為繩，連線第二次經過黑格時，依序向前一條連線上方、下方通過，最後將黑格相連後，繩拉緊所能產生的繩結數。

本研究使用自製重力震盪器、十種的沙子、不同形狀、密度的紙模型、不同形狀的盛裝容器、保麗龍球與鉛等，來探究埋在沙子裡的石頭會浮出沙面的原因。研究一以沙子加水與未加水進行震盪研究，發現本實驗與沉積作用不同。研究二利用重力震盪器進行震盪，發現震盪高度越高、沙子厚度越薄，石頭較易浮出。研究三、四、五、六、七針對埋入的物體，改變外型、密度、體積、體積比沙子小與埋藏位置等方法進行研究。發現當物體為球體、密度小、體積大、埋藏在中央較易浮出。研究八以不同形狀的盛裝容器與不同材質的容器內壁進行實驗。發現不加內襯的正方形容器較易讓保麗龍球浮出。研究九以保麗龍球、鉛片與鉛丸進行實驗，驗證我們的研究結果。