第45屆--民國94年

正如大家所知：「鴿子棋」又稱「對頂棋」，是一種規則簡單，清晰易懂的遊戲，其玩法複雜且富挑戰性，便想要將其致勝的方法完全找出，可是過程中在網路上發現名為鴿子棋的遊戲可以直接在線上與電腦比賽，由此可見其致勝的方法一定被研究出來了，於是想到改變遊戲規則－最多走3 步來研究，發現找到的一些致勝點在鴿子棋規則下是不適用的，且在網站中並未發現有類似的遊戲，也就是說這算是新的遊戲。經歸納後發現：設「a1,a2 ,a3 ,…,an」為一組棋盤m×n 的間隔，若a1, a2 , a3 ,…,an 中有大於3 的數字，先將其減去4 的倍數，得到新數據「b1, b2 , b3 ,…,br」，其中1≦b1, b2 , b3 ,…,br≦3，而當r為偶數時，若「間隔」可拆成x組棋盤8x2的致勝點，則「a1,a2 ,a3 ,…,an」為一組mxn棋盤的致勝點；當r為奇數時，若若「間隔」可拆成1組棋盤8x3及y組棋盤8x2的致勝點，則「a1,a2 ,a3 ,…,an」為一組棋盤mxn的致勝點。另外，我們也歸納出快速檢驗致勝點的方法：若有一組間隔，其\r 中有數字大於或等於4，則先將該數字減去4 的倍數後，而能將該組數據拆成若干組「1,1」、「2,2」、「3,3」或「1,2,3」的組合，而沒有剩下任何數字時，則此數據即為致勝\r 點。還有，在整個研究中我們也探討其致勝的規律、原因及致勝移子的技巧等相關性質；雙方棋子在「布局」及「對弈」的過程式相當複雜及有趣的，若能利用本研究結果，不但方法容易、步驟簡便、且不易出錯，更能達到省時間與高效率!使我們充分體會「從遊戲中學數學」的樂趣。

我們以常見的布袋蓮、水芙蓉、槐葉蘋、香蒲、莎草和空心菜來比較淨化鳳山溪污水的能力，發現其中漂浮型的布袋蓮效果突出，挺水型是以空心菜表現最佳；漂浮型則優於挺水型植物。如果以布袋蓮、水芙蓉、槐葉蘋、滿江紅對鳳山溪污水、拖地水和雨水等不同類型污水，觀察濁度和透視度的結果，發現鳳山溪污水以布袋蓮最好，其次是槐葉蘋；拖地水仍是布袋蓮最佳，其次是水芙蓉；雨水的淨化效果則以水芙蓉最好，槐葉蘋其次。考量自然沉澱的因素，我們以墨水來測試，發現根系短的槐葉蘋淨化效果比根部發達的布袋蓮好。如果以一定重量的布袋蓮和槐葉蘋操作實驗，發現槐葉蘋淨化效能優於布袋蓮。所以，根系短槐葉蘋的淨化能力應該受到重視。

本研究利用幾何和代數的方法配合Corel Draw 繪圖軟體突破一般探索星形內角和公式的範圍，從直線星形延伸探討至折線星形。另外，使用GSP 繪製星形，用以呈現折線星形的動態漸變過程，且驗證公式的正確性。主要的研究流程及結果如下：1. 直線星形種類：首先，利用正N 邊形的外框，固定相隔L 點連線即可完成星形。經推理和實際連線的結果，最多可連出[(N-3)/2]種。2. 探討直線星形內角和的一般性公式：無論星形內部的層數存在與否，可證得任意N（L）星形內角和公式為S（N,L）＝（N-2L-2）×180°。3探討折線星形的一般內角和公式：當星線為一個折點時，任意N? (L)折線星形內角和為S?(N, L)＝Q? (N, L)－（2L＋2）×180°，其中Q? (N, L)是折角總和。4. 在一個折點，且折角均相等的條件下，正N? (L,K)折線星形內角和為S?(N, L,K)＝（NK－2L－2）×180°。其K 值的變化範圍（2L+2）/N ?K? 1＋2（L-[L/2]）/2，星形變化的範圍為正N 條放射線至正N（[L/2] ）直線星形之間，在這個變化的範圍中除了包含了不同層的直線星形（[(N-3)/2]- [L/2]+1 種）外，層與層之間尚存在無窮多個星形。5. 當折線星形具 M 個折點時，一般的星形內角和為S?(N, L,M)＝（N(1-M)－2L－2）×180°＋ Q? (N, L,M) ；而當M 個折角均相等時，正N? (L,K,M) 星形內角和為S?(N, L,K,M)＝{N[MK－(M－1)]－2L－2}×180°。

本研究以循環及由後面推理方式完整的解決歷屆科學展覽的難題「約瑟夫排列」。

藉由蒐集不同底部類型的紙盒，觀察紙盒底部結構，發現可將紙盒底部的組裝方式分成兩大類：（一）底部僅以鑲嵌方式組裝；（二）底部須以膠水或膠帶黏貼。經過觀察並共同討論後，發現以鑲嵌方式組裝的紙盒用途非常廣泛，載重力的範圍也很大，而且符合環保再利用的理念，所以我們決定這次的研究方向為「紙盒的底部結構對載重力的影響」。研究過程有「紙盒底部結構載重力測試」、「不同形狀、大小的底部紙盒對載重力的影響」、「鑲嵌處邊角對載重力的影響」。未來可以再探討以下幾個主題：載重力最好的鑲嵌處比例應為何？是否可以找出簡單的計算方式；找出容易組裝的邊角角度、裁切方式；紙盒結構與成本的關係；設計不同功能的紙盒。

「完美正方形」是指在一正方形內切割出大小都相異的小正方形。而我們的研究，則放寬條件，允許同樣大小的正方形不超過三個。我們先估算出正方形中可切割的最大正方形邊長範圍，再以方格紙手畫的方式找出邊長１至25 的解，在過程中，我們發現可用放大的方式解決邊長為合數的正方形。因此我們將重點放在邊長為質數的正方形，我們將正方形分割成兩個連續整數邊長的正方形，則剩下少一單位的缺角正方形區域。我們探討缺角正方形區域的解，再討論分析回原來的正方形。最後解出了邊長1 至100 中全部有解的正方形。對於更大邊長的正方形，我們的方法也可行。所以我們以流程圖來表示解決問題的過程，並用電腦試算邊長1 至1000 的完美正方形。

本文主要就完全數列中的布朗準則(Brown's Critertion)、亨斯貝爾格(Honsberger)推理來探討正數係數線性齊次遞歸數列，得出是完全數列的有兩種類型：例如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + 2an的數列、及型如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + an，的k階廣義斐波納契數列；在適當選取初始條件，可使此數列為完全數列。且其初始條件的前k項最大值分別為1,2,4,8,…,2k-1 。 除了等比數列﹛1,2,4,8.16,…﹜的子序列和可唯一替代所有正整數外；本文同時建構廣義ｋ階斐波納契數列的初始條件，使其任一正整數可以唯一表示成相異且無k個相鄰的廣義k階斐波納契數和來替代。

”生活更便捷，就讓聲活動起來”是讓生活變的更簡單、更安全的專題製作研究，在組員討論下，我們選擇運用聲音控制家中的電器用品，可以使用平常的生活用語，來開啟或關閉常常用到的特定電燈、冷氣、電扇、…，天氣熱時所需要開的電風扇和冷氣也可以運用的到，也可以利用語音，便完成澆水、撥放音樂功能。當要睡覺了，我們只需要說”睡覺囉”電腦就會將家中所有的電燈關閉，並開啟夜間所使用的小夜電燈。在現今的社會家庭闖空門，變成常有的事情，因此我們利用電鈴的訊號，以防止家中無人時，若有人按門鈴就會轉接到主人手機，與來訪的人進行交談，使訪客以為主人在家中；另外一方面，若是主人在家中，離對講機很遠或正忙中，這時就可以使用免持聽筒的方式，直接與來訪的訪客進行對話和語音開門，就不必跑到對講機前面與訪客對話了。專題中，我們也運用手機，控制家中電器用品，只需要發一則簡訊，即可和「語音辨識系統」有同樣的功能了。另外撥打電話可免持聽筒，免按電話的數字鍵；接聽電話時，將會語音告知是誰的電話，並可免持聽筒，直接與來電者交談，讓生活更便捷，聲活動起來。

本研究主要是進一步研究八上自然與生活科技課本中，有關凹（凸）面鏡的成像，希望能更具體找出實、虛像的位置。 首先在研究一中，我們利用19 片的鏡面鋼折彎成y= a x2 的拋物曲面，並尋找a 值與焦距f 之間的關係。結果發現a＝1/(4f)。 接著在研究二中，以視覺暫留的觀念結合改良的視差法，具體測量凸面鏡的虛像位置。並以成像公式：1/物距 ＋ 1/像距 ＝ 1/焦距，推得像距理論值後，與實際測得的像距比較。 在研究三中，進一步研究凹面鏡所成的實、虛像位置。 最後的研究四是主要的創意設計。我們利用塑膠膜及漏斗自製一種可以任意調整凹凸的面鏡，並以LED 燈為光源，觀察凹面鏡所成的實像變化。而且可調式面鏡亦可作生活上的應用。

一個小小的繪圖尺，2 個固定的外圓搭配3 個內滾圓及多個筆插定點，就可以畫出108 種花瓣圖形，令人?嘖稱奇，仔細探究發現竟與內外圓齒數的公因數公倍數及比例有相關，且察覺內外圓大小比例是影響花瓣數及花瓣形成軌跡的重要因素，其中外圓決定了花瓣數，而內滾圓則決定了花瓣形成軌跡的順序。經由此研究探討後，我們已能從花瓣圖形中判定此圖形是由怎樣的內滾圓繞外圓旋轉，也能由內外圓的大小預測能畫出怎樣的圖形，同時更進一步我們也運用這些原理隨心所欲的創作出不同組合的繪圖尺，感到很有成就感。