第43屆--民國92年

我們這份研究主要是看到了IMO 預選題題冊裡面的一題「當都不被2 整除時，求n 的條件？」後，決定要做更進一步、更大範圍的研究，我們把2 換成其他質數或其他質數冪次方等，試著找出在符合所設條件時的n 及質數a 的關係。 這個研究分為兩部分： 一、探討二項式中某一單項，若不被（或被）正整數a 整除時，n、r 與a 的關係。 二、探討二項式係數都不被正整數a的倍數整除時，n 與r的關係。 ◎ 第一部份，我們用了餘數的關係與不同的進位制去導出n、r 與a 的關係。 在此部份所得到的結果分成兩部分： (1)當a 只含一個質因數時，可求出n、r 與a 的關係。 (2)當a 含有兩個以上的質因數時，則要同時滿足a 的所有質因數的條件。 ◎ 第二部份，我們用了兩種方法去證明我們的結果。 一個是用解原題所引申的方法去證的。另一個是利用第一部份中所得到的結果去配合證明的。 在此部份所得到的結果分成二種： (1) a 只含一個質因數時，可求出n、a 的關係之充要條件。 (2) a 含有兩個以上的質因數，雖然我們不能有n、a 的關係之充要條件，但卻可求出n 的充分條件與例外的範圍。 接下來，再探討n 項式係數時，運用了前面兩部分研究的結論。但由於n 項式係數中受到了許多限制，我們只研究出了當a 為質數時的條件。 而未來，我們除了希望能有更簡易的方法來表示a 為合數時的條件，也希望能夠在n 項式係數的研究中，能夠有更多的發揮。

主要探討凸四邊形中，是否能找出與每一邊都平行且與每一邊都有一個交點的一條封閉路徑及其具體尋找的方法，其重點擺在如何尋找此封閉路徑一開始的起始點及尋找封閉路徑。

本文探討了特定問題的組合最佳化，所謂組合最佳化就是在共同限制及相互影響下，來求得最佳解。一個組合最佳化問題的困難，往往是由於其龐大的解空間所致。本文介紹了貓抓老鼠問題的組合最佳化，並在第一步中，以歸納法解決了一個較簡單的例子。經由我們歸納的結果，我們一共得到了五個證明，來推廣每個頂點相等通道的一般性，並且得到了四個相等通道問題所應該有的性質，之後我們又用了二個證明，推廣在完全對稱下所需的結果。第二步中，我們又用了四個證明，將問題推廣到每個頂點不相等通道的問題，並且以二個不等通道的範例，闡釋了我們所得的結果。我們所得到的結果，能有效的解決解空間不大的某些特定問題，尤其是以人工來解決問題時，提供了一個絕佳的途徑。然而當解空間變得較大且邊數不等時，即使有不錯的結果，問題也會變的非常的複雜。我們在特例探討上，解釋了即使是單純且限制了許多條件的問題，要證明一般性也不是這樣容易，所以當問題變大時，我們改以組合最佳化的最佳解逼近來取代求最佳解，而不直接求最佳解。一個好的最佳解逼近就是在可接受的時間範圍內，求得逼近最佳解。當然我們仍能以暴力法則求得最佳解，但時間範圍是我們所不能接受的，故在此不予討論。

溜溜球是一種流行久遠的兒童玩具，很多人童年都有玩過。它上下運動過程中，所呈現的物理現象看似簡單，其實隱含了很多高深的物理原理。經由我們詳細觀察、研究、實驗、分析後發現，溜溜球是物理學上力學篇的綜合表現。1. yoyo上下運動遵守能量互換原則。2. 摩擦力大小與纏繞圈數有關，摩擦係數（μ）與纏繞圈數無關但與材質有關。3. 摩擦力大小、摩擦係數（μ）與接觸面積無關。4. yoyo是否反轉向上決定於摩擦力大小是否能夠阻止軸心滑動而定。若摩擦力足夠大，必會產生一反作用力出現，因此會有反轉向上的扭力。5. yoyo徑，加速度a、角加速度α、角速度ω、轉動慣量Ｉ)有密切關係。6. yoyo圓形輪直徑大小影響其轉動慣量（Ｉ）的大小，因此影響反彈高低。直徑大，轉動慣量（Ｉ）大，反彈上昇不易停止，反彈高；反之，直徑小，轉動慣量（Ｉ）小，反彈上昇容易停止，反彈低。7. yoyo若改變質量分佈會影響其質心位置變化，因此等效半徑( r )改變，轉動慣量（Ｉ）也會隨同改變。其反轉爬昇的反彈高低與前述yoyo圓形輪直徑大小變化所呈現物理現象相同。8. yoyo由上往下降類似第三型槓桿(費力)，反轉上升類似第二型槓桿(省力)。我們發現用槓桿原理分析yoyo，比用轉動慣量分析更能清楚了解轉動力學原理。yoyo上下運動完全附和牛頓直線三大運動定律、也可附和牛頓第一、第二轉動定律。9. 若yoyo輪固定， yoyo下降時，輪（圓形直徑大小）的半徑相當於槓桿的抗力臂（阻力）；軸的半徑相當於槓桿的施力臂（作用力）。軸心直徑大小不同，其下降的作用力也不同，軸心越大作用力越大，下降加速度a越大，附和a與軸半徑(r)的平方成正比；反之，軸心越小作用力越小其下降加速度a越小。但反轉上升時，輪、軸角色扮演、功能互換。軸心直徑轉軸不同，反抗爬昇的阻力能量大小也不同，所以YOYO反彈高低不同，原理其實完全附和槓桿原理。

利用化學合成法合成出聚苯胺及 MEH-PPV，經過一連串的製程作出高分子發光二極體（PLED），再用 I-V 儀量測。實驗中以聚苯胺及 MEH-PPV 的薄膜厚度為變因，進行實驗。 電壓值為 10V，量測樣品通路上的電流。一開始電壓在跑時，量到的電流都為 0A，所得到的圖形為一水平直線；當電壓到達一個值時會向上爬升，但爬到一個階段後圖形呈現鉛直掉落至電流為 0A，圖形又恢復成水平直線。過程中看到了薄膜厚度對樣品確實有影響，又鋁電極的厚度不能承受過大的電壓，所以，用銦粒壓在元件上藉以保護。 Using Chemiccal polymerize PANI and MEH-PPV make through a series Polymer light emitting diode（PLED）Produce.then using I-V meter surveies. PANI and MEH-PPV change of thick proces.Experiment design I-V volt for meter conduction of current of sample .The voltage moving.First meter current is obtaining the figure is horizontal when voltage increase to a special value , but increase a while , the current will fall down to zero volt. Figure will go to horizontal that sample will change .Thick is different,and aluminum cathode can not suffer too much voltage .otherwise will burn.

國一的生物課介紹生物多樣性(作品與教材相關性，生物下冊，國立編譯館，109頁)時，老師曾舉例說明外來種生物對本地生態系可能造成的影響，除了一般耳熟能詳的福壽螺和吳郭魚之外，也知道了教室旁的小山坡上長滿的非洲大鳳仙居然也是外來種，我們還發現了校園內這些非洲大鳳仙似乎有向其他地方擴散的情形。另外大家也看到政府單位在一些道路兩旁種植非洲大鳳仙以美化環境，實在令人擔心這些非洲大鳳仙是否會擴散至周圍的環境並且對其它植物的生存造成威脅。因此，我們從去年3月起就藉由一連串的觀察記錄與實驗，希望多了解非洲大鳳仙目前在台灣的生態系中，扮演什麼樣的角色。

本文所探討的是給定一個 n×n 的棋盤及 n^2個兩面棋(一面為黑色，一面為白色)，若規定其中一個棋子翻面時，則與此棋相鄰的所有棋子亦須跟著翻面，而我們想探討在此規定下的所有棋局是否皆可被翻成同一面。因此我們將每一個 n×n 的棋局對應到一個矩陣，且翻棋的過程則對應到矩陣二進位的加法。利用此思考模式我們可以將此遊戲問題轉換成是解聯立方程組與判別矩陣是否可逆的問題，最後並借助數學軟體 Mathematics 4求其解。

我們定義：騎士的走法，在西洋棋中，依座標來看，如下圖所示。由起點O(0 , 0)出發，有八種走法如下：A(1 , 2)、B(2 , 1)、C(2 , -1)、D(1, -2)、E(-1 , -2)、F(-2 , -1)、G(-2 , 1)、H(-1 , 2)。 探討的目的： 一、用騎士走法，給定一起點，求出其在棋盤中到每一格的最少步數，並利用Visual Basic 6.0 製作輔助程式驗證。接著把所得的數據填入每一格中，推導得每一個步數所形成的圖形公式。 二、藉由研究目的(一)所得的圖形，我們反推求得給定一起點，要到達另一給定終點，所需的最少步數的公式。包括數個判斷公式與使用到高斯函數的對應公式。 三、列舉出不能符合圖形公式與反求步數公式的情況。 進一步討論： 1. 可以進一步討論在給定一起點與一終點，探討其最少步數有幾種走法，並想辦法求得期間最少步數的走法規則。已撰寫出程式供參考，具體結果仍在研究中。 2. 若在一立體空間中給定一起點與一終點，研究騎士走法最少步數的規則及公式。 3. 若騎士有另外的走法譬如由起點O(0, 0)，騎士走法用(±3, ±4) (±4, ±3)、(±4, ±5) (±5, ±4)…等方法，是否也能走遍棋盤的各個座標點？是否有最少步數的公式存在？

這個研究針對校園內、野外、陽明山花卉中心、與植物園等地所取樣的花、雄雌蕊與蕨類，共進行了五個活動，活動一：藉由觀察不同花朵的形狀和雄、雌蕊生長位置，分析了四個觀察繪圖記錄：1.雄蕊長在一個雌蕊的周圍；2.雄蕊長在雌蕊的身上；3.雄蕊長在花瓣上；4.花上面有很多的雄蕊和雌蕊。活動二：從顯微鏡看雄蕊、雌蕊，觀察到每一種花的雄蕊花粉不同之處，並記錄了雌蕊柱頭分裂的特徵。活動三：發現到大多數的花，其雄蕊和花瓣之間有因數、倍數的關係。活動四：觀察、記錄、拍攝懷孕的花。活動五：針對不是利用開花來繁殖的蕨類植物，分析其孢子分佈的方式及顯微觀察孢子的特微。

利用顯微鏡及其他相關設備，觀察塵?的形態與行為，並試圖了解塵?和過敏反應的相關性。經過長久的尋找，嘗試多種方法，終於找到塵?，發現「室塵?」的兩種?類--歐洲室塵?及美洲室塵?。學會飼養塵?的方法，觀察到塵?攝食酵母粉的情形。並充分運用我們的設備，觀察、拍攝各種水中微生物（數位相片、錄影帶、VCD）的行為，並測量出水中微生物的大小。