第43屆--民國92年

本研究主要探討理化第一冊 3-1 音叉共鳴實驗中，音叉本體的構造及音箱所扮演的角色。以分析聲波軟體 Cool edit 2000，對自製音叉作仔細的探討，從中，我們也找出製作音叉的數學公式。研究中發現，音叉的構造兩股必須等長，才可造成兩股間的共振。而在研究一中，以自製音叉分析兩股口徑粗細、寬度、厚度與頻率的關係，發現音叉的口徑長(兩股為圓柱)和厚度均與頻率成正比，與一般弦樂器中弦愈粗頻率愈低不同。而音叉寬度對頻率的影響則不顯著。在研究二中，音叉頻率與股長平方成反比，與一般弦樂器中頻率與弦線長成反比不同。在研究三、四中，我們證實音叉兩股的間距與材質均會影響頻率。最後，在研究五中，分析音箱所扮演的角色。結果發現若木箱大小設計不佳時，亦可進行共鳴實驗，只是木板是當成共鳴板，而木箱則為反射箱，但箱內空氣柱並不引起共振。

您知道嗎?原來許多玩具的設計，在大樓發生火災時也可用來作為逃生的器材。本實驗主要在運用玩具的原理，設計各種大樓的逃生方法，並探討其優缺點。從玩具的觀點出發，你將會有意想不到的發現。

本研究是[對於正n 邊形A1A2…An 邊上一點P(含頂點)，想像自定點P 朝鄰邊發出一條光線，若依逆(順)時針方向依序與每邊皆碰撞一次，經一圈而可回到P 點，則此路徑稱為「光圈」。我們試著追蹤能形成光圈的光線行進路徑及其相關問題。] 本研究令，且以逆時針得光圈來討論： 1.根據[光的反射原理]，探討光圈之存在性，發現除定點P 在正2m 邊形或正三角形的頂點外，其餘皆有光圈。 2.將可形成光圈的路徑圖展開成[直線路徑圖]來探討。 3.由[直線路徑圖]，我們觀察到光圈的光線行進路徑可能存在三種： (1)通過正n 邊形的頂點，光線行進終止。 (2)不通過正n 邊形的頂點，且產生路徑循環問題。 (3)不通過正n 邊形的頂點，且路徑不循環。 4.發現出正2m 邊形光圈皆為[完美光圈]。 5.發現正2m+1 邊形光圈之路徑與有理數、無理數之特質有關。即當s 值為有理數時，路徑會循環；當s 值為無理數時，路徑不循環。

我們這份研究主要是看到了IMO 預選題題冊裡面的一題「當都不被2 整除時，求n 的條件？」後，決定要做更進一步、更大範圍的研究，我們把2 換成其他質數或其他質數冪次方等，試著找出在符合所設條件時的n 及質數a 的關係。 這個研究分為兩部分： 一、探討二項式中某一單項，若不被（或被）正整數a 整除時，n、r 與a 的關係。 二、探討二項式係數都不被正整數a的倍數整除時，n 與r的關係。 ◎ 第一部份，我們用了餘數的關係與不同的進位制去導出n、r 與a 的關係。 在此部份所得到的結果分成兩部分： (1)當a 只含一個質因數時，可求出n、r 與a 的關係。 (2)當a 含有兩個以上的質因數時，則要同時滿足a 的所有質因數的條件。 ◎ 第二部份，我們用了兩種方法去證明我們的結果。 一個是用解原題所引申的方法去證的。另一個是利用第一部份中所得到的結果去配合證明的。 在此部份所得到的結果分成二種： (1) a 只含一個質因數時，可求出n、a 的關係之充要條件。 (2) a 含有兩個以上的質因數，雖然我們不能有n、a 的關係之充要條件，但卻可求出n 的充分條件與例外的範圍。 接下來，再探討n 項式係數時，運用了前面兩部分研究的結論。但由於n 項式係數中受到了許多限制，我們只研究出了當a 為質數時的條件。 而未來，我們除了希望能有更簡易的方法來表示a 為合數時的條件，也希望能夠在n 項式係數的研究中，能夠有更多的發揮。

高級餐廳用它來盛裝各色各式的飲料，是浪漫氣氛的催化劑；自然老師拿著它裝著高高低低不同水量，敲打出了琅噹悅耳的聲音。原來外表光鮮亮麗的它，轉眼間也可以是清脆悅耳的樂器；然而更神奇的是：電視節目裡特技表演的魔術師竟然可以徒手讓它“唱起歌來”。只是徒手摩擦高腳杯竟可以發出美妙的聲音來，到底真是魔術神奇？還是裡頭別有文章？於是我們決定讓長年站在家中櫃子裡裝飾用的各式高腳杯”活起來” ，展開一連串高腳杯魔術探險之旅，嘗試各種實驗找出摩擦高腳杯發聲的原理，以及改變各種條件來討論它所產生聲音的不同。並找出高腳杯的音階，好讓大家知道：透過這獨特的樂器演奏出的曲子可是聽來別有風味喔！

一、剛研究此題時，我們以自製的城堡圖及棋子來模擬，試著找出答案，但隨著衛兵數的增加，答案也隨之增多，所以我們開始以討論的方式來尋找答案，但無論如何討論，似乎總會漏掉幾個答案。因此，我們改變原有的思維，再次重新思索題目，尋求解決的方法。最後，利用「不等式」及「不定方程式」來逐一討論各種情況。二、有 m 個衛兵，要站在 n 邊形的城堡崗哨上，且每邊的衛兵人數要相等，則：（一）從 m≦ n ×s ≦2m 中，找出所有符合條件的 s 值（s N）。（二）再由所找出的每一個 s 值中，求出在其條件下的 p、q 值。（p = n ×s - m，q = m - p；p、q N 或 0）（三）由 p、q、s 的值中，求出 a1 、a 2 、a3 、…、a 2n 的值。（a1 、a 2 、a3 、…、a n2 N 或 0）（四）刪除重複的答案後，即為所求。註：1.站在頂點的衛兵人數和p = a1+a 3 +a 5 +…+a 2n_1 2.站在非頂點的衛兵人數和q = a 2 +a 4 +a 6 +…+a 2n 3.衛兵人數和m = p+q= a1+a 2 +a 3 +…+a 2n 4.每邊衛兵人數s = a1+a 2 +a 3 =a 3 +a 4 +a 5 =…=a 2n_1+a 2n + a1

常常看到鳥類都將一隻腳縮起來，七股的黑面琵鷺如此，就連家裡養的金絲雀也有這種現象。這不禁讓我們對此種行為感到很大的興趣，在翻閱相關書籍及資料後，發現解釋此一現象大多從維持體溫恆定的角度切入說明，但卻沒有明確的實驗證明。剛好在自然與生活科技課中有學到關於「恆定性」的單元（康軒版下冊第二章第一節），所以我們就以現有的材料來設計實驗，藉著觀察在不同溫度的環境中，金絲雀的單腳站立行為是否有所差異，以便求證書中所言，並想更進一步了解溫度對鳥類行為的其中奧秘。

探討不同的馬達與馬達（電動機）互相轉動，對發出來的電力的影響，利用不同材料來改造被轉動的馬達（電動機）或轉動不同線圈條件的馬達（電動機），影響發電的電力和效率等相關性研究。

一般鉛樹的製造大多以鋅片與醋酸鉛、硝酸鉛溶液反應，而在顯微鏡下觀察它們在幾分鐘內反應後，鉛樹的形狀相似嗎？哪些條件才能長出鉛樹最初形狀？哪些因素會影響鉛樹最初形狀？哪些是產生鉛樹最初生長的最快速率條件？哪些因素會影響鉛樹最初生長速？在加入添加物（一些酸、鹼、鹽類）產生沈澱物下，能歸納出鉛樹最初生長速率的機制嗎？這種在顯微鏡下微量的動態觀察實驗，在教學上的教育價值如何？這些一連串的問題，給了我們專研此問題的動機。

本文所探討的是給定一個 n×n 的棋盤及 n^2個兩面棋(一面為黑色，一面為白色)，若規定其中一個棋子翻面時，則與此棋相鄰的所有棋子亦須跟著翻面，而我們想探討在此規定下的所有棋局是否皆可被翻成同一面。因此我們將每一個 n×n 的棋局對應到一個矩陣，且翻棋的過程則對應到矩陣二進位的加法。利用此思考模式我們可以將此遊戲問題轉換成是解聯立方程組與判別矩陣是否可逆的問題，最後並借助數學軟體 Mathematics 4求其解。