第43屆--民國92年

高級餐廳用它來盛裝各色各式的飲料，是浪漫氣氛的催化劑；自然老師拿著它裝著高高低低不同水量，敲打出了琅噹悅耳的聲音。原來外表光鮮亮麗的它，轉眼間也可以是清脆悅耳的樂器；然而更神奇的是：電視節目裡特技表演的魔術師竟然可以徒手讓它“唱起歌來”。只是徒手摩擦高腳杯竟可以發出美妙的聲音來，到底真是魔術神奇？還是裡頭別有文章？於是我們決定讓長年站在家中櫃子裡裝飾用的各式高腳杯”活起來” ，展開一連串高腳杯魔術探險之旅，嘗試各種實驗找出摩擦高腳杯發聲的原理，以及改變各種條件來討論它所產生聲音的不同。並找出高腳杯的音階，好讓大家知道：透過這獨特的樂器演奏出的曲子可是聽來別有風味喔！

（一）問題：推銷員要將每戶人家都訪問到，但為了節省時間及精力，每戶人家必不重複走到！是否每次出門訪問時，都可找到一條「推銷員路線」？對於不同點數、不同線路連節方式的圖形，要如何輕易地分辨是否有推銷員路線？（二）解決過程：以 0、1 為字元，由數個 0、1 組成字串，將圖形中每個點用字串表示，例如： 以二字元表示四個點 00、01、11、10若路線為 00 01 11 10，則可用「記憶輪」0011 表示，記憶輪中尾數後一字元「0」與首數前一字元「0」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。當然圖形中的點要用字串標示，需要多次嘗試！而四個點以上就必需要用三字原來表示?例如：七個點 001、011、111、110、101、010、100若路線為 001 011 111 110 101 010 100，且首尾可接的起來，則可用「記憶輪」0011101 表示，記憶輪中尾數後兩字元「00」與首數前兩字元「00」是可連接起來的，此路線即為推銷員路線。經過多次嘗試、推論並驗證後得到：圖形若有推銷員路線，其路線必可用記憶輪來表示（三）結果：1. 我們利用簡化圖形來標點，並利用記憶輪，可使得在較難看出是否有推銷員路線的圖形中，較快找到通路、來判斷其是否有通路。2.雖然過程中有一些簡單圖形很容易就可以看出是否有推銷員路線，但利用記憶輪的方式來討論，可以幫助我們在面對更複雜的圖形時，能夠將其推廣進而解決問題。3.有時找到的通路雖然無法表示成記憶輪，但它確實是條推銷員路線，亦符合當初我們的目的。對推銷員而言，如此則可判別圖形是否有推銷員路線，若有，則路線為何。

本研究主要探討理化第一冊 3-1 音叉共鳴實驗中，音叉本體的構造及音箱所扮演的角色。以分析聲波軟體 Cool edit 2000，對自製音叉作仔細的探討，從中，我們也找出製作音叉的數學公式。研究中發現，音叉的構造兩股必須等長，才可造成兩股間的共振。而在研究一中，以自製音叉分析兩股口徑粗細、寬度、厚度與頻率的關係，發現音叉的口徑長(兩股為圓柱)和厚度均與頻率成正比，與一般弦樂器中弦愈粗頻率愈低不同。而音叉寬度對頻率的影響則不顯著。在研究二中，音叉頻率與股長平方成反比，與一般弦樂器中頻率與弦線長成反比不同。在研究三、四中，我們證實音叉兩股的間距與材質均會影響頻率。最後，在研究五中，分析音箱所扮演的角色。結果發現若木箱大小設計不佳時，亦可進行共鳴實驗，只是木板是當成共鳴板，而木箱則為反射箱，但箱內空氣柱並不引起共振。

一、剛研究此題時，我們以自製的城堡圖及棋子來模擬，試著找出答案，但隨著衛兵數的增加，答案也隨之增多，所以我們開始以討論的方式來尋找答案，但無論如何討論，似乎總會漏掉幾個答案。因此，我們改變原有的思維，再次重新思索題目，尋求解決的方法。最後，利用「不等式」及「不定方程式」來逐一討論各種情況。二、有 m 個衛兵，要站在 n 邊形的城堡崗哨上，且每邊的衛兵人數要相等，則：（一）從 m≦ n ×s ≦2m 中，找出所有符合條件的 s 值（s N）。（二）再由所找出的每一個 s 值中，求出在其條件下的 p、q 值。（p = n ×s - m，q = m - p；p、q N 或 0）（三）由 p、q、s 的值中，求出 a1 、a 2 、a3 、…、a 2n 的值。（a1 、a 2 、a3 、…、a n2 N 或 0）（四）刪除重複的答案後，即為所求。註：1.站在頂點的衛兵人數和p = a1+a 3 +a 5 +…+a 2n_1 2.站在非頂點的衛兵人數和q = a 2 +a 4 +a 6 +…+a 2n 3.衛兵人數和m = p+q= a1+a 2 +a 3 +…+a 2n 4.每邊衛兵人數s = a1+a 2 +a 3 =a 3 +a 4 +a 5 =…=a 2n_1+a 2n + a1

探討不同的馬達與馬達（電動機）互相轉動，對發出來的電力的影響，利用不同材料來改造被轉動的馬達（電動機）或轉動不同線圈條件的馬達（電動機），影響發電的電力和效率等相關性研究。

本研究是[對於正n 邊形A1A2…An 邊上一點P(含頂點)，想像自定點P 朝鄰邊發出一條光線，若依逆(順)時針方向依序與每邊皆碰撞一次，經一圈而可回到P 點，則此路徑稱為「光圈」。我們試著追蹤能形成光圈的光線行進路徑及其相關問題。] 本研究令，且以逆時針得光圈來討論： 1.根據[光的反射原理]，探討光圈之存在性，發現除定點P 在正2m 邊形或正三角形的頂點外，其餘皆有光圈。 2.將可形成光圈的路徑圖展開成[直線路徑圖]來探討。 3.由[直線路徑圖]，我們觀察到光圈的光線行進路徑可能存在三種： (1)通過正n 邊形的頂點，光線行進終止。 (2)不通過正n 邊形的頂點，且產生路徑循環問題。 (3)不通過正n 邊形的頂點，且路徑不循環。 4.發現出正2m 邊形光圈皆為[完美光圈]。 5.發現正2m+1 邊形光圈之路徑與有理數、無理數之特質有關。即當s 值為有理數時，路徑會循環；當s 值為無理數時，路徑不循環。

一般鉛樹的製造大多以鋅片與醋酸鉛、硝酸鉛溶液反應，而在顯微鏡下觀察它們在幾分鐘內反應後，鉛樹的形狀相似嗎？哪些條件才能長出鉛樹最初形狀？哪些因素會影響鉛樹最初形狀？哪些是產生鉛樹最初生長的最快速率條件？哪些因素會影響鉛樹最初生長速？在加入添加物（一些酸、鹼、鹽類）產生沈澱物下，能歸納出鉛樹最初生長速率的機制嗎？這種在顯微鏡下微量的動態觀察實驗，在教學上的教育價值如何？這些一連串的問題，給了我們專研此問題的動機。

我們這份研究主要是看到了IMO 預選題題冊裡面的一題「當都不被2 整除時，求n 的條件？」後，決定要做更進一步、更大範圍的研究，我們把2 換成其他質數或其他質數冪次方等，試著找出在符合所設條件時的n 及質數a 的關係。 這個研究分為兩部分： 一、探討二項式中某一單項，若不被（或被）正整數a 整除時，n、r 與a 的關係。 二、探討二項式係數都不被正整數a的倍數整除時，n 與r的關係。 ◎ 第一部份，我們用了餘數的關係與不同的進位制去導出n、r 與a 的關係。 在此部份所得到的結果分成兩部分： (1)當a 只含一個質因數時，可求出n、r 與a 的關係。 (2)當a 含有兩個以上的質因數時，則要同時滿足a 的所有質因數的條件。 ◎ 第二部份，我們用了兩種方法去證明我們的結果。 一個是用解原題所引申的方法去證的。另一個是利用第一部份中所得到的結果去配合證明的。 在此部份所得到的結果分成二種： (1) a 只含一個質因數時，可求出n、a 的關係之充要條件。 (2) a 含有兩個以上的質因數，雖然我們不能有n、a 的關係之充要條件，但卻可求出n 的充分條件與例外的範圍。 接下來，再探討n 項式係數時，運用了前面兩部分研究的結論。但由於n 項式係數中受到了許多限制，我們只研究出了當a 為質數時的條件。 而未來，我們除了希望能有更簡易的方法來表示a 為合數時的條件，也希望能夠在n 項式係數的研究中，能夠有更多的發揮。

您知道嗎?原來許多玩具的設計，在大樓發生火災時也可用來作為逃生的器材。本實驗主要在運用玩具的原理，設計各種大樓的逃生方法，並探討其優缺點。從玩具的觀點出發，你將會有意想不到的發現。

我們這次實驗的蝴蝶是大白斑蝶，這是台灣斑蝶類中最大型的種類，翅膀白底上有點點黑斑。色彩不鮮豔，翅膀形狀又很平凡，牠有數一數二的個體生態美。大白斑蝶在本區數量相當多，一年四季都可以看到牠們緩慢飛行，不怕人接近，而且翅膀廣大，便可以讓學生近距離欣賞，牠們能夠輕易的展開飛行，也能在高空平放翅膀，就像滑翔機在天空漂浮迴轉，看到花就迫不及待的衝下來吸花蜜，敏捷的小朋友可以趁機伸手摸他，因此當地人都稱牠〝大傻瓜蝶〞只分佈在台灣南北端及蘭嶼、綠島。